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高中数学第一章集合1-1-1集合的概念学案新人教B版必修1

高中数学第一章集合 1-1-1 集合的概念学案新人教 B 版必修 1
1.通过实例了解集合的含义.(难点) 2.掌握集合中元素的三个特性.(重点) 3.体会元素与集合的“从属关系”,记住常用数集的表示符号并 会应用.(重点、易混点)
[基础·初探] 教材整理 1 元素与集合的相关概念 阅读教材 P3~P4“第 7 行”的部分,完成下列问题. 1.集合:一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体, 就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集),通常用英语大 写字母 A,B,C,…来表示. 2.元素:构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员),通 常用英语小写字母 a,b,c,…来表示. 3.空集:不含任何元素的集合叫做空集,记作?. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)本班的“帅哥”组成集合.( ) (2)漂亮的花组成集合.( ) (3)联合国常任理事国组成集合.( ) 【解析】 (1)不正确.因为“帅哥”没有统一标准,即元素不确 定,不能组成集合. (2)不正确.因为什么样的花是漂亮的花不确定,不能组成集合.
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(3)正确.因为联合国常任理事国是确定的,所以能组成集合.

【答案】 (1)× (2)× (3)√

教材整理 2 元素与集合的关系

阅读教材 P3“最后一行”~P4“第 6 行”以上的内容,完成下列

问题.

1.属于:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a∈A.

2.不属于:如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记

作 a?A.

用符号“∈”或“?”填空:

0__________?,-________Z,π __________Q,________Q,|-

4|________N*.

【解析】 根据常见数集及其记法进行判断.

【答案】 ? ? ? ∈ ∈

教材整理 3 集合的特性及分类

阅读教材 P4“思考与讨论”以下~P4“练习 A”以上的内容,完

成下列问题.

1.集合元素的特性:确定性、互异性、无序性.

2.集合的分类

(1)有限集:含有有限个元素的集合.

(2)无限集:含有无限个元素的集合.

3.常用数集及符号表示

名称 符号

非负整数集(自然数 集) N

正整数集 N*或 N+

整数集 Z

有理数集 Q

实数集 R

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已知集合 A 中含有三个元素 0,1,x,且 x2∈A,则实数 x 的值为

()

A.0

B.1

C.-1

D.1 或-1

【解析】 当 x=0,1,-1 时,都有 x2∈A,但考虑到集合元素的

互异性,x≠0,x≠1,故 x=-1.

【答案】 C

[小组合作型]

集合的概念
下列所给的对象能构成集合的是________.

①所有的正三角形;

②比较接近 1 的数的全体;

③某校高一年级所有 16 岁以下的学生;

④平面直角坐标系内到原点距离等于 1 的点的集合;

⑤所有参加 2016 年里约热内卢奥运会的年轻运动员;

⑥的近似值的全体.

【导学号:60210000】

【精彩点拨】 判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象

是否具有明确的标准,即给定的对象是“模棱两可”还是“确定无

疑”.

【自主解答】 ①能构成集合,其中的元素满足三条边相等;

②不能构成集合,因为“比较接近 1”的标准不明确,所以元素不

确定,故不能构成集合;

③能构成集合,其中的元素是“某校高一年级 16 岁以下的学生”;

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④能构成集合,其中的元素是“平面直角坐标系内到原点的距离 等于 1 的点”;
⑤不能构成集合,因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的,故 不能构成集合;
⑥不能构成集合,因为“的近似值”未明确精确到什么程度,因 此很难断定一个数是不是它的近似值,所以不能构成集合.
【答案】 ①③④ 判断每个对象是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键,而 判断一个对象是不是确定的,关键就是要找到一个明确的衡量标准, 同时还要注意集合中的元素的互异性、无序性. [再练一题] 1.下列各组对象中不能构成集合的是( ) A.佛冈中学高一班的全体男生 B.佛冈中学全校学生家长的全体 C.李明的所有家人 D.王明的所有好朋友 【解析】 A 中,佛冈中学高一班的全体男生,满足集合元素的确 定性和互异性,故可以构成集合;B 中,佛冈中学全校学生家长的全体, 满足集合元素的确定性和互异性,故可以构成集合;C 中,李明的所有 家人,满足集合元素的确定性和互异性,故可以构成集合;D 中,王明 的所有好朋友,不满足集合元素的确定性,故不可以构成集合.故选 D. 【答案】 D
元素与集合的关系
给 出 下 列 6 个 关 系 : ①∈R , ②∈Q , ③0?N , ④∈N ,
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⑤π ∈Q,⑥|-2|?Z.

其中正确命题的个数为( )

A.4

B.3

C.2

D.1

【精彩点拨】 首先明确字母 R、Q、N、Z 的意义,再判断所给的

数与集合的关系是否正确.

【自主解答】 R、Q、N、Z 分别表示实数集、有理数集、自然数

集、整数集,所以①④正确,因为 0 是自然数,,π 都是无理数,所

以②③⑤⑥不正确.

【答案】 C

1.判断一个元素是不是某个集合中的元素,关键是判断这个元素

是否具有这个集合的元素的共同特性.

2.解决本例及类似问题要准确记忆数集 Q,N,R 及 Z 的含义,防

止因混淆其含义而出现失误.

[再练一题]

2.用符号“∈”或“?”填空.

若 A 表示第一、三象限的角平分线上的点的集合,则点

(0,0)________A,(1,1)________A,(-1,1)________A.

【解析】 第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线 y=

x 表示,显然(0,0)、(1,1) 都在直线 y=x 上,( -1,1) 不在直线

上.∴(0,0)∈A,(1,1)∈A,(-1,1) ?A.

【答案】 ∈ ∈ ?

[探究共研型]

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集合中元素的特性
探究 1 “××市的高楼”能否组成一个集合?“××市高于 100 米的楼能否组成一个集合?集合的定义中“某些确定的”含义是什么?
【提示】 “××市的高楼”不能组成一个集合,因为“高楼” 没有明确的标准,而“××市高于 100 米的楼能组成一个集合,因为 标准是确定的.集合的定义中“某些确定的”含义是集合中的元素必 须是确定的,也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这 个集合中就确定了.
探究 2 “小于 4 的自然数”构成的集合中有哪些元素?甲同学的 答案是 0,1,2,3;乙同学的答案是 3,2,1,0,他们的回答都正确吗?由 此说明什么?
【提示】 两个同学的回答都是正确的.由此说明集合中的元素 是没有先后顺序的,这就是集合中元素的无序性.
探究 3 若 a 和 a2 都是集合 A 中的元素,则实数 a 的取值范围是 什么?
【提示】 因为 a 和 a2 都是集合 A 中的元素,所以 a≠a2,即 a≠0 且 a≠1.
若集合 A 中的三个元素分别是 a-3,2a-1,a2-4,a∈Z 且 -3∈A,求实数 a 的值.
【精彩点拨】 按-3=a-3 或-3=2a-1 或-3=a2-4 分三类 分别求解实数 a 的值,注意验证集合 A 中元素是否满足互异性.
【自主解答】 (1)若-3=a-3,则 a=0,此时集合 A 中的三个 元素分别是-3,-1,-4,满足题意;
(2)若-3=2a-1,则 a=-1,此时集合 A 中的三个元素分别是-
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4,-3,-3,不满足题意;

(3)若-3=a2-4,则 a=±1.

当 a=1 时,集合 A 中的三个元素分别是-2,1,-3,满足题意;

当 a=-1 时,由(2)知,不满足题意.

综上可知,a=0 或 a=1.

1.本题按-3=a-3 或-3=2a-1 或-3=a2-4 为标准分类,从

而做到“不重不漏”;在解含字母的问题中,常常采用分类讨论的思

想,注意分类标准的统一和明确.

2.本题在求解的过程中,常因忽视检验集合中元素的互异性,导

致产生增解-1.

[再练一题]

3.若将本例中的条件“-3∈A”换成“a∈A”,求相应问题.

【解】 ∵a∈A 且 a∈Z,∴a=a-3 或 a=2a-1 或 a=a2-4,

解得 a=1,此时集合 A 中有三个元素-2,1,-3,符合题意.

故所求 a 的值为 1.

1.下列对象不能构成集合的是( )

①我国近代著名的数学家;②所有的欧盟成员国;③空气中密度

大的气体.

A.①②

B.②③

C.①②③

D.①③

【解析】 研究一组对象能否构成集合的问题,首先要考查集合

中元素的确定性.①中的“著名”没有明确的界限;②中的研究对象

显然符合确定性;③中“密度大”没有明确的界限.故选 D.

【答案】 D

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2.下列三个关系式:①∈R;②?Q;③0∈Z.其中正确的个数是

()

A.1

B.2

C.3

D.0

【解析】 ①正确;②因为∈Q,错误;③0∈Z,正确.

【答案】 B

3.已知集合 A 中只有一个元素 1,若|b|∈A,则 b 等于( )

【导学号:60210001】

A.1

B.-1

C.±1

D.0

【解析】 由题意可知|b|=1,∴b=±1.

【答案】 C

4.a,b,c,d 为集合 A 的四个元素,那么以 a,b,c,d 为边长

构成的四边形可能是( )

A.矩形

B.平行四边形

C.菱形

D.梯形

【解析】 由于集合中的元素具有“互异性”,故 a,b,c,d 四

个元素互不相同,即组成四边形的四条边互不相等.

【答案】 D

5.关于 x 的方程 x2+ax+b=0 的解集,当 a,b 满足什么条件时,

方程的解集含有一个元素?含有两个元素?

【解】 当 a2-4b=0 时,方程的解集含一个元素;

当 a2-4b>0 时,方程的解集含两个元素.

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