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湖南省长沙市周南中学2018届高三第三次模拟考试数学(理) 含答案

长沙市周南中学 2018 届高三第三次模拟考试 数 学(理)

命题、审题:高三理科数学备课组 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中,只 有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x x ? 1? , B ? x e ? 1 ,则
x

?

?

?

A. A ? B ? x x ? 1? C. A ? CR B ? R

?

B. A ? B ? x x ? e? D. CR B ? A ? x 0 ? x ? 1

?

?

?

r r r 2.已知非零向量 a, b ,满足 a ?
A.

?
4

B.

?
2

r r r r r r 2 r b , 且 (a ? b) ? (3a ? 2b) ? 0 ,则 a与b 的夹角为 3 3? C. D. ? 4

3.元旦晚会期间,高三二班的学生准备了 6 个参赛节目,其中有 2 个舞蹈节目,2 个小品节 目,2 个 歌曲节目,要求歌曲节目一定排在首尾,另外 2 个舞蹈节目一定要排在一起,则这 6 个节 目的不同 编排种数为 A.48 B.36 C.24 D.12

4.已知实数 x , y 满足不等式组

?x ? t ? 2 2 ? , 其中 t ? 2?0 sin xdx, 则 x ? y 的最大值 ?x ? y ? 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

是 A.

20 9

B.5

C.20

D.25

5. 若 a ? 1 ? b ? 0, ?1 ? c ? 0, ,则下列不等式成立的是 A. 2b ? 2? a B. loga b ? logb (?c) C. a 2 ? b 2 D. c 2 ? logb a

6.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,题中描绘的器具的三视图如图所 示(单位:寸).若在某天某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为 6 寸,则这天该地的

降雨量约为(注:平均降雨量等于器具中积水除 以 器 具 口 面 积 . 参 考 公 式 :

V ?

1 ( S ? S下 ? 3 上

S上 S下 )h, 其中 S上 , S下 分别表示上、下底面的面积, h 为高)

12
正视图 侧视图

6 12
俯视图
A.2 寸 B.3 寸 第 6 题图 C.4 寸 D.5 寸

7.如图①,一块黄铜板上插着三根宝石针,在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干 金片.若按照下面的法则移动这些金片:每次只能移动一片金片;每次移动的金片必须套 在某根针上;大片不能叠在小片上面.设移完 n 片金片总共需要的次数为 an ,可推得

an?1 ? 2an ? 1 .如图②是求移动次数的程序框图模型,则输出的结果是
是 开始 S=1 S>1000? 否 S=2S+1
第 7 题图 ① A.1022 B.1023 C.1024 ② D.1025

输出S

结束

8.如图,在所有棱长均为 a 的直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D,E 分别为 BB1,A1C1 的中点,则 异面直线 AD,CE 所成角的余弦值为

A1

E

C1

B1 D A B C

第 8 题图

A.

1 2
2

B.

3 2
2 2

C.

1 5

D.

4 5

9.如图,由抛物线 y =8x 与圆 E:(x-2) +y =9 的实线部分构成图形 Ω ,过点 P(2,0) 的直线始终与 图形 Ω 中的抛物线部分及圆部分有交点,则|AB|的取值范围为
y A P -2
0

2

3 B

x

-2

第 9 题图 A.

? 2,3?

B.

?3, 4?

C. ? 4,5?

D. ?5, 6?

10.下列命题中,正确的是 ① ②

2 8 1 若随机变量 X : B (4, ) ,则 D ( X ) ? 且 P ( X ? 1) ? ; 3 9 81
命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 2 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R, x2 ? x ? 2 ? 0 ”; “若 a ? b ? 7, 则a ? 2或b ? 5 ”为真命题;

③ 命题

④ 已知 m 为实数,直线 l1 : mx ? y ?1 ? 0, l2 : (3m ? 2) x ? my ? 20 ? 0, 则“m ? 1 ”是 “ l1 P l2 2” 的充要条件. A.①② B.②③ C.②④ D.③④

11.已知偶函数 f ( x ) 满足 2 f ( x) ? xf ?( x) ? 6, ,且 f (1) ? 2 ,则 f ( x) ? 3 ?

? C. ? x x ? ?1或x ? 1?
O1 , O2

1 的解集为 x2

A. x x ? ?2或x ? 2?

B. x ?1 ? x ? 1? D.

?

?x ?2 ? x ? 2?
) 的 图 象 与 x 轴 的 两 个 相 邻 交 点 分别为

12 . 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

中 O2 在 O1 的 右 边 ) ,曲线 f ( x ) 上 任 意 一 点 A( x0 , y0 ) 关 于 点 O1 , O2 的 对 称 点 分 别

A1 ( x1, y1 ), A2 ( x2 , y2 ),

且|x2-x1|= x2 ? x1 ? ? ,且当 x0 ? 当

? 1 时,有 y0 ? .记函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,则 6 2

3 f ?(? ) ? 2 f (? ) ? 1时, cos 2? 的值为
A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.1

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

( z ? i )(1 ? i) ? 2i ,则 z = _____. 2?i 5 b 14.已知 a ? 0, b ? 0, ( ax ? ) 6 展开式的常数项为 ,则 a ? 2b 的最小值为___________. 2 x 1 0 15.四边形 ABCD 中, A ? 60 , cos B ? , AB ? BC ? 7 ,当边 CD 最短时,四边形 ABCD 7
13.已知 i 为虚数单位,且复数 z 满足 的面积为__________.

x2 16.已知双曲线 y ? 2 ? 1( m ? 0) 的上支交抛物线 y 2 ? 4 x 于 A, B 两点,双曲线的渐近线 m
2

在 第一象限与抛物线交于点 C , F 为抛物线的焦点,且,

1 1 5 则m =__ ? ? FA FB FC

_.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? an ? ( ) (I)

1 2

n ?1

(n ? N * ) .

n 求证:数列 2 gS n 为等差数列;

?

?

(II) 求数列 ?Sn ? 的前 n 项和 Tn . 18.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1BC 1 1 中, AA 1 ? AB ? BC ?

2, AC ? 2 ,

平面ACC1 A1 ? 平面ABC, ?A1 AC ? 450 .
(I)求证: 平面AB1C ? 平面AC ; 1 (II)在棱 A1B1 上取一点 M, B1M ? ? B1 A1 (0 ? ? ? 1) ,

uuuu r

uuu u r

若 CM 与平面 AB1C 所成角的正弦值为

3 ,求 ? . 6

A1 M B1

C1

A B
19.(本小题满分 12 分)

C
第 18 题图

某省级示范高中高三年级对考试的评价指标中,有“难度系数”“区分度”和“综合”三个 指标,其中,难度系数 x ? 综合指 标p??

年级总平均分 实验班平均分-普通班平均分 , , ,区分度 y ? , 总分 总分

1 2 18 1 x ? x ? y .以下是高三年级 6 次考试的统计数据: 6 25 2
1 0.66 0.19 2 0.72 0.24 3 0.73 0.23 4 0.77 0.23 5 0.78 0.21 6 0.84 0.16 (I) 计算相关系数 r ,若

i
难度系数 xi 区分度 yi

,则认为 y 与 x 的相关性强;通过计算相关系数 r ,能 r ? 0.75 否认为 y 与 x 的相关性很强(结果保留两位小数)? (II) 根据经验,当 x ? (0.7,0.8) 时,区分度 y 与难度系数 x 的相关性较强,从以上数据 中剔除(0.7,0.8)以外的 x 值,即 x1 , x6 .

? 保留两位小数); ?, b (i) 写出剩下 4 组数据的线性回归方程( a
(ii) 假设当 x ? (0.7,0.8) 时, y 与 x 的关系依从(i)中的回归方程,当 x 为何值时, 综合指标 p 的值最大?

参考数据:

? xi yi ? 0.94,
i ?1

6

? ( xi ? x)2 ? ( yi ? y)2 ? 0.0093,
i ?1 i ?1
5 i ?2

6

6

?x y
i ?2 i

5

i

? 0.68, ? ( xi ? x)2 ? 0.0026,

参考公式:

相关系数 r ?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? ( x ? x) ? ( y ? y )
2 i ?1 i i ?1 i
n n

n

n

?
2

? x y ? nxy
i ?1 i i

n

? ( x ? x) ? ( y ? y )
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

2

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为

?? b

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? nxy
i ?1 i i

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

2

i ?1 n

i

i

? ( x ? x)
i ?1 i

? . ? ? y ? bx ,a

2

20.(本小题满分 12 分) (原创题)已知点 F 是椭圆 C1 :

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和抛物线 C2 : x2 ? 4 y 的公共焦点, 2 a b
5 . 3

A1, A2 是椭圆的长轴的两个端点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且 MF ?
(I) 求椭圆 C1 的方程;

(II) 点 N 为直线 l : y ? ?2 上的动点,过点 N 作抛物线 C2 的两条切线,切点分别为 A, B .直 线 AB 交椭圆 C1 于 P, Q 两点,设△ NPQ 的面积为 S1 , △ NA1 A2 的面积为 S2 ,求 S1 ? S2 的最大值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x (a ? 0) .
b

(Ⅰ)当 b ? 2 时,若函数 f ( x ) 恰有一个零点,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? b ? 0, b ? 0 ,对任意 x1 , x2 ? ? , e ? , 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? 2 成立,求实数 b 的 e 取值范围。 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

?1 ?

? ?

22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为, ?

?x ? t (t为参数, m ? R) ?y ? m ?t

以点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为

?2 ?

3 (0 ? ? ? ? ) . 3 ? 2 cos 2 ?

(Ⅰ)写出曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)已知点 P 是曲线 C2 上一点,若点 P 到曲线 C1 的最小距离为 2 2 ,求 m 的值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? 2x ? a ? x ? 2 . (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? 4 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 3a ? 3 2 ? x 恒成立,求 a 的取值范围.
2

长沙市周南中学 2018 届高三第三次模拟考试 数学参考答案(理) 一、选择题:

题号 答案

1 C

2 A

3 C

4 D

5 B

6 A

7 B

8 C

9 D

10 B

11 C

12 A

二、 填空题: 13.

17

14. 2

15.

37 3 2
1 2

16.

1

17.(I) 解:由 a1 ? S1 及 S n ? an ? ( ) 所以 2S1 ? ?1 , 又 an ? S n ? S n ?1 , S n ? an ? ( ) 所以 2n Sn ? 2n?1 Sn?1 ? ?1,

1 2

n ?1

, 得 a1 ? ?a1 ? 1 ? a1 ? ?

,

1 2

n ?1

1 ? ? S n ? S n ?1 ? ( ) n ?1 , 2

?2 gS ? 是以-1 为首项,-1 为公差的等差数列 (5 分)
n n

(II)由(I)得 2n Sn ? ?n ,所以 S n ? ? n( )

1 n ?1 2 1 1 1 1 1 ? S1 ? S 2 ? S3 ? ??? ? S n ?1 ? S n ? 1? ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ??? ? (n ? 1) ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n (1) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ?2S1 ? 2S2 ? 2S3 ? ??? ? 2Sn ?1 ? 2Sn ? 1? ( )0 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? ??? ? (n ? 1) ? ( ) n ?2 ? n ? ( ) n ?1 (2) 2 2 2 2 2

(1)-(2)得

1 1 1 1 1 Tn ? S1 ? S2 ? S3 ? ??? ? S n ?1 ? S n ? ?1 ? ? ( ) 2 ? ( )3 ? ??? ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n 2 2 2 2 2

1 ? ? 1 ? ( )n ? ? 1 2 ? ??? ? n ? ( )n 1 2 1? 2
所以 Tn ? ?

n?2 ? 2 . (12 分) 2n

18.(I)证明:由题意知四边形 AA 1B 1B 是菱形,

则 A1B ? AB1 ,如图,设 AB1 ? A 1B ? O , 连接 CO ,易求得 AC ? 2 ? BC ,又 O 为 A1B 的中点, 1 所以 A1B ? CO , 又A 1B ? AB 1 , CO ? AB 1 ?O, 所以 AB1 ? 平面AB1C , 所以 平面AB1C ? 平面AC 1 (II)解:如图所示,取 AC 的中点为 H , 则由 A ? 2, ?A1 AC ? 450 , 1 A ? AC 1 得A 1H ? 1, A 1H ? AC , 又平面 ACC1 A 1 ? 平面ABC , 平面 ACC1 A 1 ? 平面ABC ? AC , 所以 A 1H ? 平面ABC , 又 AB ? BC ,所以 BH ? AC , 以 H 为原点, HB, HC, HA1 的正方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空间直角坐标系

uuu r uuu r uuu r

H ? xyz ,

z A1 M B1 C1

A

H C B x y

则 A(0, ?1,0), C(0,1,0), A 1 (0,0,1)

uuuu r uuu u r B1 (1,1,1), B(1,0,0) ,设 M ( x, y, z ) ,则由 B1M ? ? B1 A1 ,
?x ? 1? ?, uuu r ? 得 ? y ? 1 ? ? , 所以 M (1 ? ? ,1 ? ? ,1) , CM ? (1 ? ?, ??,1) ? z ? 1, ?
由(1)知平面 AB1C 的一个法向量为 A1B ? (1,0, ?1) 所以

uuu r

uuu r uuur 3 ? cos ? A1B, CM ? ? 6

1 ? ? ?1 2 ? (1 ? ? )2 ? ? 2 ? 1

,

1 或-1(负值舍去), 2 1 所以 ? ? 2
解得 ? ? 19.解: (1)易求得 x ? 0.75, y ? 0.21 ,

r?

0.94 ? 6 ? 0.75 ? 0.21 ? ?0.54 0.0093

因 为 r ? 0.75 ,所以不能认为 y 与 x 的相关性很强 (II)(i)由题意,剔除 x1 , x6 后,求得 x? ? 0.75, y? ?

?? 则b

0.68 ? 0.75 ? 0.21 ? ?0.96 , 0.0026

0.91 , 4

? ? 0.2275 ? 0.96 ? 0.75 ? 0.95 a

? ? ?0.96 x ? 0.95 故所求线性回归方程为: y
1 2 18 1 1 18 1 x ? x ? y ? ? x2 ? x ? (?0.96 x ? 0.95) 6 25 2 6 25 2 1 2 6 19 ?? x ? x? , 6 25 40 6 25 ? 0.72 时, p 取最大值 故当 x ? ? 1 2 ? (? ) 6 p 20.解:(I)易知 c ? ? 1 ,所以焦点 F (0,1) ,椭圆的另一焦点为 F ?(0, ?1) 2 5 p 5 2 由抛物线定义知 ? yM ? ? yM ? ? 1 ? , 3 2 3 3
(ii) p ? ? 从而 xM ? 4 ?
2

2 2 6 ? xM ? ? ( xM ? 0) , 3 3

又由椭圆定义得: 2a ? MF ? MF ? ? ∴ b ? a ? c ? 3,
2 2 2

5 7 ? ?a?2, 3 3

故所求椭圆方程为:

y 2 x2 ? ?1 4 3

y

A

P

A2(Q) B x O A1 N l:y=-2

(2)由对称性,不妨设 N ( x0 , ?2),( x0 ? 0) , 再设 A( x1 ,

x12 x2 ), B( x2 , 2 ) , 4 4

由y?

x x x x2 得 y? ? ? k AN ? 1 , k BN ? 2 , 2 2 2 4

l AN : y ?

x1 x2 x? 1 2 4 x2 x2 x? 2 2 4



lBN : y ?



x ?x ? xN ? 1 2 ? ? 4 由①②解得 ? ? y ? y1 ? y2 N ? ? 4
所以有: x1 ? x2 ? 2 x0 ③

x1 ? x2 ? ?8



由点斜式得 l AB : y ? ③④代入⑤得:

x1 ? x2 x ?x x? 1 2 ⑤ 4 4

l AB : y ?

x0 x?2 2

x0 ? y ? x?2 ? ? 2 联立 ? 2 消去 y 得 (3x02 ? 16) x2 ? 24x ? 0 , 2 ? y ? x ?1 ? 3 ?4
又设 P( x3 , y3 ), Q( x4 , y4 ) , 则 PQ ? 1 ?

x0 2 x2 24 x ? x3 ? x4 ? 1 ? 0 ? 2 0 , 4 4 3x0 ? 16

x0 2 ?4 N 到 l AB 之间的距离为 d ? 2 , x0 2 1? ? 4

1 16 1 2 3 , S1 ? S2 ? ? PQ ? d ? A1 A2 ? x0 ? ? ? 2 3 x ? 16 3 0 3x0
当且仅当 x0 ?

4 3 2 3 时, ( S1 ? S2 ) Max ? . 3 3

21.(1)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) 当 b ? 2 时, f ( x) ? a ln x ? x2 ,所以 f ?( x) ?

2x2 ? a , x
? 1 a

① 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上 单调递增,取 x0 ? e 则 f (e a ) ? ?1 ? (e a ) ? 0
2 ? 1 ? 1



( 因为 0 ? x0 ? a 且 x0 ?

1 1 2 时 , f ( x0 ) ? a ln x0 ? x0 ? a ln x0 ? a ? a ln ? a ? 0 ) e e

因为 f (1) ? 1 ,所以 f ( x0 ) f (1) ? 0 ,此时函数 f ( x ) 有一个零点。 ②当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

?

a . 2

当0 ? x ?

?

a a 时, f ?( x) ? 0 ,所以在 (0, ? ) 上单调递减; 2 2

当x?

?

a a 时, f ?( x) ? 0 ,所以在 ( ? , ??) 上单调递增; 2 2

要使函数 f ( x ) 有一个零点,则 f ( ?

a a a ) ? a ln ? ? ? 0 即 a ? ?2e . 2 2 2

综上所述,若函数 f ( x ) 恰有一个零点,则 a ? ?2e 或 a ? 0 . (其它解法:如分离参数法酌情给分) (2)因为对任意 x1 , x2 ? ? , e ? ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? 2 成立 e 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? [ f ( x)]max ? [ f ( x)]min ,所以 [ f ( x)]max ? [ f ( x)]min ? e ? 2 ; 因为 a ? b ? 0 ,则 a ? ?b ,所以 f ( x) ? ?b ln x ? x , f ?( x) ?
b

?1 ? ? ?

?b b( xb ? 1) b ?1 ? b ln x ? x x

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x ) 在 ? ,1? 上单调递减;在 ?1, e? 单调递增; [ f ( x)]min ? f (1) ? 1 ,
b 因为 f ( ) ? b ? e 与 f (e) ? ?b ? e ,所以 [ f ( x)]max ? max ? f ( ), f (e)?
?b

?1 ? ?e ?

1 e

? ?

1 e

设 g (b) ? f (e) ? f ( ) ? e ? e
b

1 e

?b

? 2b(b ? 0) ,

则 g ?(b) ? eb ? e?b ? 2 ? 2 eb ? e?b ? 2 ? 0 , 所以 g (b) 在 (0, ??) 上单调递增,故 g (b) ? g (0) ? 0 ,所以 f (e) ? f ( ) . 从而 [ f ( x)]max ? f (e) ? ?b ? e .
b

1 e

所以 ?b ? e ? 1 ? e ? 2 即 e ? b ? e ? 1 ? 0 ,
b b

设 ? (b) ? e ? b ? e ? 1(b ? 0) ,则 ??(b) ? e ?1 .
b b

当 b ? 0 时, ? ?(b) ? 0 所以 g (b) 在 (0, ??) 上单调递增,

又 ? (1) ? 0 ,所以 e ? b ? e ? 1 ? 0 ,即为 ? (b) ? ? (1), ,解得 b ? 1 .
b

因为 b ? 0 ,所以 b 的取值范围为 ? 0,1? . 22. 解 : ( 1)由曲线 C1 的参数方程,消去参数 t ,可得 C1 的普通方程为 x ? y ? m ? 0 ,

由曲线 C2 的极坐标方程得 3? 2 ? 2? 2 cos2 ? ? 3, (0? ? ? ? ),

x2 ? y 2 ? 1(0 ? y ? 1) . ∴曲线 C2 的直角坐标方程为 3
(2)设曲线 C2 上任意一点 P 为 ( 3 cos ? ,sin ? ), ? ? ?0, ? ? ,则点 P 到曲线 C1 的距离为

d?

3 cos ? ? sin ? ? m 2

2 cos(? ? ) ? m 6 ? 2

?

∵ ? ??0, ? ? ,∴ cos(? ?

?

? ? 3? ?2, 3 ? ) ? ? ?1, ? , 2 cos(? ? ) ? ? ?, 6 ? 6 ? 2 ?

当 m ? 3 ? 0 时, m ? 3 ? ?4 ,即 m ? ?4 ? 3 ; 当 m ? 2 ? 0 时, m ? 2 ? 4 ,即 m ? 6 ,∴ m ? ?4 ? 3 或 m ? 6

曲线 C1 的参数方程为, ?

?x ? t (t为参数, m ? R) ?y ? m ?t

以点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为

?2 ?

3 (0 ? ? ? ? ) . 3 ? 2 cos 2 ?

23.(1)当 a ? ?2 时,由 f ( x) ? 4 ,得 2 x ?1 ? x ? 2 ? 4 , 当 x ? 1 时,由 2(1 ? x) ? (2 ? x) ? 4 ,得 ?4 ? x ? 1 ; 当 1 ? x ? 2 时,由 2( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 4 ,得; 1 ? x ? 2 . 当 x ? 2 时,由 2( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 4 ,得 2 ? x ? 4 ; 综上所述, f ( x) ? 4 的解集为 ? ?4, 4? .

(2)不等式 f ( x) ? 3a2 ? 3 2 ? x , 即为 2x ? a ? 4 ? 2x ? 3a2 , 即关于 x 的不等式 2x ? a ? 4 ? 2x ? 3a2 恒成立, 而 2x ? a ? 4 ? 2x ? (2x ? a) ? (4 ? 2x) ? a ? 4 , 当且仅当 (2 x ? a)(4 ? 2 x) ? 0 时等号成立,所以 a ? 4 ? 3a2 , 解得 a ? 4 ? 3a
2

或 a ? 4 ? ?3a ,
2

解得: ?1 ? a ?

4 或 a ?? . 3

所以 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 3

? ?

4? ?



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