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2.3.2 等差数列前n项和公式


例1:已知数列?an ? 的前n项和为S n ? n 2 ? 1 n, 求这个数列的通项公式 , 2 并判断这个数列是等差 数列吗?如果是,它的 首项与公差各是多少?
解:根据 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ? an与Sn ? 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 (n?1)
当n?1时,an ? S n ? S n ? 1 ? (n 2 ?
1 2

n) ? [( n ? 1) 2 ? 1 (n ? 1)] ? 2n ? 2
1 2

1 2

当n ? 1时,a1 ? S1 ?

3 2

满足an ? 2n ?

数列?an ?是以 3 为首项, 2为公差的等差数列。 2
数列前 n项和与通项公式的关系 : ?S1 an ? ? ?S n ? S n ?1

所以数列?an ? 的通项公式为: an ? 2n ? 1 2

由此题,如何通过 数列前n项和来求 数列通项公式?

( n ? 1) ( n?1)

当n ? 1时, 不一定满足: an ? S n ? S n?1
探索

一般地,如果一个数列 ?an ? 的前n项和为 : S n ? pn 2 ? qn ? r 如果是,它的首项与公 差分别是什么?

其中p、q、r为常数,且 p ? 0, 那么这个数列 ?an ?一定是的等差数列吗?

解:根据上例解得

( n ? 1) ?p ? q ? r an ? ? ?2 pn ? p ? q ( n?1)

只有r ? 0时,数列?an ?才是等差数列 首项为: a1 ? p ? q, 公差为: d ? 2 p 如果数列?an ? 的前n项和是常数项为 0,且是

关于n的一元二次关系式,那 么数列?an ?是等差数列。

2, 4, 例2:已知等差数列 5, 47 37 ?的前n项和为 S n ,

求使得 S n最大的序号 n的值。

解1:由已知可得, a1 ? 5, d ? 可得S n ? 5n ?
n ( n ?1) 5 ( ? ) 2 7

5 ?7 , 代入S n

? na1 ?

n ( n ?1) 2

d

?

75n ?5n 2 14

2 1125 5 即:S n ? ? 14 (n ? 15 ) ? 56 2

于是当n取与 15 最接近的正整数 7或8时,S n取最大值。 2
本例解法是将 S n 看作是关于 n的二次函数, 利用二次函数最值问题 的解题思路。

2, 4, 例2:已知等差数列 5, 47 37 ?的前n项和为 S n ,

求使得 S n最大的序号 n的值。
解2:由已知条件得: 5 40 5 a n ? a1 ? ( n ? 1) ? d ? ? n ? , a n ?1 ? ? n ? 5 7 7 7 ?a n ? 0 由? 解得: 7 ? n ? 8, 则n取7或8 ?a n ?1 ? 0

于是当n取正整数 7或8时,S n 取最大值。
本例解法是利用通项 an的正负情况与前 n项和S n 的变化情况的关系,

一.等差数列?an ? 的首项a1 ? 0, 公差d ?0时,前n项和S n 有最大值
2 d 1、利用S n:S n ? d n ? ( a ? )n.借助二次函数最值问题 1 2 2

2、利用 an:借助通项公式 an的正负情况与前 n项和S n的 变化情况, an ? 0且an ?1 ? 0
二.等差数列?an ? 的首项a1 ? 0, 公差d ? 0时,前n项和S n 有最小值
2 d 1、利用S n:S n ? d n ? ( a ? 1 2 )n.借助二次函数最值问题 2

2、利用 an:借助通项公式 an的正负情况与前 n项和S n的 变化情况, an ? 0且an ?1 ? 0

例3:已知数列?an ?是等差数列, sn是其前 n项的和。 求证: s6 , ( s12 ? s6 ), ( s18 ? s12 )也成等差数列
解:设等差数列首项为 a1 , 公差为 d,则有 : s6 ? 6a1 ? 15 d s12 ? 12 a1 ? 66 d s18 ? 18 a1 ? 153 d ? s12 ? s6 ? 6a1 ? 51d s18 ? s12 ? 6a1 ? 87 d ? ( s12 ? s6 ) ? s6 ? 36 d ? ( s18 ? s12 ) ? ( s12 ? s6 ) ? s6 , s12 , s18也成等差数列,公差为 36 d

能不能把此结论推广到 一般情况:如果 ?an ?为等差数列, sk , s2k ? sk , s3k ? s2k 也成等差数列。( k ? Z )
公差为原来公差的 k 2倍

本节课学习的主要内容有: 1、如何利用数列的前n项和 求通项公式 2、等差数列前n项和最值求解 3、等差数列简单性质.

该数列?an ? 的前n项和取最大的n值?此时最大值为?
n 大

2.已知an ? 1024? lg 21? n , (lg 2 ? 0.3010 ),n ? N ? ,问:

?an ?中,S n为前n项和,公差d ? 2 3.在等差数列
且S 4 ? 1 ,求:a17 ? a18 ? a19 ? a20的值
?

1 1、已知数列?an ?且an ? 0,n ? N ,前n项的和sn 满足sn ? (an ? 4) 2 8 ( 1 )求该数列的通项,并 判断该数列是否为等差 数列
?

(2)若有bn ?

1 an ? 30,求数列?bn ? 的前n项和Tn的最值与此时的n值。 2

2 2 练习2:已知数列?an ? 的前n项的和为: S n ? 1 n ? n ? 3, 4 3

求数列通项公式。
2 2 2 1 2 解:根据 S n ? 1 n ? n ? 3 与 S ? ( n ? 1 ) ? (n ? 1) ? 3(n?1) 4 3 3 n ?1 4
2 2 2 2 1 当n?1时,an ? S n ? S n ? 1 ? ( 1 n ? n ? 3 ) ? [ ( n ? 1 ) ? 3 (n ? 1) ? 3] 4 3 4

5 6n ?5 ?n ? ? 2 12 12
1 4 2 3

当n ? 1时,a1 ? S1 ? ? ? 3 ?

59 12

不满足an ?
(n ? 1) (n?1)

6n ?5 12

59 ? ? 12 所以数列?an ? 的通项公式为: an ? ? 6n ?5 ? ? 12

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解:假设数列 ?an ? 的前n项和为Tn , 公差为d

该数列?an ? 的前n项和取最大的 n值?此时最大值为?
由已知可得 , a1 ? 0且公差d ?0,所以Tn 有最大值。

2.已知an ? 1024 ? lg 21? n , (lg 2 ? 0.3010 ),n ? N ? ,问:

( 1 ? n) lg 2 ? 0 ? an ? 0 ?1024 ? 1024 1024 由? 得 ? 解得 ? n ? ?1 ?a lg 2 lg 2 ? 0 1024 ? n lg 2 ? 0 ? ? n ?1

即3401.99?n ? 3401.99 ? 1

所以n ? 3402
? 1935868 .977

故数列?an ? 的前n项和Tn 取最大的 n值为3402
此时a3402?114.077,T3402 ?
3402(1024?114.077) 2

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3.在等差数列 ?a n ? 中,S n为前n项和,公差 d ? 2 且S 4 ? 1,求: a17 ? a18 ? a19 ? a 20的值

解:由已知可得数列 S 4,S8 ? S 4, ?,S 20 ? S16 是等差数列,公差为 4 d ? 32。
所以S 20 ? S16 ? S 4 ? (5 ? 1) ? 32 ? 129 因为a17 ? a18 ? ? ? a20 ? S 20 ? S16 , 则
2

a17 ? a18 ? ? ? a20的值为129。
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