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1.6.子集与推出关系教案


1.6 子集与推出关系
一、学习目标 1 、 能够掌握集合包含关系与集合性质的推出关系的联系。 2 、 能够应用子集与推出关系解决一些问题。 二、学习重点: 1、理解集合间具有包含关系的充要条件是这些集合的性质具有推出关系。 2、掌握用集合间包含关系进行推理的方法。 三、学习难点: 应用子集与推出关系解决充分必要条件的问题。 四、预习提纲: 一 子集与推出关系的引人

1.提问x > 5是x > 3的什么条件? 2.下面将x > 3, x > 5作为构成集合的元素所具有的性质,有A = { x | x > 5} , B = { x | x > 3} . 判断集合A和B之间的关系
二 子集与推出关系的证明

设 A = {a | a 具 有 性 质 α }, B = {b | b 具 有 性 质 β }, A ? B 与 α ? β 等 价 。 证明如下: ( 1) 充 分 性 : ( 2) 必 要 性 :

五、知识梳理:

设具有性质p的对象组成集合A,具有性质q的对象组成集合B, 则 ( ) 若A ? B,则p是q的充分条件。 1 (2) 若A ? B,则p是q的充分不必要条件。 (3) 若A ? B,则p是q的必要条件。 (4) 若A ? B,则p是q的必要不充分条件。 (5) 若A = B,则p,q互为充要条件。
六、典型例题: 例 1:判断命题 α : x = 1 , β : x = 1 之间的推出关系。
2

解:设 A = x x = 1 , B = x x = 1 ,∵ A = { } , B = { ,?1},∴ A ? B 因此 α ? β 。 1 1
2

{

}

{

}



例 2:判断集合 A = n n = 5k , k ∈ N * , B = n n的个位数是5, n ∈ Z 之间的关系。 解:设 α : n = 5k , k ∈ N * , β : n是个位数是5的整数 ,∵ β ? α ,∴ B ? A 。


{

}

{

}

例 3:设 α : 1 ≤ x ≤ 3 , β : m + 1 ≤ x ≤ 2m + 4, m ∈ R , α 是 β 的充分条件,求 m 的取值 范围。 解:设 A = x 1 ≤ x ≤ 3 , B = x m + 1 ≤ x ≤ 2m + 4, m ∈ R ,

{

}

{

}

∵ α 是 β 的充分条件,∴ α ? β ,∴ A ? B ,
? m + 1 ≤ 1, ∴? ? 2 m + 4 ≥ 3.
解得 ?

1 ? 1 ? ≤ m ≤ 0 。所以 m ∈ ?? ,0? 。 2 ? 2 ?

练习 1.6


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