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2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1课件:第三章2.2 抛物线的简单性质(二) _图文

第三章 圆锥曲线与方程
2.2 抛物线的简单性质(二)

第一章 常用的逻辑用语
学习导航 学习 1.理解直线与抛物线位置关系.(重点) 目标 2.能解决直线与抛物线相关的综合问题.(难点) 学法 1.把图形的直观性与代数推理的严密性相结合,
体会数形结合思想的应用. 指导
2.体会并加深对坐标法的理解和应用.

1.点与抛物线的位置关系 (1)已知点 P(x0,y0),抛物线 C:y2=2px(p>0),则 y20=2px0?点 P 在抛物线 C 上; y20>2px0?点 P 在抛物线 C 外; y20<2px0?点 P 在抛物线 C 内; (点 P 与抛物线 C:y2=-2px(p>0)的关系与(1)类似)

(2)已知点 P(x0,y0),抛物线 C:x2=2py(p>0),则 x20=2py0?点 P 在抛物线 C 上; x20>2py0?点 P 在抛物线 C 外; x20<2py0?点 P 在抛物线 C 内. (点 P 与抛物线 C:x2=-2py(p>0)的关系与(2)类似)

2.直线与抛物线的位置关系 设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与 抛物线方程联立整理成关于x的方程:ax2+bx+c=0, (1)若a≠0, 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个公共点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个公共点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点. (2)若a=0,直线与抛物线有一个公共点,此时直线平行于抛 物线的对称轴或与对称轴重合,因此,直线与抛物线有一个 公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

3.抛物线中的弦长问题 设 A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线 y2=2px 上的任意两点, 直线 AB 的斜率为 k,倾斜角为 α,则弦长 |AB|= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
= ??1+k12??[(y1+y2)2-4y1y2].
若弦 AB 过抛物线的焦点,则 AB 又叫做抛物线的焦点弦, 除上述弦长公式仍适用外,弦长|AB|=sin22pα .

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线上顶点到其焦点的距离最小( √ ) (2)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线一定相 切( × ) (3)若点P在抛物线上,过P与抛物线只有一个公共点的直线有 两条( √ ) (4)若点P在抛物线内,过点P的直线与抛物线均不相切( √ )

2.过点(0,-1)的直线与抛物线x2=-2y公共点的个数为

(D)

A.0

B.1

C.2

D.1或2

解析:点(0,-1)在抛物线x2=-2y内,故选D.

3.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线

l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是( C )

A.??-12,12 ??

B.[-2,2]

C.[-1,1]

D.[-4,4]

解析:Q 点坐标为(-2,0),设 l:y=k(x+2),

代入 y2=8x 得 y=k(y82+2),即 ky2-8y+16k=0,

当 k=0 时,y=0,x=0,公共点为(0,0),合题意;当 k≠0

时,Δ =(-8)2-64k2≥0,∴k∈[-1,1],故选 C.

4.定长为a的线段AB的两个端点A、B在抛物线y=x2上任意 移 动 , 但 AB 总 不 过 抛 物 线 的 焦 点 , 则 a 的 取 值 范 围 是 __(0_,__1_)__. 解析:抛物线的通径长为1,∴a∈(0,1).

直线与抛物线的位置关系
已知直线l:y=kx+1和抛物线C:y2=4x,根据下列 条件确定k的取值范围. (1)l与C有一个公共点; (2)l与C有两个公共点; (3)l与C没有公共点.

[解] 将直线 l 和抛物线 C 联立得?????yy=2=k4xx+,1, 消去 y 得 k2x2+(2k-4)x+1=0.(*) 当 k=0 时,方程(*)只有一个解 x=14,y=1, 当 k≠0 时,方程(*)是一元二次方程,Δ =(2k-4)2-4k2. (1)当 Δ>0 时,即(2k-4)2-4k2>0,解得 k<1 且 k≠0,l 与 C 有 两个公共点,此时 l 与 C 相交;

(2)当Δ=0时,即(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,l与C有一个公 共点,此时l与C相切; (3)当Δ<0时,即(2k-4)2-4k2<0,解得k>1,l与C没有公共点, 此时l与C相离. 综上所述,当k=1或k=0时,l与C有一个公共点; 当k<1且k≠0时,l与C有两个公共点; 当k>1时,l与C没有公共点.

方法归纳 判定直线与抛物线位置关系的两个方法 (1)几何法. 利用图像,数形结合,判断直线与抛物线的位置关系,但有 误差影响判断的结果. (2)代数法. 设直线l的方程为y=kx+m,抛物线的方程为y2=2px(p>0), 将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次 方程形式:Ax2+Bx+C=0(或Ay2+By+C=0).

相交:①有两个交点:???A≠0, ??Δ >0.
②有一个交点:A=0(直线与抛物线的对称轴平行,即相交); 相切:有一个公共点,即???A≠0,
??Δ =0. 相离:没有公共点:即???A≠0,
??Δ <0.

1.过点(-3,2)的直线与抛物线y2=4x只有一个公共点,求此 直线方程. 解:显然,直线存在斜率 k,设其方程为 y-2=k(x+3), 由?????yy-2=24=x k(x+3)消去 x, 整理得 ky2-4y+8+12k=0.① (1)当 k=0 时,方程①化为-4y+8=0,即 y=2, 此时过(-3,2)的直线方程为 y=2,满足条件.

(2)当 k≠0 时,方程①应有两个相等实根.

由???k≠0 ,即???k≠0



??Δ =0 ??16-4k(8+12k)=0

得 k=13或 k=-1.

∴直线方程为 y-2=13(x+3)或 y-2=-(x+3),

即 x-3y+9=0 或 x+y+1=0.

故所求直线有三条,其方程分别为

y=2,x-3y+9=0,x+y+1=0.

与抛物线有关的最值与范围问题
已知抛物线 y2=2x.
(1)设点 A 的坐标为??23,0??,求抛物线上距离点 A 最近的点 P
的坐标及相应的距离|PA|; (2)在抛物线上求一点 P,使其到直线 l:x+y+4=0 的距离最 短,并求最短距离.

[解] (1)设抛物线任一点 P 的坐标为(x,y),则
|PA|2=??x-23??2+y2=??x-23 ??2+2x =??x+13 ??2+13.
∵x≥0 且在此区间上函数单调递增, ∴当 x=0 时,|PA|min=23, ∴距离点 A 最近的点的坐标为(0,0).

(2)法一:设点 P 的坐标为(x0,y0),则 x0=y220,点 P 到

直线 x+y+4=0 的距离 d=|x0+y0+4|=??y220+y0+4??=

2

2

(y0+1)2+7≥

22

2

7

=7 2

4

2.

故当点 P 的坐标为??21,-1??时,d 的最小值为7 42.

法二:由于???y2=2x, 无实根,故直线与抛物线没有公共 ??x+y+4=0
点.设与直线 x+y+4=0 平行的直线为 x+y+m= 0(m≠4).联立方程,得?????xy2+=y2+x,m=0, 消去 x 得 y2+2y+2m=0,设此直线与抛物线相切,即只有 一个公共点.

∴Δ =4-8m=0,∴m=12.

∴y2+2y+1=0,解得 y=-1,∴x=12.

即点 P??12,-1??到直线 x+y+4=0 的距离最短,最短距离 d

=??4-21??=7
2

4

2.

方法归纳 与抛物线有关的最值问题,大多都是综合性问题.解法灵活、 技巧性强;涉及代数、几何等方面的知识,主要有以下两种 方法: (1)平面几何法:平面几何法求最值问题,主要是运用抛物线 的定义和平面几何知识,要注意挖掘隐含的几何性质,运算 一般比较简捷,体现了数形结合的思想. (2)目标函数法:建立目标函数是解决与抛物线有关的最值问 题的常规方法,其关键是选取适当的变量建立目标函数,然 后运用求函数最值方法确定最值.

2.已知抛物线y2=-4x的焦点为F,其准线与x轴交于点M,过 点M作斜率为k(k≠0)的直线l,与抛物线交于A、B两点,弦 AB的中点为P,AB的垂直平分线与x轴交于点E(x0,0). (1)求k的取值范围; (2)求证:x0<-3; (3)△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形?若能,求出此时 的k值;若不能,请说明理由.

解:(1)由 y2=-4x 可得准线方程为 x=1,∴M(1,0). 设 l 的方程为 y=k(x-1), 联立?????yy= 2=k-(4xx-,1),得 k2x2-2(k2-2)x+k2=0. ∵A、B 存在,∴Δ =4(k2-2)2-4k4>0, ∴-1<k<1. 又 k≠0,∴k∈(-1,0)∪(0,1).

(2)证明:设 P(x3,y3),A(x1,y1),B(x2,y2),可得 x3=x1+2 x2=k2k-2 2,
y3=k??x1+2 x2-1??=-2kk2 =-2k.
所以 AB 的垂直平分线方程为
y+2k=-1k??x-k2k-2 2??.
令 y=0,则 x0=-k22-1, ∵k2∈(0,1), ∴x0<-3.

(3)假设存在以 EF 为底的等腰△PEF, ∴点 P 在线段 EF 的垂直平分线上,
∴2x3=-1+??-1-k22??,
∴2·k2k-2 2=-2-k22,解得 k=±22,
∴△PEF 可以成为以 EF 为底的等腰三角形,此时 k 值为±22.

坐标法证明抛物线的几何性质
过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点 A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB 平行于抛物线的对称轴.

[证明] 如图,以抛物线的对称轴为 x 轴,它的顶点为原点, 建立直角坐标系.设抛物线的方程为 y2=2px(p>0), ①
点 A 的坐标为??2yp02,y0??,
则直线 OA 的方程为 y=2yp0 x(y0≠0), ② 抛物线的准线方程是 x=-p2.③

联立②③,可得点 D 的纵坐标为 y=-py02.④
因为点 F 的坐标是??2p,0??,
所以直线 AF 的方程为
y=y220-pyp0 2??x-p2 ??,⑤
其中 y20≠p2. 联立①⑤,可得点 B 的纵坐标为 y=-py02.⑥ 由④⑥可知,DB∥x 轴. 当 y20=p2 时,结论显然成立.

方法归纳 本例体现了用坐标法研究几何性质的基本方法.过焦点的 直线可将直线方程设为 x=my+p2的形式,从而避免分类 讨论.本例是抛物线焦点弦的一个几何性质.

3.如图所示,抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线 交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴. 证明直线AC经过原点O.

证明:设直线 AB 的方程为 y=k(x-p2),A(x1,y1),B(x2,y2),
C(-p2,y2).
联立方程组,得???y=k(x-p2), ??y2=2px,
消去 x,得 y2-2kpy-p2=0, ∴y1y2=-p2,kOA=yx11,kOC=-y2p2=2yp1 .

又∵y21=2px1,∴kOC=xy11=kOA, 所以 AC 经过原点 O. 当 k 不存在时,AB⊥x 轴, 同理可得 kOA=kOC, 所以 AC 经过原点 O.

分类讨论思想在直线与抛物线位置关系中 数学思想
的应用
若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax恰好有一个 公共点,试求实数a的取值集合.

[解] 因为直线 l 与曲线 C 恰好有一个公共点,所以方程组

??y=(a+1)x- ???y2=ax

1 只有一组实数解.

消去 y,得[(a+1)x-1]2=ax,整理得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0

①.

(1)当 a+1=0,即 a=-1 时,方程①是关于 x 的一元一次方程,

解得 x=-1,这时,原方程组有唯一解?????xy==--11.

(2)当 a+1≠0,即 a≠-1 时,方程①是关于 x 的一元二次方程.令 Δ=(3a+2)2-4(a+1)2=a(5a+4)=0,解得 a=0 或 a=-45. 当 a=0 时,原方程组有唯一解?????xy==01; 当 a=-45时,原方程组有唯一解?????xy==--25. 综上,实数 a 的取值集合是{-1,-45,0}.

[感悟提高] 用代数方法研究直线与抛物线的位置关系,若 方程组消元后所得方程平方项系数含有字母参数,则需用分 类讨论思想讨论平方项系数是否为零.

技法导学

抛物线中的定值、定点问题

已知点B(-1,0)和抛物线C:y2=8x,不垂直于x轴的直线l 与抛物线C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线 ,证明直线l过定点.

[证明] 由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0),P(x1,y1), Q(x2,y2), 将 y=kx+b 代入 y2=8x 中, 得 k2x2+(2bk-8)x+b2=0. 其中 Δ=-32kb+64>0. 由根与系数的关系得,x1+x2=8-k22 bk,① x1x2=bk22.②

∵x 轴是∠PBQ 的角平分线,∴x1y+1 1=-x2y+2 1, 即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, ∴(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, ∴2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③ 将①②代入③并整理得 2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0, ∴k=-b.此时 Δ>0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1),即直线 l 过定点(1,0). [感悟提高] (1)证直线过定点一般最后把直线化为点斜式. (2)证定值问题实际上论证与变量无关.



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