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浅谈数形结合思想在中学数学解题中的应用


毕 业

论 文

学生姓名 学 专 题 院 业

陈碧玉





161001049

数学科学学院 数学与应用数学

目 浅谈数形结合思想在中学数学解题中 的应用

指导教师

王爱峰
(姓 名)

副教授/博士
(专业技术职称/学位)

2014



05 月

淮阴师范学院毕业论文

摘 要:

数形结合是中学数学中一种十分常见且重要的数学思想之一 . 利用数形之间的

相互转化,可以化繁为简、化难为易、化抽象为具体,从而达到简洁明了的解题效果. 本 文主要探讨了数形结合思想在集合、函数、方程、几何、三角函数、线性规划、复数问题 中的应用.

关键词:

数形结合,线性规划,复数,应用

2

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Abstract:

The combination of number and shape is one of a very common and important

mathematical thought in middle school mathematics. Using mutual conversion between number and form, we can make hard problems simple and easy and turn the abstract to the concrete. In this paper, we mainly discuss the combination of number and shape in collection、functions、 equations、geometry、trigonometric functions、linear programming and complex number.

Keywords: application

the combination of number and shape,

linear programming, complex number,

3

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1 前言………………………………………………………………………………………………………4 2 数形结合思想在中学数学中的应用 ………………………………………………………5 2.1 数形结合思想在集合中的应用……………………………………………………………5 2.2 数形结合思想在函数中的应用……………………………………………………………6 2.3 数形结合思想在方程与不等式中的应用……………………………………………11 2.4 数形结合思想在三角函数中的应用 …………………………………………………13 2.5 数形结合思想在中学几何中的应用 …………………………………………………14 2.6 数形结合思想在线性规划中的应用 …………………………………………………15 2.7 数形结合思想在复数中的应用………………………………………………………… 16 结 论 …………………………………………………………………………………………………… 18 参考文献 …………………………………………………………………………………………………19 致 谢………………………………………………………………………………………………………20

4

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1 前言
数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中,经过思维活动产 生的结果,它是对数学事实和数学理论经过概括后产生的本质认识. 基本数学思想则是应 该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想. 中学阶段的基本数学思想包括:分类整合思想、归纳推理思想、数形结合思想、函数 思想、方程思想、整体思想、分类讨论思想、转化思想、类比思想、抽样统计思想等. 在 中学阶段的数学教学中时时刻刻都渗透着这些基本数学思想,如果教师能够将这些基本的 思想真正落实到课堂学习中,那么它就能够发展学生学习数学的能力. 本文主要探讨了这 些基本数学思想中的数形结合思想,它是一种十分重要且常见的思想方法之一,贯穿于整 个中学数学的教学过程. 我国著名数学家华罗庚曾经说过:数与形,本是相依倚,焉能分作两边飞;数无形时 少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休;切莫忘,几何代数统一体, 永远联系切莫分离 [1] . 这就说明数与形是紧密联系、 不可分割的.而数形结合主要是指数学 语言与几何图形之间一一对应的关系. 数形结合思想的实质就是通过数学语言与几何图形之间的相互转化,把抽象的数量通 过抽象化的方法,转化为适当的几何图形,从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在 联系,解决数量关系的数学问题;或者是把关于几何图形的问题,用数量或方程等来表示, 从它们的结构研究几何图形的性质和特征 [ 2 ] . 数形结合思想可以使某些抽象的不易于理 解的数学问题生动直观,能够变抽象问题为形象问题,便于学生把握数学问题的本质. 此 外,借助数形结合的方法使得很多抽象的问题迎刃而解. 这种思想的应用非但可以培养学 生的自己观察思考、综合运用各种知识的能力,而且还培养了学生的自主创新的能力,增 强了学生发散性思维的能力. 数形结合思想作为一种基本的数学思想,其应用一般可以分为以下两种情形:第一种 情形就是“以数解形”,而第二种情形则是“以形助数”. “以数解形”就是将“形”的 问题转化为用数量关系去解决,运用代数,函数知识进行讨论,它是将技巧性极强的的推 理论证转化为可操作的代数运算,起到了化难为易的作用. “以形助数”顾名思义就是将 “数”的问题转化为图形的问题来解决,直观生动,便于理解和解题. 在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一是明白概念和运算的几何 意义,对于题目中的的条件和结论既分析其代数意义又要分析其几何意义;第二是恰当设

5

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立参数、合理运用参数,建立正确关系,做好数与形的相互转化;第三是正确确定参数的 取值范围. 下面我将具体从这几个方面来探讨数形结合思想在中学数学解题中的应用 . (1)在集 合问题中的应用. (2)在函数问题中的应用. (3)在方程、不等式问题中的应用.(4)在三角 函数问题中的应用. (5)在几何问题中的应用. (6)在线性规划问题中的应用. (7)在复数 问题中的应用 . 通过对这些例题的分析讲解充分展现数形结合思想在中学数学解题中的 特点,从而将数形结合思想运用到实际教学中.

2 数形结合思想的应用
2.1 数形结合思想在集合中的应用
在集合运算问题中,当所给问题的数量比较复杂,不好找线索时,我们常常要借助数 轴、韦恩图来处理集合中的交、并、补等运算,利用直观的图形,从而使问题更加简化, 运算更加快捷. 例1 解

? 1 ? 已知集合 A ? {x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0} , B ? ? x ? 0? ,则 A ? B 等于多少? ? x ?
如图 1.集合 A 的解集为 A ? {x | ?4 ? x ? 0},集合 B 的解集为 B ? {x x ? 0} ,所以
A ? B ? {x | 0 ? x ? 1} .

?4

?3

?2

?1

0

1

图1 例 2 [3] 某班有 48 个学生,每人至少参加一个活动小组,参加数、理、化的人数分别

为 28,25,15, 同时参加数、理小组有 8 人,同时参加理、化的有 6 人,同时参加数、化的有 7 人,问同时参加数、理、化的有多少人? 分析 本题中,我们可以用 A、B、C 三个圆分别表示参加数、理、化的人(如图 2) ,

则三个圆的公共部分就是表示同时参加数、理、化三个活动小组的人数. 假设用 n 来表示

6

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集合中的元素,则有
n( A) ? n( B) ? n(C ) ? n( A ? B) ? n( A ? C ) ? n( B ? C ) ? n( A ? B ? C ) ? 48,


28 ? 25 ? 15 ? 8 ? 6 ? 7 ? n( A ? B ? C ) ? 48,

所以
n( A ? B ? C ) ? 1 ,

因而同时参加数、理、化活动小组的有 1 人.







图2

2.2 数形结合思想在函数中的应用
利用函数图像来研究函数的性质是一般常见的数学方法之一.函数图像的几何特征和 数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征和方法. 利用函数图像的直观性来讨论函数的 最值问题,求解变量的取值范围,运用数形结合思想考察转化能力,逻辑思维能力,是函 数教学中的重要内容之一. 例3 若函数 f ?x ? 是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数,且 f (2) ? 0 ,求 因为 f ?x ? 是定义在 R 上的偶函数, 所以 y ? f ( x) 关于 y 轴对称, 又因为 y ? f ( x) 在
f ( x) ? 0 ,

f ( x) ? 0 的 x 的取值范围.



(??,0) 上为减函数,且 f (2) ? f (?2) ? 0 ,因此可以作出图 3,所以由图像性质可知

7

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所以
x ? (?2,2) .

y

?2

0

2

x

图3 例4 分析 求函数 y ? x 2 ? 1 ? x 2 ? 4 x ? 8 的最小值. 观察 y ? x 2 ? 1 ? x 2 ? 4 x ? 8 的特点,直接从代数方面求解,学生很难解答.

本题中,我们需要借助数形结合的思想,以此思想为转化手段,让学生巧妙地使用两点间 的距离公式. 解
x 2 ? 1 ? x 2 ? 4 x ? 8 ? ( x ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 2) 2 .

令 A(0,1) , B(2,2) , P( x,0) ,则问题转化为在 x 轴上求一点 P ,使 PA ? PB 有最小值.

y

B A
0

P

x

C

图4

8

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如图 4 所示,由于 AB 在 x 轴同侧,故 取 A 关于 x 轴的对称点 C (0,?1) , 因此

? PA ? PB ?
例5 分析

min

? CB ? (2 ? 0) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 13 .

函数 f ?x? ? x 2 ? ax ? 3 ,当 x ? [?2,2] 时, f ( x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围. 本题是二次函数问题中典型的“轴变区间定”问题 .根据函数解析式画出函数

图像,分情况讨论,思路清晰,不易出错. 解
a 由解析式知,函数的对称轴为 x ? ? . 2 a 当 ? ? ?2 ,即 a ? 4 时(图 5), f ?x ? 在 [?2,2] 上单调递增,所以 当 x ? ?2 时,有 2

?1?

f ( x) min ? f (?2) ? ?2a ? 7 ,
依题意得
? 2a ? 7 ? a ,


a? 7 , 3

所以

a 不存在.

y
f ( x) ? x 2 ? ax ? 3

?2

0

2

x

x??

a 2

图6

?2?

当? 2 ? ?

a a? ? ? a ? ? 2 ,即 ? 4 ? a ? 4 时(图 6) , f ?x ? 在 ?? 2,? ? 上单调递减,在 ?? ,2? 上 2 2? ? 2 ? ?

a 单调递增.所以 当 x ? ? 时,有 2
9

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a2 ? a? . f ?x ?min ? f ? ? ? ? 3 ? 4 ? 2?
依题意得
3? a2 ? a, 4


?6? a ? 2,

所以
?4 ? a ? 2.

y
f ( x) ? x 2 ? ax ? 3

?2

0

2

x

x??

a 2

图6

?3?

当?

a ? 2 ,即 a ? ?4 时(图 7) , f ?x ? 在 [?2,2] 上单调递增,所以 当 x ? ?2 时,有 2

f ( x) min ? f (?2) ? 2a ? 7 .
依题意得
2a ? 7 ? a ,


a ? ?7 ,

所以
? 7 ? a ? ?4 .

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y
f ?x? ? x 2 ? ax ? 3

?2

0

2

x

x??

a 2

图7 综上所述
a ? [?7,2] .

例 6

在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y ? x ?

1 1 ? x ? 与直线 y ? kx ? 1 有四个公 x x

共点,求实数 k 的取值范围. 解 由题意得, y ? x ?
1 1 ? x ? 是偶函数,且 x x

? 2 x ? ?1, ?? x , ? ?? 2 x, ? 1 ? x ? 0, y?? 0 ? x ? 1, ? 2 x, ? 2, x ? 1, ? ? x

作出曲线的图像(如图 8)

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y 2
y ? kx ? 1

0

x

?2

图8 当 k ? 0 时,直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x ? 有四个公共点,则需 y ? kx ? 1 与 y ? ?
1 1 ? x ? 有四个公共点;当 k ? 0 时,要使它们 x x

2 ?x ? ?1? 有一个公共点,此时 x 2 kx ? 1 ? ? , x

即方程 kx 2 ? x ? 2 ? 0 有两个相等的实数解,从而
? ? 1 ? 8k ? 0 ,


k? 1 ; 8

当 k ? 0 时,根据对称性可得
1 k?? ; 8
从而满足条件的 k 的取值范围是 ??

? 1 1? ,0, ? . ? 8 8?

2.3 数形结合思想在方程与不等式中的应用
很多情况下,我们在处理一些不能使用常规方法来解答的复杂方程时,通常把方程根 的问题看作两个函数的交点问题,通过作图就可以很好地解答出来 . 处理不等式的问题 时,根据题目的条件和结论,画出图形,将图形和联系题目中的相关函数相互结合,重点 分析其几何意义,揭示图形所蕴含的数量关系,借助图形探求其解题思路. 例 7 [4] 设方程 x 2 ? 1 ? k ,试讨论 k 取不同范围的值时其不同解的个数的情况.

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可以将题设问题转化为确定两个函数 y1 ? x 2 ? 1 与 y 2 ? k 图像交点个数的情况的

问题(图 9). 由于函数 y 2 ? k 一直表示所有平行于 x 轴的直线,而分段函数 y1 ? x 2 ? 1 可 以先表示为函数 y1 ? x 2 ? 1 , 再画出 y1 ? x 2 ? 1 的图像, 进一步画出函数 y1 ? x 2 ? 1 的图像, 从而由图像可以直接看出

y

1

?1

O

1

x

?1

图9 (1) 当 k ? 0 时, y1 , y2 没有交点,这时原方程无解; (2) 当 k ? 0 时, y1 , y2 有两个交点,原方程有两个不同的解,分别是 x ? ?1 与 x ? 1 ; (3) 当 0 ? k ? 1 时, y1 , y2 有四个不同的交点,原方程有四个不同解; (4) 当 k ? 1 时, y1 , y2 有三个交点,原方程有三个不同解; (5) 当 k ? 1 时, y1 , y2 有两个交点,原方程有两个不同解. 通过图像我们可以清楚地看出 k 在不同范围内两个函数交点的个数,化繁为简,提高 解题的效率.

例8 证明

设 x ? 0, y ? 0, z ? 0 ,求证: x 2 ? xy ? y 2 ? y 2 ? yz ? z 2 ? z 2 ? zx ? y 2 . 这是一个代数不等式的证明问题,已知条件简单,难以下手. 但是由问题中的

代数式的结构自然地联想到三角形余弦定理,所以 x 2 ? xy ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy cos 60 ? . 又因为 x ? 0 , y ? 0 ,所以 x 2 ? y 2 ? 2 xy cos 60 ? 可以表示是以 x , y 为边, 60? 为其夹角 的三角形的第三边. 同理
y 2 ? yz ? z 2 , z 2 ? xz ? x 2 也有类似的几何意义.

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于是构造出如图 10 的四面体 V ? ABC ,使
?AVB ? ?BVC ? ?CVA ? 60? ,

V


VA ? x,VB ? y,VC ? z ,

x

z

由余弦定理得
AB ? x 2 ? y 2 ? 2 xy cos 60 ? ? x 2 ? xy ? y 2 .

y A
C

同理
BC ? y 2 ? yz ? z 2 ,

B
图 10

CA ? z 2 ? zx ? x 2 .
在 ?ABC 中 AB ? BC ? CA ,所以原不等式成立. 例9 解 令
f ( x) ? g ( x) ,

解关于 x 的不等式 loga ( x ? 1) ? loga ( x ? 1) (0 ? a ? 1) . 设 f ( x) ? loga ( x ? 1) , g ( x) ? loga ( x ? 1) ,

x? 2.
在同一直角坐标系中分别作出函数 f ( x) 和函数 g ( x) 在 0 ? a ? 1 时的图像,如图 11 所示

y

2
1

?1

O

1

2

x

图 11 当 x ? 2 时, f ( x) 和 g ( x) 的函数值相等;当 x ? 2 时, f ( x) ? g ( x) ;当 x ? 2 时,
f ( x) ? g ( x) .从而可知原不等式的解是

x? 2.

2.4 数形结合思想在三角函数中的应用
14

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数形结合思想是处理三角函数有关问题的重要思想方法 ,通常有两个形式:一是利用 单位圆解决角的范围或三角不等式问题;二是利用三角函数图像求方程解的个数问题,或 已知方程解的个数,求方程中的字母参数的范围问题 [ 5 ] . 例 10 证明
?? ? ? 设 x ? ? , ? .求证 csc x ? cot x ? 2 ? 1. ?4 2?

由题设条件可以构造一个等腰直角三角形 ABC ,如图 12 ,设 ?CDB ? x ,

AB ? BC ? 1 , 则 AC ? 2 . 因 为 csc x ? DC , cot x ? DB , 又 DC ? AD ? AC , 所 以

DC ? AB ? DB ? AC ,故 csc x ? 1 ? cot x ? 2 ,因此 csc x ? cot x ? 2 ? 1. C

x
A D B

图 12

2.5 数形结合思想在几何中的应用
几何的特点是代数与几何相结合,处理几何问题的一般方法就是利用数形结合的思 想,观察直线,圆和圆锥曲线在直角坐标系中图像的特点,从图形中获得解答问题的思路. 例 11 如图 13,双曲线
x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别是 F1 , F2 , P 是双曲线上任意的一 49 15

点, Q 是 PF2 的中点,且到 O 点距离为 4 ,求点 P 到此双曲线左准线的距离.

15

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y

P
Q

F1

O

F2

x

图 13 解 由题意知,双曲线的离心率 e ?
8 ,连接 P , F1 两点和 O , Q 两点,可知线段 OQ 7

是 ?F1 F2 P 的中位线,因为 OQ ? 4 ,所以 F1 P ? 8 ,因而点 P 到双曲线左准线的距离就是
8e ? 8 ? 8 64 ? . 7 7

2.6 数形结合思想在线性规划中的应用
灵活运用数形结合的思想是解决线性规划问题的关键,利用数形结合思想巧妙地将代 数问题转化为几何问题,借助所画的图像直观生动地来阐明数量的关系.

例 12

? x ? y ? 0, ?2 x ? y ? 2, ? 若不等式组 ? 所表示的平面区域是一个四边形,求实数 a 的取值范 y ? 0 , ? ? ?x ? y ? a

围.



? x ? y ? 0, ?2 x ? y ? 2, ? 如图 14,可以作出上述不等式组 ? 中的前三个不等式所表示的平面区 ? y ? 0, ? ?x ? y ? a

?2 2? 域, 其中 O(0,0) ,A(1,0) ,B? , ? 分别为此平面区域的三个顶点, 只有在直线 2 x ? y ? 2 和 ?3 3?

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? x ? y ? 0, ?2 x ? y ? 2, ? 最后一个不等式 x ? y ? a 的交点处于 A, B 两点之间时, ? 所表示的平面区域才是 ? y ? 0, ? ?x ? y ? a 4 一个四边形,而此时 1 ? a ? . 3
y

2x ? y ? 2
2
B

x? y ?0

x? y ?a O
A

x

图 14

2.7 数形结合思想在复数中的应用
将复数在平面上表现出来,复数就有了几何意义,与点对应,与向量对应,从而建立 了复平面。一般解决复数问题,总是由复数联想到三角,几何等知识,将它们联系起来, 不仅可便于理解、把握复数方面的问题,而且还能够提高分析问题、解决问题的能力. 5? ? 例 13 设 arg ? z ? 2 ? ? , arg ? z ? 2 ? ? ,求复数 z . 6 3 解
z ?2.

根据复数的几何意义,可作出如图 15 所示的图形,OA 为 z ? 2 ,OC 为 z ,OB 为
5? ? ? ? ? ,且点 C 是 AB 的中点,所以 6 3 2 1 OC ? AB ? BC ? 2 , 2

因为 ?AOB ?



z ?2,
所以 ?COB ? ?B 因为 BC 平行于 x 轴,所以
?COB ? ?B ? ? ? 5? ? ? , 6 6

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所以
arg z ? 5? ? 2? ? ? , 6 6 3

所以

z ? 2 cos120? ? i sin 120? ? ?1 ? 3i .

?

?

y
B

C

A

O

x

图 15

18

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由上述的例子可知,数形结合是中学数学解题中重要的思想方法之一,并且有着广泛 的应用.在学习过程中,培养学生的这种思想意识,巩固此方法的应用,不仅能优化解题 思路,还能使学生的创新意识得到培养,加强学生综合运用的能力。在平时的学习和研究 中我们要不断培养学生的这种思维意识,将图形与代数有机的结合起来,不断拓展我们的 思维.在教学中也要注重培养学生数形结合思想方法的思维意识,教师要深层次地挖掘教 材内容,将数形结合思想具体地渗透到实际问题中来,在寻求解决问题的方法中,让学生 正确理解数与形紧密相连的关系,使之有机地结合起来.让学生真正做到心中有图,图中 有数,利用数形结合思想简明答题,做到学以致用.

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参考文献

[1]罗增儒.数学解题学引论[M].陕西:陕西师范大学出版社. [2]冯艳丽.浅谈学生数形结合思想的培养[J].教育研究,2007,12:129. [3]刘锋.数形结合的思想在高中数学解题中的应用[J]. 理科考试研究 (高中版) ,2013, 20(9):22. [4]廖冬梅. 数形结合思想在高中数学中的应用[J]. 读写算(教育教学研究), 2011,(71):69-70. [5]孙志杰. 浅谈数形结合思想在三角函数中的运用[J]. 才智,2011,(30):151-152.

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