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高中数学竞赛辅导课件(九)——三角函数(二)


竞赛辅导─ 三角函数( 竞赛辅导 ─ 三角函数 ( 二 ) 三角恒等变形

1

竞赛辅导─ 三角函数( 竞赛辅导 ─ 三角函数 ( 二 ) 三角恒等变形
众多的三角公式,构成了丰富多彩的三角学。 众多的三角公式,构成了丰富多彩的三角学。 要灵活地进行三角恒等变换, 要灵活地进行三角恒等变换,除熟练地掌握三角公 式以及一般的代数变形技巧外, 式以及一般的代数变形技巧外,更重要的是抓住三 角式的结构特征,从角和函数名入手,深入分析, 角式的结构特征,从角和函数名入手,深入分析, 灵活解题。 灵活解题。
2

第二讲──三角恒等变形 第二讲──三角恒等变形 ──
常用结果( 课本学习过的及 新介绍的): 常用结果(含课本学习过的及教程第 190 页新介绍的): 过的 的变形; ⑴“1”的变形;如 sin 2 α + cos 2 α = 1 .

⑵两角和与差的三角函数; 两角和与差的三角函数; 如 cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β 2 tan α 倍角公式; ⑶倍角公式;如 tan 2α = 2 1? tan α 1 ? tan2 α 2tanα 万能公式 公式; ⑷万能公式;如 cos2α = , sin2α = 2 1+ tan2 α 1+ tan α 1 积化和差公式: ⑸积化和差公式:如 cosα cos β = [ cos(α + β ) + cos(α ? β )] , 2 β ?α α+β 与和差化积公式: )sin( ) 与和差化积公式:如 cosα ? cos β = 2sin( 2 2
3

⑹三倍角公式: 三倍角公式: o o 3 sin3α = 3sinα ? 4sin α = 4sin(60 ?α)sinα sin(60 +α)

cos3α = 4cos α ? 3cosα = 4cos(60 ?α)cosα cos(60 +α) 三角形有 公式: ⑺与三角形有关的公式: ① tan A+ tan B + tanC = tan Atan BtanC ② cot Acot B + cot Bcot C + cot C cot A = 1 A B B C C A ③ tan tan + tan tan + tan tan = 1 2 2 2 2 2 2 r A B C ④ = 4sin sin sin = cos A + cos B + cos C ? 1 R 2 2 2 三角恒等变形的运用(见课本第191 191页 三角恒等变形的运用(见课本第191页):
3 o o

(1)求值,(2)求角;(3)恒等式与不等式的证明等. (1)求值,(2)求角;(3)恒等式与不等式的证明等. 求值,(2)求角;(3)恒等式与不等式的证明等
4

3 求值: ⑵求值: cos 10° + cos 50° ? sin 40° sin 80° = 4 法一:降次,和差化积, 法一:降次,和差化积,积化和差运用
解法:三角公式的灵活运用 解法:
2 2

自学教程第 191 页的例 1、例 3, 第 198 页的例 2、例 3、例 5. 119 思考 1:求值 5 sin 2α π ⑴已知 sin( ? α ) = ,则 =_______. 65 π 4 13 cos( + α ) 4

洞察力的运用, 法二:洞察力的运用,

⑶已知△ABC 中,已知 a + c = 2b , 已知△ 1 A C 的值. 求 tan tan 的值. 2 2 3
3答案 答案

5

练习

⑶已知△ABC 中,已知 a + c = 2b , 已知△ A C 的值. 求 tan tan 的值. 2 2
目标是 形式, 分析:目标是角的形式,先化切为弦,以便 突破方向 方向. 更好把握其可能突破方向. 条件的 转化为 尝 试把 条件 的关 系转化为角 的关系 目标靠 尽量往目标靠…… 解:由题意知 sin A + sin C = 2 sin B = 2sin( A + C ) , A?C A+C 得 cos = 2cos 2 2 A C A C A C 1 ∴ 3sin sin = cos cos ,∴ tan tan = 2 2 2 2 2 2 3
6

1:求值 练习 1:求值 o o 的值是( ⑴(教程 P195 第 2 题) 4sin 40 ? tan 40 的值是(

D)

3 3 1 (A) (B) (C) (D) 3 2 3 2 ⑵(教程 P195 第 4 题)在△ABC 中,角 A、B、C 的对应边分别是
C?A A+C 边上的高, + cos a、b、c , c ? a 等于 AC 边上的高, sin 若 则 的 2 2 值是( ) 值是( 1 1 (A)1 (A)1 (B) (B) (D) ?1 2 3 7 o o 6 6 3. (教程 P196 第 9 题)若 60 < α < 30 ,且 sin α + cos α = , 12 活用“ 的变形 那么 2007 cos α =_____. 活用“1”的变形 4. (教程 P219 例 7) sin 3 x sin 3 x 的最大值是_______.

A

669 30 2 1 4

7

思考 2:求角 为锐角, ⑴(教程 P196 第 12 题)已知 α、β 为锐角,

3 且 cos α + cos β ? cos(α + β ) = ,则 α = ___, β = ____. 3 3 2 ⑵已知 0 ≤ α < β < γ < 2π , cos α + cos β + cos γ = 0 , 且 sin α + sin β + sin γ = 0 ,则 β ? α 的值为( B) 3π 2π 2π (D)不 (A) (B) (C) ? (D)不能确定 4 3 3

π

π

8

练习

练习 2:求角 ⑴(教程 P203 第 7 题)设 θ ∈ R , 0 < ? < 2π ,若关于 x 的 二 次 不 等式 x2 cosθ + 2sin?(sinθ + cosθ ) x + sinθ > 0 7π 11π 的解集为区间 (1,10) ,则 ? 的值是_______________. 的值是_______________. 或 6 6

9

思考 3:证明 为实数, (教程 P222 第 13 题)若 x , y , z 为实数, 0 < x < y < z <

π
,
2

π
证明: 证明:
2

+ 2sin x cos y + 2sin y cos z > sin 2 x + sin 2 y + sin 2 z

10

练习

练习 3: 求证: 1. (教程 P203 第 11 题)求证:当 0 < x <

π
3

时, sin 2 x + cos x > 1

2.已知 α、β、γ 为锐角, sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 1 为锐角, 2.已知 π 3π 求证: 求证: < α + β + γ < 2 4

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