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高考文科数学复习专题 极坐标与参数方程


1.曲线的极坐标方程. (1)极坐标系:一般地,在平面上取一个定点 O,自点 O 引一条射线 Ox,同时确定一个 长度单位和计算角度的正方向 ( 通常取逆时针方向为正方向 ) ,这样就建立了一个极坐标 系.其中,点 O 称为极点,射线 Ox 称为极轴.

(2)极坐标(ρ ,θ )的含义:设 M 是平面上任一点,ρ 表示 OM 的长度,θ 表示以射线 Ox 为始边,射线 OM 为终边所成的角.那么,有序数对(ρ ,θ )称为点 M 的极坐标.显然, 每一个有序实数对(ρ ,θ ),决定一个点的位置.其中 ρ 称为点 M 的极径,θ 称为点 M 的 极角. 极坐标系和直角坐标系的最大区别在于: 在直角坐标系中, 平面上的点与有序数对之间 的对应关系是一一对应的,而在极坐标系中,对于给定的有序数对(ρ ,θ ),可以确定平面 上的一点,但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的. (3)曲线的极坐标方程:一般地,在极坐标系中,如果平面曲线 C 上的任意一点的极坐 标满足方程 f(ρ ,θ )=0,并且坐标适合方程 f(ρ ,θ )=0 的点都在曲线 C 上,那么方程 f(ρ ,θ )=0 叫做曲线 C 的极坐标方程.

2.直线的极坐标方程. (1)过极点且与极轴成 φ 0 角的直线方程是 θ =φ 0 和 θ =π -φ 0,如下图所示.

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(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a,0)的直线的极坐标方程是 ρ cos θ =a,如下图所 示.

(3)与极轴平行且在 x 轴的上方,与 x 轴的距离为 a 的直线的极坐标方程为 ρ sin θ = a,如下图所示.

3.圆的极坐标方程. (1)以极点为圆心,半径为 r 的圆的方程为 ρ =r,如图 1 所示. (2)圆心在极轴上且过极点,半径为 r 的圆的方程为ρ =2rcos_θ ,如图 2 所示. (3)圆心在过极点且与极轴成 如图 3 所示. π 的射线上, 过极点且半径为 r 的圆的方程为 ρ 2rsin_θ , 2

4.极坐标与直角坐标的互化.
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若极点在原点且极轴为 x 轴的正半轴,则平面内任意一点 M 的极坐标 M(ρ ,θ )化为平 面直角坐标 M(x,y)的公式如下:
? ?x=ρ cos θ , y 2 2 ? 或者 ρ = x +y ,tan θ = , x ?y=ρ sin θ ?

其中要结合点所在的象限确定角 θ 的值.

1.曲线的参数方程的定义. 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数,即
? ?x=f(t), ? 并且对于 t 的每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, ?y=g(t), ?

那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系 x,y 之间关系的变数 t 叫做参变数,简称参 数. 2.常见曲线的参数方程. (1)过定点 P(x0,y0),倾斜角为 α 的直线:
? ?x=x0+tcos α , ? (t 为参数), ?y=y0+tsin α ?

其中参数 t 是以定点 P(x0,y0)为起点,点 M(x,y)为终点的有向线段 PM 的数量,又称 为点 P 与点 M 间的有向距离. 根据 t 的几何意义,有以下结论: ①设 A,B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为 tA 和 tB,则|AB|=|tB-tA|= (tB+tA) -4tA·tB; tA+tB ②线段 AB 的中点所对应的参数值等于 . 2 (2)中心在 P(x0,y0),半径等于 r 的圆:
?x=x0+rcos θ , ? ? (θ 为参数) ?y=y0+rsin θ ?
2

(3)中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的椭圆:
? ?x=acos θ , ?x=bcos θ ,? ? ? ? (θ 为参数)?或? ?. ?y=bsin θ ?y=asin θ ? ? ? ?

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? ?x=x0+acos α , 中心在点 P(x0, y0), 焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程为? ? ?y=y0+bsin α

(α 为参数). (4)中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的双曲线:
?x=asec θ , ?x=btan θ ,? ? ? ? ? (θ 为参数)?或? ?. ?y=btan θ ?y=asec θ ? ? ? ?

(5)顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上的抛物线:
? ?x=2p, ? (t 为参数,p>0). ?y=2p ?

1 注:sec θ = . cos θ 3.参数方程化为普通方程. 由参数方程化为普通方程就是要消去参数, 消参数时常常采用代入消元法、 加减消元法、 乘除消元法、三角代换法,消参数时要注意参数的取值范围对 x,y 的限制.

? 5π ? 1.已知点 A 的极坐标为?4, ?,则点 A 的直角坐标是(2,-2 3). 3 ? ?
π? ? 2.把点 P 的直角坐标( 6,- 2)化为极坐标,结果为?2 2,- ?. 6? ? 3.曲线的极坐标方程 ρ =4sin θ 化为直角坐标方程为 x +(y-2) =4. π? ? π? ? 4. 以极坐标系中的点?1, ?为圆心、 1 为半径的圆的极坐标方程是 ρ =2cos?θ - ?. 6? 6? ? ?
?x=t, ?x=3cos θ , ? ? 5.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l:? (t 为参数)过椭圆 C:? ? ? ?y=t-a ?y=2sin θ
2 2

(θ 为参数)的右顶点,则常数 a 的值为 3.
?x=t, ?x=3cos θ , x2 y2 ? ? 解析:由直线 l:? 得 y=x-a.由椭圆 C:? 得 = =1.所以椭 ?y=t-a, ?y=2sin θ , 9 4 ? ?

圆 C 的右顶点为(3,0).因为直线 l 过椭圆的右顶点,所以 0=3-a,即 a=3.

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一、选择题 1.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为(1,- 3).若以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是(C) π? ? A.?1,- ? 3? ? π? ? C.?2,- ? 3? ?

? 4π ? B.?2, ? 3 ? ?
4π ? ? D.?2,- ? 3 ? ?
?x=2cos θ , ? ?y=2sin θ ? ?x=t+1, ? (θ 为参数),直线的方程为? (t 为参数),则 ?y=t-1 ?

2.若圆的方程为?

直线与圆的位置关系是(B) A.相离 C.相切 B.相交 D.不能确定

3.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标
?x=t+1, ? 系中取相同的长度单位,已知直线 l 的参数方程是? (t 为参数),圆 C 的极坐标方 ?y=t-3 ?

程是 ρ =4cos θ ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为(D) A. 14 C. 2 B.2 14 D.2 2
2 2

解析:由题意可得直线和圆的方程分别为 x-y-4=0,x +y =4x,所以圆心 C(2,0), 半径 r=2,圆心(2,0)到直线 l 的距离 d= 2,由半径,圆心距,半弦长构成直角三角形, 解得弦长为 2 2.
?x=3cos θ , ? 2 2 4.已知动直线 l 平分圆 C:(x-2) +(y-1) =1,则直线 l 与圆 O:? (θ ?y=3sin θ ?

为参数)的位置关系是(A) A.相交 C.相离 B.相切 D.过圆心
2 2

解析:动直线 l 平分圆 C:(x-2) +(y-1) =1,即圆心(2,1)在直线 l 上,又圆 O:
?x=3cos θ , ? 2 2 2 2 ? 的普通方程为 x +y =9 且 2 +1 <9,故点(2,1)在圆 O 内,则直线 l 与圆 O ?y=3sin θ ?

的位置关系是相交.
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二、填空题
? ?y=sin θ -2, 5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程是? (θ 是参数), ?x=cos θ ?

若以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴, 则曲线 C 的极坐标方程可写为 ρ +4ρ sin_θ +3=0.
?y=sin θ -2, ?y+2=sin θ , ? ? 解析:在平面直角坐标系 xOy 中,? (θ 是参数),∴? 根 ?x=cos θ ?x=cos θ . ? ?

2

据 sin θ +cos θ =1,可得 x +(y+2) =1,即 x +y +4y+3=0.∴曲线 C 的极坐标方程 为 ρ +4ρ sin θ +3=0.
? ?x=2cos θ , 6.在平面直角坐标系中圆 C 的参数方程为? (θ 为参数),以原点 O 为极 ?y=2+2sin θ ?
2

2

2

2

2

2

2

? π? 点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则圆 C 的圆心的极坐标为?2, ?. 2? ?
三、解答题 1 7.求极点到直线 2ρ = (ρ ∈R)的距离. π? ? sin?θ + ? 4? ? 1 解析:由 2ρ = ? ρ sin θ +ρ cos θ =1? x+y=1, π? ? sin?θ + ? 4? ? |0+0-1| 2 故 d= = . 2 2 2 1 +1 8.极坐标系中,A 为曲线 ρ +2ρ cos θ -3=0 上的动点,B 为直线 ρ cos θ +ρ sin θ -7=0 上的动点,求|AB|的最小值.
2

? ?x=cos θ , 9. (2015·大连模拟)曲线 C1 的参数方程为? (θ 为参数), 将曲线 C1 上所有 ?y=sin θ ?

点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标伸长为原来的 3倍,得到曲线 C2.以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l: ρ (cos θ -2sin θ )=6. (1)求曲线 C2 和直线 l 的普通方程; (2)P 为曲线 C2 上任意一点,求点 P 到直线 l 的距离的最值.

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2 2 ?x=2cos θ , x y 解析:(1)由题意可得 C2 的参数方程为? (θ 为参数),即 C2: + =1, 4 3 ?y= 3sin θ

直线 l:ρ (cos θ -2sin θ )=6 化为直角坐标方程为 x-2y-6=0. (2)设点 P(2cos θ , 3sin θ ),由点到直线的距离公式得点 P 到直线 l 的距离为 |2cos θ -2 3sin θ -6| d= 5 1 ? ? 3 ?? ?6+4? sin θ - cos θ ?? 2 2 ? ? ?? 5





?6+4sin?θ -π ?? ? ? ?? 6 ?? ? ?
5 π ?? 5? ? 6+4sin?θ - ??. ? 6 ?? 5? ?



2 5 2 5 所以 ≤d≤2 5,故点 P 到直线 l 的距离的最大值为 2 5,最小值为 . 5 5
? ?x=1+4cos θ , 10.已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数), ?y=2+4sin θ ?

π 直线 l 经过定点 P(3,5),倾斜角为 . 3 (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程. (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|PA|·|PB|的值.
?x=1+4cos θ , ? 2 解析:(1)由曲线 C 的参数方程? (θ 为参数),得普通方程为(x-1) ?y=2+4sin θ ?

+(y-2) =16,即 x +y -2x-4y=11=0. 1 x=3+ t, ? 2 ? π 直线 l 经过定点 P(3,5),倾斜角为 ,直线的参数方程为? (t 是参数). 3 3 ? ?y=5+ 2 t (2)将直线的参数方程代入 x +y -2x-4y-11=0,整理,得 t +(2+3 3)t-3=0, 设方程的两根分别为 t1,t2,则 t1t2=-3, 因为直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,所以|PA|·|PB|=|t1t2|=3.
2 2 2

2

2

2

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