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函数的极值与导数(教案)


1.3.2 函数的极值与导数
一、教学目标 1 知识与技能

〈1〉结合函数图象,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值 2 3 过程与方法 结合实例,借助函数图形直观感知,并探索函数的极值与导数的关系。 情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性,通过学习让学生体会极值是函数的 局部性质,增强学生数形结合的思维意识。 二、重点:利用导数求函数的极值 难点:函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程

回忆函数的单调性与导数的关系,与已有知识的联系

提出问题,激发求知欲

组织学生自主探索,获得函数的极值定义

通过例题和练习,深化提高对函数的极值定义的理解

四、教学过程 〈一〉 、创设情景,导入新课 1、通过上节课的学习,导数和 单调性的关系是什么? (提高学生回答) 2.观察图 1.3.8 表示高台跳水运动
5 1

函数

员的

高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t ) =-4.9t2+6.5t+10 的图象,回答以下问题
h

o

a

t

(1)当 t=a 时,高台跳水运动员距水面的高度最大,那么函数 h ?t ? 在 t=a 处的导数 是多少呢? (2)在点 t=a 附近的图象有什么特点? (3)点 t=a 附近的导数符号有什么变化规律? 共同归纳: 函数 h(t)在 a 点处 h/(a)=0,在 t=a 的附近,当 t<a 时,函数 h ?t ? 单调

递增, h' ? t ? >0;当 t>a 时,函数 h ?t ? 单调递减, h' ? t ? <0,即当 t 在 a 的附近从小到大 经过 a 时, h' ? t ? 先正后负,且 h' ? t ? 连续变化,于是 h/(a)=0. 3、对于这一事例是这样,对其他的连续函数是不是也有这种性质呢? <二>、探索研讨 1、观察 1.3.9 图所表示的 y=f(x)的图象,回答以下问题:

(1)函数 y=f(x)在 a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? (2) 函数 y=f(x)在 a.b.点的导数值是多少? (3)在 a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么,并且有什么关系呢?
5 2

2、极值的定义:
我们把点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值; 点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极大值。 极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值. 3、通过以上探索,你能归纳出可导函数在某点 x0 取得极值的充要条件吗? 充要条件:f(x0)=0 且点 x0 的左右附近的导数值符号要相反 4、引导学生观察图 1.3.11,回答以下问题: (1)找出图中的极点,并说明哪些点为极大值点,哪些点为极小值点? (2)极大值一定大于极小值吗? 5、随堂练习: 1 如图是函数 y=f(x)的函数,试找出函数 y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,

哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数 y= f ' ? x ? 的图象?

<三>、讲解例题 例4 求函数 f ? x ? ? x3 ? 4 x ? 4 的极值
1 3

教师分析:①求 f/(x),解出 f/(x)=0,找函数极点; ②由函数单调性确定在极点 x0 附 近 f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极 值. 学生动手做,教师引导 解:∵ f ? x ? ? x3 ? 4 x ? 4 ∴ f ' ? x ? =x2-4=(x-2)(x+2)
5 3

1 3

x

令 f ' ? x ? =0,解得 x=2,或 x=-2. 下面分两种情况讨论: (1)当 f ' ? x ? >0,即 x>2,或 x<-2 时; (2) 当 f ' ? x ? <0,即-2<x<2 时. 当 x 变化时, f ' ? x ? ,f(x)的变化情况如下表: x
f ' ? x?

(-∞,-2) + 单调递增

-2 0
28 3

(-2,2) _ 单调递减

2 0
? 4 3

(2,+∞) + 单调递增

f(x)

因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值,且极大值为 f(-2)= 小值,且极小值为 f(2)= ?
1 3 4 3

28 ;当 x=2 时,f(x)有极 3

f ? x? ?

1 3 x ? 4x ? 4 3

函数 f ? x ? ? x3 ? 4 x ? 4 的图象如: 归纳:求函数 y=f(x)极值的方法是: 1 求 f ? x ? ,解方程 f ? x ? =0,当 f ? x ? =0 时:
' ' '

2
?2

(1) 如果在 x0 附近的左边 f ' ? x ? >0,右边 f ' ? x ? <0,那么 f(x0)是极大值. (2) 如果在 x0 附近的左边 f ' ? x ? <0,右边 f ' ? x ? >0,那么 f(x0)是极小值 <四>、课堂练习 1、求函数 f(x)=3x-x3 的极值 2、思考:已知函数 f(x)=ax3+bx2-2x 在 x=-2,x=1 处取得极值, 求函数 f(x)的解析式及单调区间。 <五>、课后思考题: 1、 2、 若函数 f(x)=x3-3bx+3b 在(0,1)内有极小值,求实数 b 的范围。 已知 f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1 有极大值和极小值,求实数 a 的范围。

<六>、课堂小结: 1、 2、
5

函数极值的定义 函数极值求解步骤
4

3、

一个点为函数的极值点的充要条件。 5 ① ④

<七>、作业 P32

教学反思: 本节的教学内容是导数的极值,有了上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直 观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.教学反馈中主要是书写格 式存在着问题.为了统一要求主张用列表的方式表示,刚开始学生都不愿接受这种格 式, 但随着几道例题与练习题的展示 ,学生体会到列表方式的简便 ,同时为能够快速 判断导数的正负,我要求学生尽量把导数因式分解.本节课的难点是函数在某点取得 极值的必要条件与充分条件,为了说明这一点多举几个例题是很有必要的.在解答过 程中学生还暴露出对复杂函数的求导的准确率比较底,以及求函数的极值的过程板 书仍不规范,看样子这些方面还要不断加强训练. 研讨评议:
教学内容整体设计合理,重点突出,难点突破,充分体现教师为主导,学生为主体的双主体 课堂地位,充分调动学生的积极性,教师合理清晰的引导思路,使学生的数学思维得到培养 和提高,教学内容容量与难度适中,符合学情,并关注学生的个体差异,使不同程度的学生 都得到不同效果的收获.

5

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