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2015-2016年上海市复旦大学附中高一上学期数学期末试卷和解析

2015-2016 学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷 一、填空题(每题 4 分,共 48 分) 1. (4.00 分)函数 的定义域为 . 2. (4.00 分)设 f(x)= ,若 f(x)=3,则 x= . 3. (4.00 分)已知幂函数 f(x)=xα 是偶函数,在[0,+∞)上递增的,且满足 .请写出一个满足条件的 α 的值,α= 4. (4.00 分)函数 5. (4.00 分)函数 f(x)= 6. (4.00 分) 函数 . . . 对称. . 的反函数为 f﹣1(x)= (x2﹣2x﹣3)的单调递增区间为 的图象与函数 y=﹣log3x 的图象关于直线 7. (4.00 分)已知 log53=a,5b=7,则用 a,b 的代数式表示 log63105= 8. (4.00 分)方程: 9. (4.00 分)若函数 是 . 的解为 . 的值域是 R,则实数 a 的取值范围 10. (4.00 分)若函数 数 a 的取值范围为 11. (4.00 分)已知函数 . 的值域为[﹣2,+∞) ,则实 ,若方程 f(x)=a 有四个不同 . 的实根 x1,x2,x3,x4.则 x1+x2+x3+x4 的取值范围为 12. (4.00 分)已知函数(1)f(x)=3lnx; (2)f(x)=3x2+1; (3)f(x)=3ex; (4) .其中满足对于任意 x1∈D(其中 D 为函数的定义域) ,相应地存 的函数的序号为 第 1 页(共 18 页) 在唯一的 x2∈D,使 . 二、选择题(每题 4 分,共 16 分) 13. (4.00 分)下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减的 是( A. ) B.y=2|x| C. D.y=x3 ) 14. (4.00 分)若 0<a<1,b<﹣1,则函数 f(x)=ax+b 的图象不经过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 15. (4.00 分)已知 a,b,c 均大于 1,且 logac?logbc=4,则下列各式中,一定正 确的是( A.ac≥b ) B.ab≥c C.bc≥a D.ab≤c 16. (4.00 分)定义在实数集 R 上函数 y=f(x)的反函数为 y=f﹣1(x) .若函数 y=f (﹣x)的反函数是 y=f﹣1(﹣x) ,则 y=f(﹣x)是( A.是奇函数,不是偶函数 B.是偶函数,不是奇函数 C.既是奇函数数,又是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 ) 三、解答题 17. (8.00 分)已知函数 f(x)=lg(x+1) ,解关于 x 的不等式 0<f(1﹣2x)﹣f (x)<1. 18. (10.00 分)已知实数 a>0,且函数 的单调性,并用单调性的定义证明. 19. (12.00 分)已知函数 f(x)= (1)若 a=0,解不等式 f(x)≥ ; (2)已知函数 y=f(x)存在反函数,其反函数记为 y=f﹣1(x) .若关于 x 的不等 式:f﹣1(4﹣a)≤f(x)在 x∈[0,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围. 20. (12.00 分)若函数 f(x)满足:对于其定义域 D 内的任何一个自变量 x0, 第 2 页(共 18 页) 为奇函数.判断函数 f(x) ,其中 a∈R. 都有函数值 f(x0)∈D,则称函数 f(x)在 D 上封闭. (1)若下列函数的定义域为 D=(0,1) ,试判断其中哪些在 D 上封闭,并说明 理由.f1(x)=2x﹣1,f2(x)=2x﹣1. (2)若函数 g(x)= 的定义域为(1,2) ,是否存在实数 a,使得 g(x)在 其定义域(1,2)上封闭?若存在,求出所有 a 的值,并给出证明:若不存在, 请说明理由. (3)已知函数 f(x)在其定义域 D 上封闭,且单调递增.若 x0∈D 且 f(f(x0) ) =x0,求证:f(x0)=x0. 21. (14.00 分)设定义在 R 上的函数 f(x) 、f1(x)和 f2(x) ,满足 f(x)=f1(x) +f2(x) ,且对任意实数 x1、x2(x1≠x2) ,恒有|f1(x1)﹣f1(x2)|>|f2(x1)﹣ f2(x2)|成立. (1)试写 出一组满足条件的具体的 f1(x)和 f2(x) ,使 f1(x)为增函数,f2 (x)为减函数,但 f(x)为增函数. (2)判断下列两个命题的真假,并说明理由. 命题 1) :若 f1(x)为增函数,则 f(x)为增函数; 命题 2) :若 f2(x)为增函数,则 f(x)为增函数. (3)已知 f(x)=x3+x2+x+1,写出一组满足条件的具体的 f1(x)和 f2(x) ,且 f2(x)为非常值函数,并说明理由. 第 3 页(共 18 页) 2015-2016 学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学 试卷 参考答案与试题解析 一、填空题(每题 4 分,共 48 分) 1. (4.00 分)函数 【解答】解:由 ∴函数 的定义域为 {x|x>﹣1 且 x≠2} . ,解得:x>﹣1 且 x≠2. 的定义域为{x|x>﹣1 且 x≠2}. 故答案为:{x|x>﹣1 且 x≠2}. 2. (4.00 分)设 f(x)= ,若 f(x)=3,则 x= . 【解答】解:当 x≤﹣1 时,即 x+2=3,解得 x=1(舍去) 当﹣1<x<2 时,即 x2=3,解得 x= ,或 x=﹣ (舍去) 当 x≥2 时,即 2x=3,解得 x= (舍去) 故当 f(x)=3,则 x= 故答案为: 3. (4.00 分)已知幂函数 f(x)=xα 是偶函数,在[0,+∞)上递增的,且满足 .请写出一个满足条件的 α 的值,α= . 【解答】解:根据幂函数 f(x)=xα 是偶函数,在[0,+∞)上递增的, 知 α>0,且 α 为偶数; 又满足 所以 α<1


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