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2014年八中高一上半学期期中数学试卷解析


合肥八中 2014-2015 学年第一学期期中考试 高一数学试题
第Ⅰ卷 选择题(共 30 分)

一、选择题(本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
1、已知集合 S

? ? x x ? 1 ? 2? , T ? ??2, ?1,0,1,2? 则 S ? T ? (

)

A.?2?

B.?1,2?

C.?0,1,2?

D.??1,0,1,2?

【解题程序化】 :条件:题目给出了 S , T 两个集合,需要从这两个集合看出分别所代表的含义,并能够 加以区分。 问题:求解 S

? T 的值;必须先将 S , T

两个集合的具体表达内容求解出来。

途径:1、求出 S 集合的具体表达内容,为一次函数不等式的解; 2、求 S 【解题步骤】 :

? T ,即求公共部分的内容。

S ? ? x x ? 1 ? 2? ? ? x x ? 1?

? S ?T ? ?1,2? ,故选 B 。
【个人体验】 :本题考查了集合运算,不等式的求解。

2、用阴影部分表示集合 CU A ? CU B ,正确的是(



A

B

C

D

1

【解题程序化】 :条件:选项所给图形 问题:求 CU A ? CU B 途径: 韦恩图求解 【解题步骤】

A 中阴影部分表示 CU ? A ? B ? ;

B 中阴影部分表示 ? ?? CU A ? ? B ? ??? ?? CU B ? ? A? ?;

C 中阴影部分表示 A ? B ;
D 中阴影部分表示 CU A ? CU B ,故选 D
【个人体验】 :本题考查集合的韦恩图表示。

3、函数

y ? log 1 ? x ?1? 的定义域是(
2



A.?1, ???

B.? 1, ???
2

C.? 0, ???

D.? 0 , ???

【解题程序化】 :条件:函数 问题: 求

y ? log 1 ? x ?1?

y ? log 1 ? x ?1? 的定义域
2

途径: 对数式求定义域。 【解题步骤】 :由

x ? 1 ? 0 得, x ? 1 ,故选 A

【个人体验】 : 本 题 考 查 对 数 函 数 的 定 义 域 ,熟 练 掌 握 对 数 函 数 图 象 和 性 质 ,是 解 答 的 关 键 。 4、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )

A. y ?

1 x

B. y ? x3 , x ? R

C. y ? x, x ? R

? x2 , x ? 0 D. y ? ??2 ?x , x ? 0

【解题程序化】 :条件:选项中所给函数解析式。 问题:判断选项中所给函数的奇偶性、单调性。 途径:1、判断

f (? x) 与 f ( x) 的关系;

2、判断函数单调性。 【解题步骤】 : 但是

A. y ?

1 1 定义域为 ? ??,0? ? ? 0, ??? , f ( ? x ) ? ? ? ? f ( x ) ,奇函数; x x

y?

1 x

在定义域上不具有单调性。

B. y ? x3 , x ? R , f (? x) ? ? x3 ? ? f ( x) ,奇函数;易知 y ? x3 是增函数;
C. y ? x, x ? R , f (? x) ? ? x ? ? f ( x) ,奇函数;易知 y ? x 是增函数;

2

? x2 , x ? 0 D. y ? ??2 x ? 0, f (? x) ? x2 ? ? f ( x) , x ? 0, f (? x) ? ? x2 ? ? f ( x) ,奇函数 x , x ? 0 ?
由图易知其为减函数,从而选 D 。 【个人体验】 :本题考查函数的奇偶性、单调性。

5.设函数 y ? f ( x) 的定义域是 {x ?2 ? x ? 3 且 x ? 2} , 值域是 {y ?1 ? y ? 2 且 y ? 0} , 则 下列哪个图形可以是函数 y ? f ( x) 的图象为( )
y 4
3 2
2 1 –4 –3 –2 –1

y 4
3

1 –4 –3 –2 –1

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

x

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

x

A
y 4
y 4
3 2 1

B

3 2 1 –4 –3 –2 –1

–4

–3

–2

–1

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

x

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

x

C 【解题程序化】 :条件:函数 且

D

y ? f ( x) 的定义域是 {x ?2 ? x ? 3 且 x ? 2} ,值域是 {y ?1 ? y ? 2

y ? 0}

问题:判断哪个图像满足这样的函数 途径:直接从图像中找 【解题步骤】 :从函数的定义观察,每一个都是一个 x 最多对应一个 定义域 {x

y ,都是函数图像。

?2 ? x ? 3 且 x ? 2} ,值域是 {y ?1 ? y ? 2 且 y ? 1} ,不满足,A 错

定义域不满足,B 错;

3

定义域 {x

?2 ? x ? 3 且 x ? 2} ,值域是 {y ?1 ? y ? 2 且 y ? 0} ,满足,C 对
所以答案是 C

值域不满足,D 错 案

【个人体验】 :本题是个简单的考查函数定义域,值域与图像对应的问题,只要通过观察法就可以找出答

6.将进货单价为 8 元的商品按 10 元一个零售,每天能卖出 100 个,若这种商品的销售价每 涨 1 元,销量就减少 10 个,为了获取最大利润,这种商品的零售价格应定为每个( A.11 元 B.12 元 C.13 元 D.14 元 )

【解题程序化】 :条件:进货单价 8 元,按 10 元销售 100 个,每涨 1 元,减 10 个 问题:求最大利润的时候零售价格 途径:建立函数模型,求函数的值域最大时的时候自变量是多少 【解题步骤】 设零售价格是 x 元,获得的利润是

y

单个利润是 ( x ? 8) 元,销售量是 100 ? 10( x ? 10)

? y ? ( x ? 8)[100 ? 10( x ? 10)] ? ( x ? 8)(?10 x ? 200)

? ?10( x ?14)2 ? 360
由二次函数知识易知,当 x ? 14, ymax 所以答案是 D 【个人体验】 :本题考查的是函数的应用,借助函数模型求最值

? 360

7.以下说法正确的是(



A.函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (?1) ? f (1) ,则 f ( x ) 是偶函数; B.函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (2) ? f (1) ,则 f ( x ) 在 R 上单减; C.奇函数 f ( x)( x ? R) 在 (??, 0) 上单增,则 f ( x ) 在 R 上单增; D.函数 f ( x)( x ? R) 在 (??, 0] 上单增,在 [0, ??) 上也是单增,则 f ( x ) 在 R 上单增

4

【解题程序化】 :条件:A.

f (?1) ? f (1)

B. f (2) ? f (1) C. (??, 0) 上单增 D. 在 (??, 0] 上单增, 在 [0, ??) 上也是单增
问题: A.

f ( x) 是偶函数?

B. f ( x ) 在 R 上单减? C. f ( x ) 在 R 上单增? D. f ( x ) 在 R 上单增?
途径: 直接判断,用函数的单调性和奇偶性知识 【解题步骤】 :A 中仅仅满足 数,A 错 B.同 A,仅仅满足

f (?1) ? f (1) ,其他的点是否满足并不一定,所以不能判断 f ( x) 是偶函

f (2) ? f (1) ,其他值之间的情况不明,所以 B 错;

C.在 R 上连续的奇函数在 ( ??, 0) 上单增,因为过(0,0)点,所以函数在 R 上单增,所以 C 对 D.

f ( x)( x ? R) 在 (??, 0] 上单增,在 [0, ??) 上也是单增,并没有讲在 R 连续,所以不能讲在 R 上

单增。 所以答案是 C 【个人体验】 : 本题考查的是函数的单调性和奇偶性的判断,属于基础题

8. 设 M ? {a, b}, N ? {?1,0,1}, 从 M 到 N 的映射 f 满足 f (a) ? f (b) ? 0 ,则这样的映射

f 的个数为(
A.1

) B.2 C.3 D.4
到 N 的映射

【解题程序化】 :条件: M

? {a, b}, N ? {?1,0,1}, 从 M

f

满足

f (a) ? f (b) ? 0

问题:求映射

f

的个数

途径: 列举法 【解题步骤】 :从 M 到 N 的映射

f



f (a) ? f (b) ? 0

5

若 若 若

f (a) ? ?1 ,则 f (b) ? 1 f (a) ? 0 ,则 f (b) ? 0

f (a) ? 1 ,则 f (b) ? ?1

所以总共 3 个映射,所以答案是 C 【个人体验】 :本题考查的是映射的概念,遵循一对一或者多对一原则,列举出答案即可

9.若 a ? b ? c ,则函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? c)( x ? a)的两个零点 分别位于区间() A. ( a, b) 和 (b, c ) 内 C. (b, c ) 和 (c, ??) 内
【解题程序化】 :条件:题目给出了 问题:求

B. (??, a) 和 ( a, b) 内 D. (??, a) 和 (c, ??) 内

f ( x) 解析式

f ( x) 零点所在区间

途径:1.根据 a

? b ? c 分别判断 f (a), f (b), f (c)

2.通过零点存在定理来判断区间上是否有零点. 【解题步骤】 :因为 所以 所以

f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? c)( x ? a) , a ? b ? c

f (a) ? 0 , f (b) ? 0 , f (c) ? 0 , f (a) f (b) ? 0, f (b) f (c) ? 0

f ( x) 在 R 连续,由零点存在定理可知 f ( x) 两个零点位于 ( a, b) 和 (b, c) 内


f ( x) 为二次函数最多只有两个零点,故选 A f (a) f (b) ? 0 来确定零点所在区间。

【个人体验】 :本题考查了零点存在性定理,通过

10.已知函数 f ( x) ? loga ( x2 ? ax ? 3)(a ? 0 且 a ? 1) 满足对任意实数 x1 ? x2 ? 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是( A. (0,3) B. (1,3) C. (1, 2 3) ) D. (2,2 3)

a 时,总 2

6

【解题程序化】 :条件:1.

f ( x) 的含参解析式

2.当 x1 ? x2 ?
问题:求 a 的范围.

a 时,总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 2

a f ( x) 在 (??, ] 单调递增. 2 a 2.由复合函数单调性,结合 f ( x ) 在 ( ??, ] 有定义确定 a 的范围. 2 a 【解题步骤】 :由 f ( x ) 对任意实数 x1 ? x2 ? 时,总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 2 a 可知 f ( x ) 在 (??, ] 单调递增. 2 a 2 令 g ( x) ? x ? ax ? 3 ,可知 g ( x ) 在 ( ??, ] 单调递减 2
途径:1.由条件 2 得到

由复合函数单调性知 a ? 1 因为 g ( x) ? 0 在 (??, ] 上恒成立 所以 g ( ) ? 0 ,解得 ?2 3 ? a ? 2 3 综上, a ? (1, 2 3) ,故选 C
【个人体验】 :本题考查了复合函数单调性,注意函数单调区间为定义域的子集。

a 2

a 2

第 II 卷

(非选择题 共 70 分)

二、填空题(本题 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。请把正确答案写在答题卷上。 ) 11.函数 f ( x ) ? ?

?2 x , x ? 1 ?log 3 x,x ? 1

,则 f ( f ( 3)) ? __________

【解题程序化】 :条件:题目给出了 问题:求

f ( x) 分段解析式

f ( f ( 3)) 值

途径:1.根据分段函数定义域求值 【解题步骤】 :由题可知
1 1 f ( f ( 3)) ? f (log3 3) ? f ( ) ? 2 2 ? 2 2

【个人体验】 :本题考查了分段函数求值,对数和指数运算.

7

12.地震的等级是用里氏震级 M 表示,其计算公式为, M ? lg A ? lg A0 ,其中 A 是地震时 的最大振幅, A0 是“标准地震的振幅” (使用标准地震振幅是为了修正测量中的误差). 一般 5 级地震的震感已比较明显,汶川大地震的震级是 8 级,则 8 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的_____________倍.
【解题程序化】 :条件: M

? lg A ? lg A0 ,其中 A 是地震时的最大振幅, A0 是“标准地震的

振幅”
问题:8 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的多少倍 途径: 先求 8 级地震的最大振幅 A1 , 再求 5 级地震最大振幅 A2 , 再求 A1 : A2 【解题步骤】 :

? 8 ? lg A1 ? lg A0 ,5 ? lg A2 ? lg A0 ? A1 ? 108 A0 , A2 ? 105 A0 ? A1 : A2 ? 108 A0 : 105 A0 ? 1000
【个人体验】 :本题由实际问题考查了对数的运算.

13.若方程 ? x ? 2 x ? 3 ? k 有两个不相等的实根,求出 k 的求值范围为____________.
2

【解题程序化】 :条件:方程 ? x 2

? 2 x ? 3 ? k 有两个不相等的实根

问题:求出 k 的求值范围 途径:1、画出函数

y ? ?x2 ? 2 x ? 3 的图像与 y ? k

2、找出符合条件的 k 【解题步骤】 :如图所示:

所以 k 的求值范围为

?k k ? 3或k ? 4?
8

【个人体验】 :本题考查了函数图像变换,由函数图像交点求参数.

14.幂函数 y ? x? , 当 ? 取不同的正数时, 在区间 ?0,1? 上是它们的图像是一族美丽的曲线 (如 图)设点 A(1,0), B(0,1) ,连接 AB ,线段 AB 恰好被其中两个幂函数 y ? x? , y ? x ? 的图像 三等分,即有 BM ? MN ? NA ,那么 ?? ? ______________

.
【解题程序化】 :条件:线段

AB

恰好被其中两个幂函数

y ? x? , y ? x ? 的图像三等分

问题:求 ?? 途径:1、先求出 M 与 N 坐标 2、求出 ? , ? ,从而求出 ?? 【解题步骤】 :

? BM ? MN ? NA, A(1,0) B (0,1) 1 2 2 1 ? M ( , ), N ( , ) 3 3 3 3
分别代入 y ? x? , y ? x ? 得 ? ? log1
3

2 1 , ? ? log2 ??? ? 1 3 3 3

【个人体验】 :本题考查函数与方程的综合应用,幂函数的实际应用.

三、解答题(本题 5 小题,共 54 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 把解题过程和步骤写在答题卷上。 ) 15.(本题满分 10 分) 已知全集 U = R ,集合 A ? {x | 3 ? x ? 7} , B ? {x | 2 ? x ? 10} , C ? {x | x ? a} (1)求 A ? B , (CU A) ? B

9

(2)若 A ? C ? ? ,求 a 的取值范围
【解题程序化】 :条件:题目给出了 问题:求

A, B 两个集合,集合 C 为含参的区间

A ? B , (CU A) ? B ,及 a 的范围 A ? B 即求集合 A 和集合 B 的公共部分 A 的补集,求 (CU A) ? B ,即求该补集与集合 B 的公共部分

途径:1.求

2.求集合

3.在数轴上画出集合 【解题步骤】 : (1)因为 所以

A, C ,移动 a 的位置,使得 A, C 有共同部分

A ? {x | 3 ? x ? 7} , B ? {x | 2 ? x ? 10}

A ? B ? {x | 3 ? x ? 7}

因为 CU A ? {x ? 7 或 x ? 3} 所以 (CU A) ? B ? {x | 2 ? (2)因为 所以 a 可取

x ? 3 或 7 ? x ? 10}

A?C ? ?

?3

【个人体验】 :本题考查了集合交集并集补集运算,以及空集概念。解题过程中注意验证“等号”是否

16.(本题满分 10 分) (1)计算 3
log3 2

1 ? 2(log3 4)(log8 27) ? log 6 8 ? 2log 1 3 3 6
问题:对给出的该式子进行化简求值 途径:利用对数和指数的运算性质,逐项进行化简,然后进行合并同类项

【解题程序化】 :条件:对数指数混合运算

【解题步骤】 : (1 ) 3

log3 2

1 ? 2(log3 4)(log8 27) ? log 6 8 ? 2log 1 3 3 6

1 1 ? 2 ? 2(log3 22 )(log 23 33 ) ? log 6 23 ? 2log 6?1 3 2 3

? 2 ? 4 ? log6 2 ? log6 3
? 2 ? 4 ?1 ? ?3
【个人体验】 :本题考查了指数对数函数的混合运算,注意记熟练对数和指数的运算性质

10

(2)若 x 2 ? x

1

?

1 2

x ? x ?1 ? 7 ,求 2 的值 x ? x ?2 ? 3
1

【解题程序化】 :条件:题目给了 x 2 问题:求式子

?x

?

1 2

? 7

x ? x ?1 的值 x 2 ? x ?2 ? 3
1 2

途径:1.先根据 x 2.再根据 x

?x

?

1 2

,平方求出 x

? x?1

? x?1 ,平方求出 x2 ? x?2

3.代入式子求值
1

【解题步骤】 :因为 x 2
1

?x

?

1 2

? 7

所以 ( x 2

? x 2 )2 ? 7 ,得到 x ? x?1 ? 5
又因为 ( x

?

1

? x?1 )2 ? 25 ,得到 x2 ? x?2 ? 23

1 x ? x ?1 ? 代入原式得 2 ?2 x ? x ?3 4
【个人体验】 :本题考查了幂函数的运算

17. ( 本 题 满 分 10 分 ) 已 知 奇 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 (?3,3) 上 的 减 函 数 , 不 等 式 ,求函数 f ( x ? 3) ? f ( x2 ? 3) ? 0 , 设不等式解集为 A ,集合 B ? A ?{ x | 1 ? x ? 5} 的最大值 g ( x) ? ? 3x2 ? 3x ? 4(x ? B )
【解题程序化】 :条件:题目已知

f ( x) 的奇偶性和单调性,可解出集合 A ,进而求出集合 B

问题:求二次函数 g ( x ) 的最大值 途径:1.先根据

f ( x) 的奇偶性和单调性,解出集合 A

2.再根据 B ?

A ?{x |1 ? x ? 5},求出集合 B

3.在定义域 B 上,求二次函数 g ( x ) 的最大值 【解题步骤】 :因为

f ( x) 为奇函数

11

所以

f ( x ? 3) ? f (3 ? x2 )
? x ? 3 ? 3 ? x2 ? f ( x) 为减函数,则有 ? ?3 ? x ? 3 ? 3 ? ?3 ? 3 ? x 2 ? 3 ?

又因为

解得集合 所以 B ?

A ? {x | 2 ? x ? 6} A ?{x |1 ? x ? 5} ? {x |1 ? x ? 6}

1 13 g ( x) ? ?3x 2 ? 3x ? 4 ? ?3( x ? ) 2 ? ,则 2 4

g ( x)max ? g (1) ? ?4
【个人体验】 :本题考查了函数奇函数和减函数的性质,一般对于

f (a) ? f (b) ? 0 (或 ? 0 ) ,求解

集的形式,大都是利用奇偶性和单调性的性质来求的。另外,对于二次函数求值域的题型,需要看所 给区间与对称轴的位置关系来确定。

18、 (本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) 是定义在 ? 0, ??? 上的函数,且对于任意的实数 x, y 有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 . (1)求证: f ( x ) 在 ? 0, ??? 上是增函数 (2)若 f (2) ?1 ,对任意的实数 t ,不等式 f (t ? 1) ? f (t ? kt ? 1) ? 2 恒成立,求实数 k
2 2

的取值范围。
【解题程序化】 : 条件: 题目给出了对任意实数 x, y 问题: (1)证: (2)

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,当 x ? 1 时, f ( x) ? 0

f ( x) 在 ? 0, ??? 上是增函数

f (t 2 ? 1) ? f (t 2 ? kt ? 1) ? 2 恒成立,求实数 k 的取值范围
x1 ? x2 ,则
x2 ?1 x1
之间的关

途径: 1、设 0 ?

2、利用条件 系

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,找出 f ( x1 ) 与 f ( x2 )

3、利用(1)的结论,由

f (t 2 ? 1) ? f (t 2 ? kt ? 1) ? 2 得出 k , t

之间

关系,进而求出 k 的取值范围

12

【解题步骤】 : (1)由函数

f ( x) 是定义在 ? 0, ??? 上的函数,可设任意的 0 ? x1 ? x2 ,则

x2 ?1, x1

从而

f(

x2 )?0 x1 x2 x ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) x1 x1

? f ( x2 ) ? f ( x1

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f ( x) 在 ? 0, ??? 上是增函数
(2)由

f (2) ? 1 及 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 得 2 ? f (4)

f (t 2 ? 1) ? f (t 2 ? kt ? 1) ? 2

? f (t 2 ? 1) ? f (t 2 ? kt ? 1) ? f (4)
2 ? f (t 2 ? 1) ? f (t 2 ? kt ? 1) ? f (4) ? f ? ? 4(t ? kt ? 1) ? ?

f ( x) 在 ? 0, ??? 上是增函数

? 4(t 2 ? kt ? 1) ? 0 ?? 2 2 ?t ? 1 ? 4(t ? kt ? 1)

解得 k ?

? 3 3? ? , ? ? 2 2? ?

【个人体验】在证明抽象函数的单调性时相应的构造方法需要课下对各种类型进行总结。

19、 (本题满分 12 分)定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? 3 f ( x) ,当 x ? ?0, 2? 时,

f ( x) ? x2 ? 2x
(1)当 x ???4, ?2? 时,求 f ( x ) 的解析式 (2)当 x ???4, ?2? 时, f ( x) ?

1 3 ( ? t ) 恒成立,求实数 t 的取值范围。 18 t
f ( x)
满足

【解题程序化】 :条件:题目给出了函数

f ( x ? 2) ? 3 f ( x)

,当

x ??0, 2? 时 ,

f ( x) ? x2 ? 2x
问题: (1)当 x ?

??4, ?2? 时,求 f ( x) 的解析式

13

(2)当 x ? 途径: (1)由 (2)由 【解题步骤】 : (1 ) 又

??4, ?2? 时, f ( x) ? 18 ( t ? t ) 恒成立,求实数 t 的范围
1 3 ( ? t ) 恒成立解不等式即可得出 t 的取值范围 18 t

1 3

f ( x) ? x2 ? 2x 及 f ( x ? 2) ? 3 f ( x) ,求出解析式
f ( x) ?

x ???4, ?2?

? x ? 4 ??0, 2?

f ( x ? 2) ? 3 f ( x)

? f ( x ? 4) ? 3 f ( x ? 2) ? 9 f ( x)
? f ( x) ? 1 1 2 8 f ( x ? 4) ? x 2 ? x ? 9 9 3 9 1 2 2 8 x ? x? 9 3 9 1 2 8 1 3 1 3 ( ? t ) 得 x2 ? x ? ? ( ? t ) 18 t 9 3 9 18 t

f ( x) ?



f ( x) ?



3 ? t ? 2 x 2 ? 12 x ? 16 在 x ???4, ?2? 上恒成立 t

又 2 x2

? 12 x ? 16 在 x ???4, ?2? 的最小值为 ?2

3 ? ? t ? ?2 t
解得 t ?

??1,0? ?3, ???
f ( x) 的解析式是解决本体的关键;在求解函数的最值得时候需要注意函数的定

【个人体验】 :正确求解 义域。

14

15



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