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高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示课件2北师大版必修4

2.6 平面向量数量积的坐标表示 【知识提炼】 1.平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 (1)数量积的坐标表示. x1x2+y1y2 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=________. (2)模、夹角、垂直的坐标表示. x 2 ? y2 x1x 2 ? y1 y 2 a? b ? | a || b | x12 ? y12 ? x 2 2 ? y 2 2 +y1y2=0 x1x2 2.直线的方向向量 共线 的非零向量m称为直线l的方向向量. (1)定义:与直线l_____ (1,k) (2)性质:给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m= _______. 【即时小测】 1.思考下列问题 (1)向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗? 提示:适用,无论是零向量,还是非零向量,均可使用向量数量积的坐标 公式. (2)若直线l1,l2的方向向量相等,那么l1,l2有什么关系? 提示:l1∥l2或l1与l2重合. 2.已知a=(-3,4),b=(5,2),则a·b的值是 ( A.23 B.7 C.-23 ) D.-7 【解析】选D.由向量数量积的计算公式.a·b=(-3,4)·(5,2)= -3×5+4×2=-7. 3.已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),且a⊥b,则x等于 A.3 B.1 C.-1 D.-3 ( ) 【解析】选B.因为a⊥b,a·b=0,即3x+1×(-3)=0,解得x=1. 4.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则向量a与b的夹角为 ? A. 6 ? B. 4 ? C. 3 ? D. 2 ( ) 【解析】选B.设a,b的夹角为θ, 则 cos? ? 3 ?1 ? ( ? 1) ? ( ? 2) 2 2 32 ? ( ? 1) 12 ? ( ? 2) 因为0≤θ≤π,所以θ= ? . 4 ?? 2 , 2 5.过点A(-2,1)且与向量a=(3,1)平行的直线方程为________. 【解析】设P(x,y)是所求直线上任一点, ??? ? ??? ? AP =(x+2,y-1),因为 AP ∥a, 所以(x+2)×1-3(y-1)=0, 所以所求直线方程为x-3y+5=0. 答案:x-3y+5=0 【知识探究】 知识点1 数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:平面向量的数量积坐标表示的特点是什么? 问题2: 平面向量的模、夹角、垂直的坐标表示各有何特征 ?分别有什 么作用? 【总结提升】 1.数量积的坐标表示的实质与特点 (1)实质:是将向量运算转化为代数运算,它使得数量积的计算更为方 便,简单. (2)特点:等于两个向量相应坐标乘积的和. 2.向量模的坐标运算的实质 a=(x,y),则在平面直角坐标系中,一定存在点A(x,y),使得 OA =a =(x,y),所以 | OA | ? |a| ? x 2 ? y 2 , 即|a|为点A到原点的距离. ???? ???? 3.向量的夹角的坐标表示 (1)来源:数量积公式的一个变形. (2)适用范围:由向量坐标计算夹角的一个公式,仅适用于两个非零 向量. (3)夹角的取值范围的确定: 由x1x2+y1y2的取值符号确定θ 角的取值范围,其中当x1x2+y1y2>0时, ? ? 0≤θ < ;当x1x2+y1y2<0时, <θ ≤π ;当x1x2+y1y2=0时,θ = ? . 2 2 2 知识点2 直线的方向向量 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题:如何求直线的方向向量? 【总结提升】 对直线的方向向量的两点说明 (1)个数:一条直线的方向向量有无数个. (2)长度:方向向量的长度没有限制. 【题型探究】 类型一 数量积、模的坐标运算 2 2 【典例】1.设向量a=(1,0),b=( 1 , 1 ),则下列结论正确的是( A.|a|=|b| C.(a-b)⊥b B.a·b= D.a∥b 2 2 3 ),若a·c=b·c,试求模长为 ) 2.已知向量a=( 3 ,-1)和b=(1, 2 的向量c的坐标. 【解题探究】 1.典例1中(a-b)⊥b的等价条件是什么? 提示:(a-b)·b=0. 2.典例2哪些条件可构造关于c的坐标的方程? 提示:根据a·c=b·c,|c|= 2 可构造关于c的坐标的方程. 【解析】1.选C.因为|a|= 12 ? 0 ? 1, |b|= ( 1 )2 ? ( 1 )2 ? 2 , 所以|a|≠|b|,故A错误;由a·b=(1,0)· 2 2 2 1 1 ( ,) 2 2 1 1 1 2 故B错误; ? 1? ? 0 ? ? ? , 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 由(a-b)·b= ( 1 , ? )? ( , ) ? ? ? ( ? ) ? ? 0, 2 2 2 2 2 2 2 2 所以(a-b)⊥b,故C正确; 由 1? 1 ? 0 ? 1 ? 0, 2 2 故D错误. 2.方法一:设c=(x,y),则a· c=( (x,y) 3 ,-1)· = 3 x-y,b· c=(1, 3 )· (x,y)=x+ 3 y, ? 3x ? y ? x ? 3y, 由a· c=b· c及|c|= 2 ,得 ? ? 2 2 ? ?x ? y ? 2 ? 3 ?1 ? 3 ?1 x ? x ? ? ? ? ? ? 2 2 解得 ? 或? ?y ? 3 ?1 ?y ? ? 3 ?1 ? ? 2 2 ? ? 所以 c ? ( 3 ? 1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 , )或c ? ( ? , ? ) 2 2 2 2 方法二:由于a·b= 3 ×1+(-1)× 3 =0,且|a|=|b|=2,从而以a,b为 邻边的平行四边形是正方形,且由于a·c=b·c,所以c与a,b的夹角相 等,从而c与正方


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