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最新北师大版高中数学必修4第1章《三角函数》章末归纳总结ppt课件_图文

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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章
三角函数

第一章 章末归纳总结

1

知 识 结 构

2

知 识 梳 理

3

专 题 探 究

4

即 时 巩 固

知识结构

知识梳理

本章主要学习了周期现象,角的概念的推广,弧度制,正
弦函数、余弦函数的定义、性质、图像与诱导公式,正切函 数,y=Asin(ωx+φ)的图像以及三角函数的简单应用. 1 .在我们的日常生活、生产实践中存在着大量周期性变 化的现象,这些周期现象的规律是:若一变量每经过相同的间

隔,另一变量就重复出现相同的数值,则说变量 y 是周期性变
化的. 2 .角的概念的扩展中,学习了有关的正角、负角和零 角,终边相同的角及表示方法,象限角及表示方法,用集合、 图形表示角.

3 .在弧度制中,定义了一弧度的角及弧度与角度的换算
关系以及扇形的弧长公式和面积公式. 4 .通过单位圆定义了正弦线、余弦线和正切线,使我们 明确了三角函数可以用一个实数的比值表示.给出了正弦、余 弦及正切函数的诱导公式,为研究三角函数的求值、化简、证

明等提供了方便.
5 .通过研究正弦、余弦函数和正切函数,使我们对三角 函数有了更深刻的认识,通过研究三角函数的性质(定义域、值 域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值),大大提升了解 题能力.

6.研究函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ),学会了作 函数图像的五点法和平移伸缩变换法,加强了对函数图像和性 质的内在联系的理解和掌握,提高了解决复杂问题的能力. 7 .通过学习三角函数的简单应用,增强了用三角函数解

决实际问题的能力.

专题探究

三角函数的概念 [例1] 在0°~360°间,找出与下列各角终边相同的角,

并判断它们是第几象限角. (1)-480°;(2)660°;(3)-950°8′.

[规范解答] (1)∵-480°=240°-2×360°,
∴ 与- 480°角终边相同的角是 240°角,它是第三象限 角;

(2)∵660°=300°+360°,
∴与660°角终边相同的角是300°角,它是第四象限角;

(3)-950°8′=129°52′-3×360°, ∴与-950°8′角终边相同的角是129°52′角,它是第二象 限角. [规律总结] 正的角度除以360°,按通常除法进行;负的

角度除以 360°,商是负数,负数的绝对值应比被除数为其相
反数时相应的商大1,以使余数为正值.

把下列各角化成 2kπ+α(0≤α≤2π 且 k∈Z)的形式, 并指出 23 是第几象限角:(1)-1500° ;(2) 6 π;(3)-4.

5 [解析] (1)-1500° =-1800° +300° =-10π+3π, 5π ∴-1500° 与 3 终边相同,是第四象限角.

23 11 23 11 (2) 6 π=2π+ 6 π,∴ 6 π 与 6 π 的终边相同. 11 11 而 6 π= 6 ×180° =330° ,是第四象限角, 23 故 6 π 是第四象限角. 3π (3)-4=-2π+(2π-4),且- 2 <-4<-π, π ∴2<2π-4<π,∴-4 为第二象限角.

利用三角函数的定义、诱导公式及同角关系式 化简求值
[例 2] 记 cos(-80° )=k,那么 tan100° =( 1-k2 A. k k C. 1-k2 1-k2 B.- k k D.- 1-k2 )

[思路分析] 本题主要考查同角三角函数的基本关系式. [答案] B

[规范解答]

∵cos(-80° )=k,∴cos80° =k,

2 1 - k ∴sin80° = 1-k2,∴tan80° = k ,

1-k2 ∴tan100° =-tan80° =- k .

[规律总结]

(1)设 P(x,y)是角 α 终边上的任一点,它到坐

y x y 标原点的距离为 r,则 sinα=r ,cosα= r,tanα=x. (2)同角关系式: sinα sin α+cos α=1,cosα=tanα.
2 2

必须牢记这两个基本关系式,并能应用它们进行三角函数 的求值、化简、证明,在应用中,注意掌握解题的技巧,应能 灵活运用公式.在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值 时,要注意根式前面的符号的确定.

(3)诱导公式: π k· α(k∈Z)的各三角函数值,当 k 为偶数时,得到 α 的同 2± 名三角函数值,当 k 为奇数时,得到 α 的异名三角函数值,然 后前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号. 简单概括为: “奇变偶不变,符号看象限”.

4 π π 若 sinα=-5,且 α∈(-2,2),则 tanα=__________. 4 [答案] -3
[分析] 本题考查同角三角函数的基本关系式.

4 π π [解析] ∵sinα=-5且 α∈(2,2), 故 α 为第四象限角,所以 cos>0, 3 4 ∴cosα=5,∴tanα=-3.

三角函数与不等式
[例 3] 已知 f(x)是定义在(0,3)上的函数, f(x)的图像如图所 示,那么不等式 f(x)· cosx<0 的解集是( A.{x|0<x<1 或 2<x<3} π π B.{x|1<x<2或2<x<3} π C.{x|0<x<1 或2<x<3} D.{x|0<x<1 或 1<x<3} )

[答案] C

[规范解答] ?f?x?>0, ? ∴?cosx<0, ?0<x<3, ?

∵f(x)· cosx<0, ?f?x?<0, ? 或?cosx>0, ? ?0<x<3.

由图可知,当 f(x)>0 时,1<x<3;当 f(x)<0 时,0<x<1. ? ?1<x<3, ∴? π 3π 2kπ+2<x<2kπ+ 2 ?k∈Z?, ? ? ? ?0<x<1, 或? π π 2kπ-2<x<2kπ+2?k∈Z?. ? ? π ∴2<x<3 或 0<x<1,故选 C.

[规律总结] 变.

本题主要考查了函数的图像及三角函数的性

质,解决此类问题要掌握相应的数学思想方法,以不变应万

π 若 0<x<2,则下列命题中正确的是( 3 A.sinx<πx 4 2 C.sinx<π2x 3 B.sinx>πx 4 2 D.sinx>π2x

)

[答案] D

π π [解析] 用特殊值法,取 x=3可排除 B、C;取 x=6可排 除 A.故选 D.

[点评]

此类问题是近几年高考考查的热点,解题时要注

意根据问题的题设灵活运用相应的方法.

函数的值域与最值
π 3 [例 4] 若3≤x≤4π, 求函数 y=sin2x+sinx+1 的最大值和 最小值.

[规范解答] 知
? sinx∈? ? ?

π 3 令 t=sinx,由3≤x≤4π,

? ? 2 ? 2 ? ? ? ,即 t ∈ , 1 , 1 ? ? 2 ?. 2 ? ? ?

原函数等价于 y=t

2

? 1?2 3 +t+1=?t+2? +4. ? ?

结合二次函数的图像可知, 2+3 2 3 当 t= 2 ,即 x=4π 时,ymin= 2 , π 当 t=1,即 x=2时,ymax=3.

[规律总结]

通过换元,把原函数转化为二次函数类型,

再结合二次函数的图像即可求得最值,这是一类常见题型.换 元后确定 t 的取值范围是解决此类问题的关键所在. 三角函数的值域常常利用函数有界性:|sinx|≤1,|cosx|≤1 和二次函数配方法求解.

求下列函数的值域. (1)y=-sin2x+4sinx-1; (2)y=-sin
2

? π π? x+1-sinx,x∈?-4,4?. ? ?

[解析] (1)y=-sin2x+4sinx-1 =-(sinx-2)2+3. ∵-1≤sinx≤1, ∴当sinx=-1时,ymin=-6;

当sinx=1时,ymax=2,
∴函数的值域为[-6,2].

(2)y=-sin2x-sinx+1, ? π π? 令 t=sinx,∵x∈?-4,4?, ? ?
? ∴t∈? ?- ?

2 2? ? , , 2 2? ?
2

∴原函数化为 y=-t

? 1?2 5 -t+1=-?t+2? +4, ? ?

1 5 ∴当 t=-2时,有 ymax=4. 1- 2 2 当 t= 2 时,有 ymin= 2 ,
?1- ∴函数的值域为? ? 2 ?

2

5? ? ,4?. ?

求三角函数解析式 [例5] 已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图像

如图所示,试确定该函数的解析式.

[思路分析]

可根据最高点、最低点确定 A,由于 P,M,

Q,S,N 这“五点”的相位是相对固定的,即相邻两点之间的 π 相位相差2,可由 M,N 两点的相位,求出 ω 和 φ.

y最大-y最小 2-?- 2? [规范解答] 由图,可知 A= = = 2. 2 2 π 选择“最高点”S 的相位为2, 则点 N 的相位为 π, 点 M 的相位 π 是-2. ? 5π ?ω· 12+φ=π, ∴? π π ?ω· ?-3?+φ=-2. ? ω=2, ? ? 解得? π φ=6. ? ? π 故所求函数的解析式为 y= 2sin(2x+6).

[ 规律总结 ]

所给函数图像中的特征点为最高点和最低

点,我们可以取特征点来确定参数ω和φ.

π 已知下图是函数 y=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2)的图像上的一 段,则( )

10 π A.ω=11,φ=6 π C.ω=2,φ=6 [答案] C

10 π B.ω=11,φ=-6 π D.ω=2,φ=-6

11 π [解析] ∵T=12π-(-12)=π, 2π ∴ω= π =2. π 又(-12,0)在图像上, π ∴可得 φ=6.

三角函数性质的应用
[例 6] 已知函数
? f(x)=log1 ? 2? ? π?? 2sin?x-4??. ? ??

(1)求它的定义域和值域、单调区间; (2)判断它的奇偶性、周期性,如果是周期函数,求出它的 最小正周期.

[规范解答]
? f(x)=log1 ? 2?

令 u(x)=
? π ?? 2sin?x-4?? ? ??

? π? 2sin?x-4?, ? ?

? π? 1 =-2+log1 sin?x-4?. ? ? 2

(1)要使 f(x)有意义,则

? π? sin?x-4?>0, ? ?

π 所以 2kπ<x-4<(2k+1)π,(k∈Z). 即
? π 5 ? f(x)的定义域为?2kπ+4,2kπ+4π?(k∈Z). ? ? ? π? 0<sin?x-4?≤1,所以 ? ?

因为

0<

? π? 2sin?x-4?≤ ? ?

2,

1 所以 f(x)=log1 u(x)≥-2. 2

所以

? 1 ? f(x)的值域为?-2,+∞?. ? ?

π? π ? x-4∈?2kπ,2kπ+2?时,u(x)是增函数, ? ? 所以 f(x)=log1 u(x)是减函数.
2

所以

? π 3 ? x∈?2kπ+4,2kπ+4π?时,函数是减函数. ? ? ? 3 5 ? x∈?2kπ+4π,2kπ+4π?(k∈Z)时,函数是增函 ? ?

同理可求得 数;

(2)因为 f(x)的定义域不关于原点对称, 所以 f(x)是非奇非偶 函数.
? ? π? π? 1 1 又 f(x+2π)=-2+log1 sin?x+2π-4?=-2+log1 sin?x-4? ? ? ? ? 2 2

=f(x), 其中

? π 5 ? x∈?2kπ+4,2kπ+4π?(k∈Z), 所以 ? ?

f(x)是周期函数,

且最小正周期是 2π.

[规律总结]

(1)求解复合函数的有关性质问题时,应同时

考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们的相互制约关 系,准确地进行等价转化;(2)在求三角函数的定义域时,不仅 要考虑函数式有意义,而且还要注意三角函数各自的定义域的

要求.一般是归结为解三角函数不等式(组),可用图像法或单
位圆法;

(3)求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进 行.本题是三角函数与对数函数复合的函数,应在其定义域上 对三角函数的单调区间进行等价转化求出该函数的单调区间, 若对数函数的底数是字母时,还应注意对字母进行分类讨论,

才能确定该函数的单调区间;(4)用周期函数的定义求函数的周
期是求周期的根本方法,在证明有关函数的周期性问题时,也 常用周期函数的定义来处理.

π 若函数 f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,3]上单调递增,在区间 π π [3,2]上单调递减,则 ω=( A.3 3 C.2 ) B.2 2 D.3

[答案] C

[ 分析 ]

考查对正弦型函数 y = sinωx 的单调性的理解与应

用.求解本题的关键是明确y=sinωx(ω>0)的图像过原点.结合 正弦曲线在原点右侧的单调区间及已知条件所给的单调区间求

ω.

[ 解析 ]

π ∵ y = sinωx(ω>0) 过原点,∴当 0≤ωx≤ 2 ,即

π π 3π π 3π 0≤x≤2ω时, y=sinωx 是增函数, 当2≤x≤ 2 时, 即2ω≤x≤2ω π 时,y=sinωx 是减函数.由 y=sinωx(ω>0)在[0,3]上单调递增, π π π π 3 在[3,2]上单调递减,∴2ω=3,∴ω=2.

即时巩固

一、选择题 1.设函数 f(x)=sinx,x∈R,对于以下三个命题: ①函数 f(x)的值域是[-1,1]; π ②当且仅当 x=2kπ+2(k∈Z)时,f(x)取得最大值 1; 3π ③当且仅当 2kπ+π<x<2kπ+ 2 (k∈Z)时,f(x)<0. 其中正确命题的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

[答案] C [解析] 作出正弦函数y=sinx,x∈R的图像,从图中可以

看出①②正确,③错误.

π 2. 将函数 y=sinx 图像上所有点向右平移6个单位, 再将图 像上各点的横坐标变为原来的 2 倍,这样得到的图像的解析式 是( )
? x π? A.y=sin?2+6? ? ? ?x π? C.y=sin?2+12? ? ? ? x π? B.y=sin?2-6? ? ? ?x π? D.y=sin?2-12? ? ?

[答案] B

π [解析] (1)将 y=sinx 图像上所有点向右平移6个单位,得
? π? y=sin?x-6?; ? ?

(2)各点横坐标变为原来的 2 倍, 1 ∴x 的系数为2,故选 B.

3.下列函数中,奇函数的个数为(
①y=x2sinx; A.1个 C.3个 ③y=sinx,x∈[-π,π];

)

②y=sinx,x∈[0,2π]; ④y=xcosx. B.2个 D.4个

[答案] C
[ 解析 ] ∵ y = sinx , x∈[0,2π]的定义域不关于原点对称, ∴②不是奇函数, ①、③、④符合奇函数的概念.

π 4.函数 f(x)=tan(x+4)的单调增区间为( π π A.(kπ-2,kπ+2),k∈Z B.(kπ,(k+1)π),k∈Z 3π π C.(kπ- 4 ,kπ+4),k∈Z π 3π D.(kπ-4,kπ+ 4 ),k∈Z
[答案] C

)

π π [解析] 函数 f(x)=tan(x+4)的单调增区间满足 kπ-2<x+ π π 3π π 4<kπ+2,k∈Z,解得单调增区间为(kπ- 4 ,kπ+4),k∈Z, 故选 C.

二、填空题
? π? 5. 若函数 f(x)=2cos?ωx+3?的最小正周期为 T, 且 T∈(1,3), ? ?

则正整数 ω 的最大值是__________.
[答案] 6
2π 2π [解析] ∵1< ω <3,∴ 3 <ω<2π, ∴正整数 ω 的最大值是 6.

π π 6.将最小正周期为2的函数 g(x)= 2sin(ωx+φ+4)(ω>0, π |φ|<2π)的图像向左平移4个单位长度,得到偶函数图像,则满足 题意的 φ 的一个可能值为__________.

[答案]

π 5π 3π 7π 4, 4 ,- 4 ,- 4 填一个即可

2π π [解析] T= ω =2,∴ω=4, ? π? π ∴g(x)= 2sin?4x+φ+4?左移4个单位得到, ? ? ? ? π? π? y= 2sin?4?x+4?+φ+4? ? ? ? ? ? π? = 2sin?4x+π+φ+4? ? ? ? π? =- 2sin?4x+φ+4?为偶函数, ? ? π π π ∴φ+4=kπ+2,∴φ=kπ+4 (k∈Z), π 5π 3π 7π ∵|φ|<2π,∴φ=4, 4 ,- 4 ,- 4 .

7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的
部分图像如图所示,则f(0)的值是__________.

[答案]

6 2

T π [解析] 由图像可知,A= 2,4 =4,∴T=π, ∴ω=2,则 y= 2sin(2x+φ), 7 π 将(12π,- 2)代入,解之得 φ=3, π 6 从而 y= 2sin(2x+3),f(0)= 2 .

三、解答题 π 8.求 f(x)=log3sin(2x-3)的递减区间.
π [解析] 由 sin(2x-3)>0,得 f(x)的定义域为 π 2π x∈{x|kπ+6<x< 3 +kπ,k∈Z}.由 y=sinx 的单调性,知 π π 当 2kπ+2≤2x-3<π+2kπ(k∈z),

5π 2π 即 kπ+12≤x< 3 +kπ(k∈Z)时, π y=sin(2x-3)单调递减. 5π 2π ∴f(x)的递减区间为[kπ+12,kπ+ 3 )(k∈Z).



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