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宁夏石嘴山市第三中学2017届高三下学期第四次模拟考试数学理试题 含解析 精品

石嘴山三中 2017 届第四次模拟考试 数学能力测试(理 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知复数 A. 【答案】B 【解析】由题意可得: 本题选择 B 选项. 2. 已知集合 是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 , 则集合 的真子集的个数 ,则的虚部为 1. B. (其中为虚数单位) ,则的虚部为 C. D.

【答案】C 【解析】 则 本题选择 C 选项. 3. 平面直角坐标系 中,已知双曲线 : ,过 的左顶点引 的一条渐近线的 , 的真子集的个数为 个.

平行线,则该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积 A. B. C. D.

【答案】C 【解析】不妨设直线的斜率为 ,则直线方程为 ,另一条渐近线方程为 ,应

,联立可得交点坐标为 选答案 C。

,故三角形的面积为

点睛:解答本题的关键是建立平行渐近线的直线的方程,进而求它与另一条渐近线的交点坐 标,再借助几何的直观运用三角形的面积公式求出三角形的面积,从而使得问题获解。 4. 下列命题中正确命题的个数是

(1)对于命题 (2)命题“已知 (3)设 (4) A. 已知 是直线 B. 2 C. 3

,使得 ,若 ,则

,则 或

,均有 ”是真命题;



,则 与 值分别为 与直线 D. 互相垂直的充要条件.

【答案】B 【解析】逐一考查所给的选项: 对于命题 命题为假命题; 命题“已知 设 为真命题; 直线 与直线 ,解得: 与直线 题; 本题选择 B 选项. 5. 某高铁站 进站口有 个闸机检票通道口,若某一家庭有 个人检票进站,如果同一个人进 的闸机检票通道口选法不同,或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同,都视为不同的 进站方式,那么这个家庭 个人的不同进站方式有多少种. A. 【答案】D 【解析】可分三类:第一类是一人一个通道口进,第二类是有两人同一通道口进,第三类是 3 人从同一通道口进,共有方法数为 ,故选 D. B. C. D. 或 互相垂直,则 , 不是直线 已知 , 若 , 则 ,则 或 ”是真命题, 原题中命题为真命题; ... , 解得 与 值分别为 , 原题中命题 ,使得 ,则 ,均有 ,原题中

互相垂直的充要条件, 原题中命题为假命

6. 变量 A. 1

满足不等式组 B. 7 C. -1 D. -7

,且

的最大值为 7,则实数 的值为

【答案】A

【解析】作出不等式组所对应可行域,如图所示, 变形目标函数 z=3x? y 可得 y=3x? z,平移直线 y=3x 可知: 当直线经过点 A 时,直线截距最小值,z 取最大值,由 代值可得 3a+6? 2=7,解得 a=1, 本题选择 A 选项. 解得 A(a+2,2)

点睛:目标函数中含有参数时,要根据问题的实际意义注意转化成“直线的斜率”、“点到 直线的距离”等模型进行讨论研究。当参数在线性规划问题的约束条件中时,作可行域要注 意应用“过定点的直线系”知识,使直线“初步稳定”,再结合题中的条件进行全方面分析 才能准确获得答案. 7. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法,可追溯至公元前 300 年前,下图的程序框图 的算法思路就是来源于“欧几里得算法”, 执行该程序框图 (图中“ 余数) ,若输入的 分别为 675,125,则输出 的值为 ”表示 除以 的

A. 0

B. 25

C. 50

D. 75

【答案】B 【解析】当 否, 否, 8. 等差数列 中的 是函数 是,输出 ,选 B. 的两个极值点,则 此时

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【答案】A 【解析】解:由题意可知:f′(x)=x ? 8x+6, 又 a2,a4030 是函数 f(x)的极值点, ∴a2,a4030 是方程 x2? 8x+6=0 的实根, 由韦达定理可得 a2+a4030=8, 由等差数列的性质可得 2×a2016=a2+a4030=8,a2016=4,... ∴ =log24=2
2

本题选择 A 选项. 9. 已知函数 最小值为 A. B. C. 1 D. 2 , 满足 , 则满足题意的 的

【答案】C 【解析】由题意可得:

则: 据此有: 则: 结合 或 可得,令 , 或

, , , .

本题选择 C 选项. 10. 下图中,小方格是边长为 1 的正方形,图中粗线画出的是某几何体 的三视图,且该几何体的顶点都在同一球面上,则该几何体的外接球 的表面积为

A. C. 【答案】C

B. D.

【解析】

由三视图知,该机几何体是如图所示的正四棱锥 为 ,球半径为 ,则有 ,故选 C.

,图中正方体令棱长为 ,解得

,设球心

,所以球的表

面积为

【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力, 属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型,也是高考热点.观察三视图并将 其“翻译”成直观图是解题的关键, 不但要注意三视图的三要素“高平齐, 长对正, 宽相等”, 还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 11. 已知点 为 点 ,点 为线段 A. B. 内一点, 的中点,则 C. D. 的值为 , , ,过 作 垂直 于

【答案】A 【解析】试题分析: , ,根据等面积法得 . 考点:1、解三角形;2、向量的基本运算. 【方法点晴】本题考查解三角形、向量的基本运算,涉及数形结合思想、方程思想思想和转 化化归思想,考查空逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力,综合性较强,属于较难 题型. 首先由已知可得 , ,根据等面积法得 . 12. 已知函数 与 ,所以 ,所以

的图象上存在关于(1,0)

对称的

点,则实数 m 的取值范围是 A. B. C. D.

... 【答案】D 【解析】函数 和 关于 对称的函数是 ,那么 ,解得 ,所以 时, ,令 时, , , ,

有交点,即 有解,令 ,当

,函数单调递减,当 ,无最大值,所以

函数单调递增,故当 故选 D.

时,函数取得最小值

【点睛】本题考查了利用导数研究函数性质和函数图象的问题,考查了转化与化归的能力以 及计算能力,综合性比较强,首先将问题转化为 是 与 关于 对称的函数与 有交点,或

有交点,这样 问题就转化为方程有解问题,求参数,不管是有解还是恒成立

问题,参变分离后求函数的值域都是比较好的方法. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 【答案】2 【解析】 __________.

. 14. 已知 数字作答) 【答案】120 【解析】由题意,(2x2+x-y)n 的展开式中各项系数的和为 32,即 2n=32,∴n=5, 那么(2x2+x-y)5=5, 通项公式 展开式中含有 x5y2,可知 r=2. 那么(2x2+x)3 中展开必然有 x5, , 的展开式中各项系数的和为 32,则展开式中 的系数为____. (用

由通项公式,可得 含有 x5 的项:则 t=1, ∴展开式中 x y 的系数为 15. 如下等式:
5 2



.

以此类推,则 2018 出现在第__________个等式中. 【答案】31 【解析】由题意,得第 1 个等式中共有 3 个偶数,第 2 个等式中共有 5 个偶数,第 3 个等式 中有 7 个偶数, 由此猜想: 第 个等式中共有 出现在第 个等式中,则 ,即 ,又因为 16. 抛物线 ,解得 ,即 2018 出现在第 31 个等式中. , 个偶数, 2018 是第 1004 个偶数, 设 2018

的焦点为 F,过点 F 作直线 l 与抛物线分别交于两点 A,B

若点 M 满足

, 过 M 作 y 轴的垂线与抛物线交于点 P,

若 【答案】3 【解析】抛物线 方程为

,则 M 点的横坐标为________.

的焦点

,设

,直线



。 点睛:抛物线定义中的“转化”法:利用抛物线的定义解决此类问题,应灵活地进行抛物线 上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”, 这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知数列 满足 . 证明: (2)数列 为等比数列; 满足 ,求数列 的前 项和 ,求证: .... , ,数列 满足 ,

【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】试题分析: (1)由已知条件得出 定义证明; (2)由(1)的结论分别求出 求出 ,与比较大小. , ,所以 是以 为首项, 为公比的等比数列 , 与 的通项公式, 代入 之间的关系,用等比数列 中,求出 ,再用裂项相消法

试题解析:(1) 又因为 (2)

18. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机对 50 名家用轿车驾驶员进行 调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在 30 名男性驾驶员中,平均车速超过 的有 20 人,不超过 的有 5 人,不超过 的有 10 人.在 20 名女性驾驶员中,平均车速超过 的有 15 人. 的人与性别

(1)完成下面的列联表,并判断是否有 99.5%的把握认为平均车速超过 有关; 平均车速超过 人数 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 平均车速不超过

合计 人数

(2)以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 3 辆,记 这 3 辆车中驾驶员为女性且车速不超过 的,求的分布列和数学期望. 参考公式: 参考数据: 0.150 0.100 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ,其中 . 的车辆数为,若每次抽取的结果是相互独立

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】试题分析: (Ⅰ)先根据题意填写表格(注意对应关系) ,再代入公式 ,并将计算结果与参考数据进行对照,确定把握率范围,进而判 段是否有 车辆的概率为 的把握. (Ⅱ) 根据频率估计概率得: 驾驶员为女性且车速不超过 .由于随机变量服从二项分布 ,根据公式 可得 的

可得随机变量对应的概率,列表可得分布列,根据 数学期望. 试题解析:解: (Ⅰ) 平均车数超过 人数 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 20 5 25 10 15 25 平均车速不超过... 合计 人数 30 20 50



所以有

的把握认为平均车速超过

与性别有关.

(Ⅱ)根据样本估计总体的思想,从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取 1 辆,驾驶 员为女性且车速不超过 的可能取值为 ,且 的车辆的概率为 , , , 分布列为: 0 1 ... 2 3 .

. 或 .

点睛:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为: 第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义; 第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何 概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公式等), 求出随机变量取每个值时的概率; 第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布 列或某事件的概率是否正确; 第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些 实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 X~B(n,p)), 则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.因此,应熟记常见 的典型分布的期望公式,可加快解题速度.

19. 如图,在四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1, 顶点 D1 在底面 ABCD 内的射影恰为点 C

(1)求证:AD1⊥BC; (2)若直线 DD1 与直线 AB 所成的角为 值. ,求平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成角(锐角)的余弦

【答案】 (1)详见解析; (2) . 【解析】试题分析: (1)利用题意首先证得 BC⊥平面 AD1C,然后由直线与平面垂直的定义可得 AD1⊥BC (2)建立空间直角坐标系, 结合平面向量的法向量可求得平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成角(锐角) 的余弦值为 . 试题解析: (1)证明:连接 D1C,则 D1C⊥平面 ABCD,∴D1C⊥BC 在等腰梯形 ABCD 中,连接 AC, ∵AB=2,BC=CD=1,AB∥CD,

∴BC⊥AC,

∴BC⊥平面 AD1C, ∴AD1⊥BC (2)由(1)知 AC、BC、D1C 两两垂直, ∵AB∥CD,∴∠D1DC= ∵CD=1,∴D1C= 在等腰梯形 ABCD 中,∵AB=2,BC=CD=1,AB∥CD,... ,

∴AC=

,建立如图所示的空间直角坐标系, ,0,0),B(0,1,0),D1(0,0, ),

则 C(0,0,0),A(

设平面 ABC1D1 的法向量为 n=(x,y,z), 由 得 ,1).

可得平面 ABC1D1 的一个法向量为 n=(1, 又 =(0,0, ,n〉=

)为平面 ABCD 的一个法向量. = ,

因此 cos〈

∴平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成角(锐角)的余弦值为 点睛:利用空间向量求空间角,避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦,使空间点线面的位 置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的 夹角公式计算. 二面角与法向量的夹角:利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面 α ,β 的法 向量 n1,n2 时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量 n1,n2 的夹角是相等,还是互补.

20. 在平面直角坐标系 椭圆 C 截得的线段长为 (1)求椭圆 C 的方程;

中,椭圆 .

的离心率为 ,直线



(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点) ,点 D 在椭圆 C 上,且 .直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M,N 两点.设直线 BD,AM 的斜率分别为 在常数使得 【答案】 (1) 【解析】试题分析: ,并求出的值. ; (2) . , 证明存

(Ⅰ)由离心率 标为

可得

,由对称性直线

被椭圆截得弦长为

可求得 点坐

,代入椭圆方程可求得 ,

得椭圆标准方程; ,有 ,由直线垂直得直线 的

(Ⅱ)直线与椭圆相交,设 斜率为 方程.可得 可得 .为了简便设直线 ,于是有

的方程为 ,而

, 代入椭圆方程消元得的一元二次 ,于是写出直线 方程,求出 点坐标,

,比较可得.

试题解析: (Ⅰ)∵ ,∴ , ,∴ .①

设直线

与椭圆

交于



两点,不妨设点

为第一象限内的交点.∴





代入椭圆方程可得

.②

由①②知



,所以椭圆的方程为:

.

(Ⅱ)设

,则



直线

的斜率为

,又



故直线

的斜率为

.设直线

的方程为



由题知



联立

,得

....





,由题意知





,直线

的方程为

.



,得

,即

,可得

,∴

,即

.

因此存在常数

使得结论成立.

点睛:解析几何中直线与圆锥曲线相交问题,往往采用“设而不求”的思想求解,即设交点 坐标 , 设出直线方程并与圆锥曲线方程联立方程组, 消元后可得 ,

再表示出题中要证(或求)的几何量,并把

代入化简变形,注意要按部就班地

计算题中的几何量(如求出直线方程,求出交点坐标,得出直线斜率等) . 21. 已知函数 . 时, ; 有最小值, 设 最小值为 ,

(1)讨论函数的单调性,并证明当 (2) 证明: 当 求函数 的值域. 时, 函数

【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】试题分析: (1)先求函数导数,确定导函数在定义区间上恒非负,故得函数单调区 间;根据函数单调递增得 的导数 在区间 .从而可得 ,即得不等式, (2)利用(1)结论可得函数 内单调递增,根据零点存在定理可得 在 处取最小值,利用 有一唯一零点 化简 单调性,即得函数 ,得 的值域. 且

.最后再利用导数研究函数 试题解析: (1)由 得

故 当 即 (2)对 记

在 时,由上知 ,即 求导,得 , 区间

上单调递增, , ,得证. , . 内单调递增, .

由(Ⅰ)知,函数

又 . 于是,当 当 递增. 所以 在



,所以存在唯一正实数

,使得

时, 时,

, ,

,函数 ,函数

在区间 在区间

内单调递减; 内单调

内有最小值



由题设即



又因为 根据(Ⅰ)知, . 令 内单调递增, 所以 即函数 的值域为 . 在

.所以 内单调递增,

. ,所以

,则

,函数

在区间



请考生在第 22、23 二题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. 选修 4-4:坐标系与参数方程. 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为 (其中为参数).现以坐标原点为极 ....

点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 (1) 写出直线普通方程和曲线 的直角坐标方程; (2) 过点 【答案】 (1) 且与直线平行的直线 交曲线 于 , 两点,求 , ; (2) .

.

【解析】试题分析:(Ⅰ) 消去参数即可得到直线的普通方程,根据



可求得曲线 的直角坐标方程;(Ⅱ)首先求得直线 的参数方程,然后联立曲线 的直角坐标

方程利用参数的几何意义求解即可. 试题解析:(Ⅰ) 由 消去参数,得直线的普通方程为 .

又由 由



, .

得曲线 的直角坐标方程为

(Ⅱ) 过点

且与直线平行的直线 的参数方程为

将其代入 , 所以



,则

,知

.

考点:1、直线的参数方程;2、极坐标方程与直角坐标方程间的互化. 23. 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 (1)求的值; (2)若 , ,求 的最大值. 的最大值为.

【答案】 (1) ; (2) . 【解析】试题分析: (1)根据绝对值定义,将函数化为分段函数形式,分别求各段最大值, 最后取各段最大值的最大者为的值; (2)利用基本不等式得 ,即得 的最大值.

试题解析: (1)由于 . (2)由已知 因为 所以 故 的最大值为 2. (当 ,有 时取等号),

由函数

的图象可知

, (当 ,即 时取等号), ,

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