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2018版高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式(一)导学案新人教A版必修4

1.3 三角函数的诱导公式(一) 学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用 .2.理解诱导公式的推导过程.3.能运 用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 设角 α 的终边与单位圆的交点为 P,由三角函数定义知 P 点坐标为(cos α ,sin α ). 知识点一 诱导公式二 思考 角 π + α 的终边与角 α 的终边有什么关系?角 π + α 的终边与单位圆的交点 P1(cos(π +α ),sin(π +α ))与点 P(cos α ,sin α )呢?它们的三角函数之间有什么关 系? 答案 角 π +α 的终边与角 α 的终边关于原点对称,P1 与 P 也关于原点对称,它们的三角 函数关系如下: 诱导公式二 sin?π + α ? = - sin α , cos?π + α ? = - cos α , tan?π +α ?=tan α . 知识点二 诱导公式三 思考 角-α 的终边与角 α 的终边有什么关系?角-α 的终边与单位圆的交点 P2(cos(- α ),sin(-α ))与点 P(cos α ,sin α )有怎样的关系?它们的三角函数之间有什么关系? 答案 角-α 的终边与角 α 的终边关于 x 轴对称,P2 与 P 也关于 x 轴对称,它们的三角函 数关系如下: 诱导公式三 sin? - α ? = - sin α , cos?-α ?=cos α , tan? - α ? = - tan α . 知识点三 诱导公式四 思考 角 π - α 的终边与角 α 的终边有什么关系?角 π - α 的终边与单位圆的交点 P3(cos(π -α ),sin(π -α ))与点 P(cos α ,sin α )有怎样的关系?它们的三角函之间 有什么关系? 1 答案 角 π -α 的终边与角 α 的终边关于 y 轴对称,P3 与 P 也关于 y 轴对称,它们的三角 函数关系如下: 诱导公式四 sin(π -α )=sin α , cos(π - α ) = - cos α , tan(π - α ) = - tan α . 梳理 公式一~四都叫做诱导公式,它们分别反映了 2kπ +α (k∈Z),π +α ,-α ,π - α 的三角函数与 α 的三角函数之间的关系,这四组公式的共同特点是: 2kπ +α (k∈Z),π +α ,-α ,π -α 的三角函数值等于 α 的同名函数值,前面加上一 个把 α 看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变,符号看象限”. 类型一 利用诱导公式求值 命题角度 1 给角求值问题 例 1 求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°; (2)sin 11π 43π ;(3)sin(- ); 4 6 (4)cos(-1 920°). 解 (1)cos 210°=cos(180°+30°) =-cos 30°=- (2)sin 3 . 2 11π 3π =sin(2π + ) 4 4 3π π =sin =sin(π - ) 4 4 π 2 =sin = . 4 2 43π 7π (3)sin(- )=-sin(6π + ) 6 6 7π π π 1 =-sin =-sin(π + )=sin = . 6 6 6 2 (4)cos(-1 920°)=cos 1 920° =cos(5×360°+120°) 2 1 =cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°=- . 2 反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤: (1)“负化正”:用公式一或三来转化. (2)“大化小”:用公式一将角化为 0°到 360°间的角. (3)“角化锐”:用公式二或四将大于 90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值. 跟踪训练 1 求下列各三角函数式的值. ? 31π ?; (1)sin 1 320°; (2)cos?- 6 ? ? ? (3)tan(-945°). 解 (1)方法一 sin 1 320°=sin(3×360°+240°) =sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=- 3 . 2 方法二 sin 1 320°=sin(4×360°-120°)=sin(-120°) =-sin(180°-60°)=-sin 60°=- 3 . 2 ? 31π ?=cos31π =cos?4π +7π ? (2)方法一 cos?- ? 6 ? 6 ? 6 ? ? ? ? π π 3 =cos(π + )=-cos =- . 6 6 2 ? 31π ?=cos?-6π +5π ? 方法二 cos?- ? 6 ? 6 ? ? ? ? ? π? π 3 ? =cos?π - ?=-cos =- . 6? 6 2 ? (3)tan(-945°)=-tan 945°=-tan(225°+2×360°) =-tan 225°=-tan(180°+45°)=-tan 45°=-1. 命题角度 2 给值求角问题 π 例 2 已知 sin(π +θ )=- 3cos(2π -θ ),|θ |< ,则 θ 等于( 2 π A.- 6 答案 D π 解析 由 sin(π +θ )=- 3cos(2π -θ ),|θ |< , 2 π 可得-sin θ =- 3cos θ ,|θ |< , 2 π B.- 3 π C. 6 π D. 3 ) 3 π π 即 tan θ = 3,|θ |< ,∴θ = . 2 3 反思与感悟 对于给值求角问题,先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值,再 结合特殊角的三角函数值逆向求角. 跟踪训练 2 已知 sin(π -α )=- 2sin(π +β ), 3cos(-α )=- 2cos(π +β ), 0<α <π ,0<β <π ,求 α ,β . ?sin α = 2sin β , ① 解 由题意,得? ? 3co


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