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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(广东.理)含答案

2008 年普通高等学校统一考试(广东卷)

数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1、已知 0<a<2,复数 z 的实部为 a,虚部为 1,则|z|的取值范围是( A. (1,5) B. (1,3) C. (1, 5 ) ) ) D. (1, 3 )

2、记等差数列{an }的前 n 项和为 Sn 。若 a1 =1/2,S4 =20,则 S6 =( A. 16 B. 24 C. 36 3、某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人 数如右表。 已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到二 年级女生的 D. 48 一年级 女生 男生 373 377

二年级 x 370

三年级 y z

概率是 0.19。现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名 学生,则应在三年级抽取的学生人数为( ) A. 24 B. 18 C. 16 D. 12

?2 x ? y ? 40 ? x ? 2 y ? 50 ? 4、若变量 x、y 满足 ? ,则 z ? 3x ? 2 y x ? 0 ? ? ?y ? 0
的最大值是( ) A. 90 B. 80 C. 70 D. 40 5、将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A、B、 C 分别是△GHI 三边的中点)得到几何体如 图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图 (或称左视图)为( )

6、已知命题 p:所有有理数都是实数,命题 q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命 题 的是( ) B. p ? q
ax

A. (?p) ? q

C. (?p) ? (?q) )

D. (?p) ? (?q)

7、设 a∈R,若函数 y ? e ? 3x ,x∈R 有大于零的极值点,则( A. a>-3 B. a<-3 C. a>-1/3
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D. a<-1/3

8、在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交于点 F。若

AC ? a , BD ? b ,则 AF =(
A.

) C.

1 1 a? b 4 2

B.

2 1 a? b 3 3

1 1 a? b 2 4

D.

1 2 a? b 3 3

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 (一)必做题(9~12 题) 9、阅读图 3 的程序框图。若输入 m = 4,n = 6,则输出 a = ____,i =_____ 。 (注:框图中的赋值符号“=” 也可以写成“←”或“:=” ) 10、已知 (1 ? kx 2 )6 ( k 是正整数)的展开式中, x8 的系数 小于 120,则 k = _____ 11、经过圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是________________ 12、已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x ) 的最小正周期是________ (二)选做题(13~15 题,考生只能从中选做两题) 13、 (坐标系与参数方程)已知曲线 C1 、C2 的极坐标方程分 别为 ? cos? ? 3 , ? ? 4cos ? ( ? ? 0 , 0 ? ? ? 则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为________ 14、 (不等式选讲)已知 a ? R ,若关于 x 的方程 x ? x ? | a ?
2

?
2

) ,

1 | ? | a |? 0 有实根,则 a 的 4

取值范围是________ 15、 (几何证明选讲)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PA=2。AC 是圆 O 的直径,PC 与 圆 O 交于点 B,PB=1,则圆 O 的半径 R = ________ 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 16、 (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) , x ? R 的最大值 是 1, 其图像经过点 M (π /3, 1/2) 。 (1) 求 f ( x ) 的解析式; (2) 已知 ? 、? ? (0, ? / 2) , 且 f (? ) ? 3/ 5 , f ( ? ) ? 12 /13 ,求 f (? ? ? ) 的值。

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17、 (本小题满分 13 分)随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、 二等品 50 件、三等品 20 件,次品 4 件。已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别 为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元。设 1 件产品的利润(单位:万元) 为ξ 。 (1)求ξ 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即ξ 的数学期望) ; (3)经技术 革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%,一等品率提高为 70%。如果此时要 求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少?

18、 (本小题满分 13 分)设 b>0,椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1, 2b 2 b 2

抛物线方程为 x2 ? 8( y ? b) 。如图 4 所示,过点 F(0,b + 2) 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G。已知抛 物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1 。 (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A、B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物 线上是否存在点 P,使得△ABP 为直角三角形?若存在,请 指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) 。

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? 1 , x ?1 ? 19、 (本小题满分 14 分) 设k ? R , 函数 f ( x) ? ?1 ? x , F ( x) ? f ( x) ? kx ,x ? R 。 ?? x ? 1, x ? 1 ?
试讨论函数 F ( x) 的单调性。

20、 (本小题满分 14 分)如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四 边形,其中 BD 是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°。PD 垂直底面 ABCD,PD=2 2 R。 E、F 分别是 PB、CD 上的点,且

PE DF ? ,过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于 G。 EB FC

(1)求 BD 与平面 ABP 所成角θ 的正弦值; (2)证明:△EFG 是直角三角形; (3)当

PE 1 ? 时,求△EFG 的面积。 EB 2

21、 (本小题满分 12 分)设 p、q 为实数,? 、 ? 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的两个实根。数列

{xn } 满足 x1 ? p , x2 ? p2 ? q , xn ? pxn?1 ? qxn?2 (n = 3,4,?) 。
(1)证明: ? ? ? ? p, ?? ? q ; (2)求数列 {xn } 的通项公式; (3)若 p = 1,q = 1/4,求{xn } 的前 n 项和 Sn 。

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绝密★启用前

试卷类

型:B

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学( 理科)详解
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前, 考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、 试室号、 座位号填写在答题卡上。 用 2B 铅笔将试卷类型 (B) 填涂在答题卡相应位置上、 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不 准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点, 再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 已知 n 是正整数,则 a n ? b n ? (a ? b)(a n?1 ? a n?2 b ? ? ? abn?2 ? b n?1 ) . 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1.已知 0<a<2,复数 z 的实部为 a,虚部为 1,则 z 的取值范围是( A.(1,5) B.(1,3) C. (1, 5 ) D.(1, 3 ) 1.解:由题意知 z ? a ? i, (0 ? a ? 2) ,所以 z ? a 2 ? 1
2 2 由 0<a<2 知 0<a <4, 从而 1<a +1<5,,所以 1<|z|< 5 ,故选 C.

)

2.记等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? A.16 2.解: S 4 ? 4a1 ? B. 24 C. 36

1 , S 4 ? 20 ,则 S 6 ? ( 2 D. 48

)

4?3 1 d ? 4 ? ? 6d ? 20 ,解得 d=3, 2 2 6?5 1 d ? 6 ? ? 15 ? 3 ? 48 .故选 D. 所以 S 6 ? 6a1 ? 2 2

3.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如表 1. 已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到二年级女生的 概率是 0.19 .现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名 学生, 则应在三年级抽取的学生人数为( ) A.24 B. 18 C. 16 D. 12

一年级 二年级 三年级 女生 男生 373 377 x 370
表1

y z

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x ? 0.19 ,得 x ? 2000 ? 0.19 ? 380 , 2000 三年级人数为 y ? z ? 2000? (373? 377 ? 380? 370) ? 500, m 64 设应在三年级抽取 m 人,则 ,解得 m=16. 故答 C. ? 500 2000

解:由

?2 x ? y ? 40, ? x ? 2 y ? 50, ? 4.若变量 x,y 满足 ? ,则 z=3x+2y 的最大值是 ( ? x ? 0, ? ? y ? 0, A.90 B. 80 C. 70 D. 40
4.解:做出可行域如图所示. ?2 x ? y ? 40 ? x ? 10 解方程组 ? ,得 ? . ? x ? 2 y ? 50 ? y ? 20 所以 z max ? 3 ?10 ? 2 ? 20 ? 70 ,故答 C. 5.将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分别 是△GHI 三边的中点)得到几何体 如图 2,则该几何 体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( )

)

5.解:选 A. 6.已知命题 p:所有有理数都是实数,命题 q:正数的对数都是负数,则下列命 题中为 真命题的是 ( ) A. (?p) ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q) D. (?p) ? (?q) 6.解: 显然 p 真,q 假, 所以 (?p) ? (?q) 为真,故选 D. 7.设 a ? R ,若函数 y ? e ax ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则( 1 1 A. a ? ? 3 B. a ? ?3 C. a ? ? D. a ? ? 3 3 )

7.解法 1: 函数 y ? e ax ? 3x 的导数为 y? ? aeax ? 3 . 令 y? ? aeax ? 3 ? 0 ,显然 a=0 时无解,故可否定 A,C. 当 a=-1 时,若 x>0,则 y? ? ?e ? x ? 3 ? 2 ,显然没有大于零的极值点,否定 D, 故选 B. 7.解法 2: 函数 y ? e ax ? 3x 的导数为 y? ? aeax ? 3 .令 y? ? aeax ? 3 ? 0 ,显然 a=0
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时无解, 当 a≠0 时,得 e ax ? ? 解 e ax
3 ? 0 ,显然 a<0.故可否定 A,C. a 3 1 ? 3? 1 ? 3? ? ? ,得 x ? ln? ? ? ,由 ln? ? ? ? 0 及 a<0,解得 a ? ?3 ,故选 B. a a ? a? a ? a?

8.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线 与 CD 交于点 F. 若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? ( ) 1 1 2 1 1 1 1 2 A. a ? b B. a ? b C. a ? b D. a ? b 4 2 3 3 2 4 3 3 1 1 1 8.解法 1: AO ? a , AD ? AO ? OD ? a ? b , 2 2 2 1 1?1 1 1 ? 1 1 AE ? ( AO ? AD) ? ? a ? b ? a ? ? a ? b , 2 2?2 2 2 ? 2 4 由 A、E、F 三点共线,知 AF ? ? AE, ? ? 1 而满足此条件的选择支只有 B,故选 B. 8. 解法 2:如图,分别过点 D、O 作直线 AO、AD 的平行 线,两平行线相交于 G 点,显然 F 是△DOG 的重心, 1 1 4 EF ? EG ? AE ,所以 AF ? AE ,由解法 1 知, 3 3 3 4 4?1 1 ? 2 1 AF ? AE ? ? a ? b ? ? a ? b ,故选 B. 3 3?2 4 ? 3 3 二、填空题: 本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 (一)必做题(9~12 题) 9.阅读图 3 的程序框图. 若输入 m=4, n=6, 则输出 a=___12__, i=__3__.(注:框图中的赋值符号“=”也 可以写成“ ?”或“:=”) 9.解;因为 m=4, n=6,当 i=3 时, a ? m ? i ? 4 ? 3 ? 12 , 此时 6 整除 12,故输出 a=12,i=3 10.已知 (1 ? kx2 ) 6 (k 是正整数)的展开式中, x 8 的系数 小于 120,则 k=______. 4 4 10.解: x 8 的系数为 C6 k ? 15k 4 , 由 15k 4 ? 120(k 是正整数),解得 k=1 11.经过圆 x 2 ? 2x ? y 2 ? 0 的圆心 C,且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是_____ x-y+1=0____. 11.解:圆 x 2 ? 2x ? y 2 ? 0 的圆心 C 的坐标为(-1,0) , 直线 x+y=0 的斜率为 k=-1,所以所求直线的斜率为 k=1. 故所求直线的方程是 y-0=1(x+1),即 x-y+1=0.
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12.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) sin x, x ? R ,则 f ( x) 的最小正周期是__ ? __. 12.解: f ( x) ? sin 2 x ? sin x ? cos x ?

1 ? cos2 x 1 2 ? ?? 1 ? sin 2 x ? ? sin? 2 x ? ? ? , 2 2 2 4? 2 ? 2? 则 f ( x) 的最小正周期是 T ? ?? . 2

(二)选做题(13~15 题,考生只能从中选做两题) 13. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1 , C2 的极坐标方程分别为 ? cos? ? 3, ? ? 4 cos? ? ?? ? ( ? ? 0,0 ? ? ? ) ,则曲线 C1 与 C 2 交点的极坐标为____ ? 2 3, ? ____. 2 6? ? 13.解: 曲线 C1 , C2 的直角坐标方程分别为 x ? 3, ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ,且 y ? 0 ,两曲 线交点的 ?? ? 直角坐标为(3, 3 ). 所以,交点的极坐标为 ? 2 3, ? . 6? ? 14.(不等式选讲选做题) 已知 a ? R ,若关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 根,
? 1? 则 a 的取值范围是___ ?0, ? ____. ? 4? 1 ? a ? 0 有实 4

14.解: 因为关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ?
? ? 1 ? 4( a ?

1 ? a ? 0 有实根,所以 4

1 ? | a |) ? 0 4 1 1 1 整理的 a ? ? a ? , 解得 0 ? a ? . 4 4 4

? 1? 所以,a 的取值范围是 ?0, ? ? 4?

15. (几何证明选讲选做题) 已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PA=2. AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于点 B,PB=1, 则圆 O 的半径 R=___ 3 ____. 15.解: 如图,因为 PA 是圆 O 的切线,PBC 是圆 O 的割线,PA=2, PB=1.由切割线定理,知 PA2 ? PB ? PC ,所以 PC=4. 2 在 Rt△PAC 中,由购股定理 AC =16-4=12,所以 AC=2 3 . 所以, 圆 O 的半径 R= 3 . 三、解答题:本大题共有 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程 和演算步骤.

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16.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? A sin(x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) , x ? R 的最 大值是 1, ? 1? 其图像经过点 M ? ? , ?. ? 3 2? (1)求 f ( x) 的解析式;
3 12 ? ?? (2)已知 ? , ? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13 ? 2? 16.解:(1)因为 ? 1 ? sin(x ? ? ) ? 1,又 A>0,所以 ? f ( x)?max ? A ? 1 ,

? ?? 1? ?? ? 1 因为,f(x)的图像经过点 M ? , ? ,所以 f ( ) ? sin? ? ? ? ? 3 ? 3 2? ?3 ? 2 ? ? 4? ? 5? ? 由 0 ? ? ? ? ,得 ? ? ? ? ,所以 ? ? ? ,解得 ? ? . 3 3 3 3 6 2 ?? ? 所以 f ( x) ? sin? x ? ? ? cos x 2? ? 3 12 3 12 ? ?? (2)由 f (? ) ? , f ( ? ) ? ,得 cos ? ? , cos ? ? ,又 ? , ? ? ? 0, ? , 5 13 5 13 ? 2? 4 5 所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? , sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? , 5 13 所以 3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? ? . 5 13 5 13 65 17.(本小题满分 13 分)随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品 获利分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元,设 1 件产品的利 润(单位:万元)为 ? .
(1)求ξ 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即ξ 的数学期望); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%,一等品率提高为 70%. 如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少? 17.解: (1) 依题意得, ξ 的所有可能取值为 6,2,1,-2. ξ =6,2,1,-2 分别对应抽取 1 件产品为一等品、二等品、三等品、次品 这四个事件. 126 50 ? 0.63, P(? ? 2) ? ? 0.25 , 所以 P(? ? 6) ? 200 200 20 4 P(? ? 1) ? ? 0.1, P(? ? ?2) ? ? 0.02 , 200 200 所以ξ 的分布列为 ? 6 2 1 -2

P

0.63 0.25

0.1

0.02

(2) 1 件产品的平均利润为 Eξ =6 ? 0.63+2 ? 0.25+1 ? 0.1-2 ? 0.02=4.34 (3)设三等品率为 x,则二等品率为 0.29-x,此时ξ 的分布列为
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?
P

6 0.7

2 0.29-x

1 x

-2 0.01

1 件产品的平均利润为 Eξ =6 ? 0.7+2 ? (0.29-x)+x-2 ? 0.01=4.76-x 令 Eξ =4.76-x ? 4.73,解得 x ? 0.03 =3%, 答:三等品率最多是 3%.
x2 y2 18.(本小题满分 14 分)设 b>0,椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,抛物线方程为 2b b 2 x ? 8( y ? b) .如图 4 所示,过点 F(0,b+2)作 x 轴的平行线,与抛物线在 第一象限的交点为 G.已知抛物线在点 G 的切线经 过椭圆的右焦点 F1 . (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在 抛物线上是否存在点 P,使得△ABP 为直角三角形? 若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由 (不必具体求出这些点的坐标). ?y ? b ? 2 ?x ? 4 18.解: (1)解方程组 ? 2 得? , y ? b ? 2 x ? 8 ( y ? b ), ( x ? 0 ) ? ? 所以点 G 的坐标为 G(4,b+2), 1 1 由 x 2 ? 8( y ? b) ,得 y ? x 2 ? b ,求导数得 y ? ? x , 8 4 1 1 于是, 抛物线 y ? x 2 ? b 在点 G 的切线 l 的斜率为 k ? y ? | x ? 4 ? ? 4 ? 1 , 8 4 2 2 x y 又椭圆 2 ? 2 ? 1 中 c 2 ? 2b 2 ? b 2 ? b 2 ,即 c=b,所以椭圆的右焦点为 2b b F1 (b,0) b?2?0 ? 1 ,解得 b=1. 由切线 l 过点 F1 ,可知 k GF1 ? 4?b x2 y2 ? ? 1和 所以满足条件的椭圆方程和抛物线方程分别为 2 1 x 2 ? 8( y ? 1) (2) 在抛物线上存在点 P,使得△ABP 为直角三角形。且这样的点有 4 个。 证明:分别过点 A、B 做 y 轴的平行线,交抛物线于 M,N 点,则∠MAB=90O, O ∠NBA=90 , 显然 M,N 在抛物线上,且使得△ABM,△ABN 为直角三角形。 设抛物线 x 2 ? 8( y ? 1) 的顶点为 D,则点|OD|=1,又|OA|=|OB|= 2 ,显然

∠ADB>90O. 所以,在抛物线上位于点 D、M 和点 D、N 之间,一定分别存在一个点 P, 使得∠APB=90O. 综上所述, 满足条件的点共有 4 个。

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19.(本小题满分 14 分)设 k ? R ,函数 ? 1 , x ? 1, ? f ( x) ? ?1 ? x F ( x) ? f ( x) ? kx, x ? R . ?? x ? 1, x ? 1 ? 试讨论函数 F ( x) 的单调性.

? 1 ? 1 , x ? 1, ? kx ? ? 19.解: 因为 f ( x) ? ?1 ? x ,所以 F ( x) ? f ( x) ? kx ? ?1 ? x ,x?R. ?? x ? 1, x ? 1 ?? x ? 1 ? kx ? ? 1 (1)当 x<1 时,1-x>0, F ?( x) ? ? k , ( x ? 1) (1 ? x) 2 ①当 k ? 0 时, F ?( x) ? 0 在 (??,1) 上恒成立,故 F(x)在区间 (??,1) 上单 调递增; k 1 ②当 k ? 0 时,令 F ?( x) ? , ? k ? 0, ( x ? 1) ,解得 x ? 1 ? 2 k (1 ? x)
k k 时,F ?( x) ? 0 ;当 1 ? ? x ? 1时, F ?( x) ? 0 k k k k 故 F(x)在区间 (??,1 ? ,1) 上单调递 ) 上单调递减,在区间 (1 ? k k

且当 x ? 1 ?

增; (2)当 x>1 时, x-1>0, F ?( x) ? ?
? k , ( x ? 1) 2 x ?1 ①当 k ? 0 时, F ?( x) ? 0 在 (1,??) 上恒成立,故 F(x)在区间 (1,??) 上单 1

调递减; ②当 k ? 0 时,令 F ?( x) ? ? 且当 1 ? x ? 1 ?
1 2 x ?1 ? k ? 0, ( x ? 1) ,解得 x ? 1 ?
1 , 4k 2

1 1 时,F ?( x) ? 0 ; 当 x ? 1 ? 2 时,F ?( x) ? 0 2 4k 4k 1 1 故 F(x)在区间 (1,1 ? 2 ) 上单调递减,在区间 (1 ? 2 ,?? ) 上单调递 4k 4k

增; 综上得,①当 k=0 时,F(x)在区间 (??,1) 上单调递增,F(x)在区间 (1,??) 上 单调递减; ②当 k<0 时,F(x)在区间 (??,1) 上单调递增,在区间 (1,1 ? 单调递减,在区间 (1 ?
1 )上 4k 2

1 ,?? ) 上单调递增; ; 4k 2 k k ) 上单调递减,在区间 (1 ? ,1) 上单调递增, ③当 k ? 0 时, F(x)在区间 (??,1 ? k k 在区间 (1,??) 上单调递减.

20. (本小题满分 14 分)如图 5 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的 圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直径, ∠ABD=60°, ∠BDC=45o.PD 垂直底面 ABCD,
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PD= 2 2 R . E,F 分别是 PB,CD 上的点,且 于 G. (1)求 BD 与平面 ABP 所成角 ? 的正切值; (2)证明: △EFG 是直角三角形; PE 1 (3)当 ? 时,求△EFG 的面积. EB 2

PE DF ,过点 E 作 BC 的平行线交 PC ? EB FC

20.解法 1:∵PD⊥底面 ABCD ∴PD⊥AB, ∵BD 是圆的直径, ∴AD⊥AB, 又 PD∩AD=D ∴AB⊥平面 ADP 又 AB ? 平面 ABP ∴平面 ABP⊥平面 ADP,且平面 ABP∩平面 ADP=PA. 在平面 ADP 内作 DH⊥PA,垂足为 H,则 DH⊥平面 ABP, 连结 BH,则∠DBH 就是 BD 与平面 ABP 所成角,即∠DBH= ? . 在 Rt△ABD 中,BD=2R,所以 AD= 3 R. 在 Rt△ADP 中,DH⊥PA, PD=2 2 R,AD= 3 R, 则 AP= 11R ∴ DH=

在 Rt△BHD 中,BD=2R,DH=

AD ? DP 2 6 ? R, AP 11 2 6 11

R ,所以 BH= BD2 ? DH 2 ? 4R 2 ?

24 2 2 5 R ? R 11 11

∴ tan? ?

DH 30 . ? BH 5

(2)证明: ∵EG∥BC, PE PG PE DF ? ? ∴ , 又已知 EB GC EB FC PG DF ? ∴ GC FC ∴GF∥PD 又由 PD⊥底面 ABCD,可知 PD⊥BC, ∴ EG⊥GF ∴△EFG 是直角三角形. PE 1 EG PE 1 GF CG BE 2 ? 时,由平行线截割定理可知, ? ? , ? ? ? , (3)当 EB 2 BC PB 3 PD CP BP 3 在△BCD 中,∠BDC=45o BD=2R,所以 BC= 2 R, 又 PD=2 2 R, 2 4 2 ∴EG= R, GF= R. 3 3 1 1 2 4 2 4 R? R ? R2 . 所以△EFG 的面积为 S ?EFG ? EG ? GF ? ? 2 2 3 3 9

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20.解法 2:以 A 为原点,分别以 AB、AD 所在的直线为 x、y 轴,建立空间直角 坐标系.(略) 21. (本小题满分 12 分)已知 p,q 是实数, , 为方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两个实 根,数列 ?xn ? 满足 x1 ? p, x2 ? p 2 ? q , xn ? pxn?1 ? qxn?2 (n=3,4,......), (1)证明: , ; (2)求数列 ?xn ? 的通项公式; 1 (3)若 p ? 1, q ? 求 ?xn ? 的前 n 项和 Sn . 4

p? p 2 ? 4q 21.解: (1) 方程 x 2 ? px ? q ? 0 配方得 ? , ?x ? ? ? 2? 4 ?
当 p 2 ? 4q ? 0 时,方程有两个实数根 x ? 所以 ? ? ? ?

2

p ? p 2 ? 4q , 2

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ? ?p 2 2 p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p 2 ? ( p 2 ? 4q) ? ?? ? ? ? ?q 2 2 4 o (2) 1 .当 q≠0 时, ≠0,又 所以 xn ? pxn?1 ? qxn?2 ? (? ? ? ) xn?1 ? ?? ? xn?2 (n=3,4,......), 整理得 xn ? ?xn?1 ? ? ?xn?1 ? ?xn?2 ? , 令 an ? xn?1 ? ?xn ,则 an?1 ? ? ? an (n=1,2,...), 所以 {an } 是公比为 ? 的等比数列,其首项为
a1 ? x2 ? ?x1 ? p 2 ? q ? ?p ? (? ? ? ) 2 ? ?? ? ? (? ? ? ) ? ? 2 , 所以 an ? ? 2 ? ? n?1 ? ? n?1 ,即 xn?1 ? ?xn ? ? n?1 (n=1,2,...),
所以 xn?1 ? ?xn ? ? n?1 (n=1,2,...), ①当 ? ? p 2 ? 4q ? 0 时, ? ? ? ? 0 , x1 ? p ? ? ? ? ? 2? , xn?1 ? ?xn ? ? n?1 (n=1,2,...)变为 xn?1 ? ?xn ? ? n?1 , (n=1,2,...) 整理得

x n ?1
n ?1

? ?n x 2? ?x ? ?2 所以,数列 ? nn ? 成公差为 1 的等差数列,其首项为 1 ? ? ? ?? ?
所以

?

xn

? 1 ,(n=1,2,...)

xn

?n

? 2 ? 1(n ? 1) ? n ? 1 ,所以数列 ?xn ? 的通项公式为

xn ? (n ? 1)? n ;
②当 ? ? p 2 ? 4q ? 0 时, ? ? ? , ? ? ? ? 0 , ? ? ? n?1 ? ? ? ? ?x x ? ? n?1 ? ? n?1 , xn?1 ? ?xn ? ? n?1 = ?xn ? ? ?? ? ?? ? ?? (n=1,2,...)

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整理得 xn?1 ?

? ? n?2 ? n?1 ? ? ?? x ? ? n ? ?? ? ? ,(n=1,2,...) ? ?? ? ?

? ? n ?1 ? x ? 所以,数列 ? n ? 成公比为 ? 的等比数列, ? ?? ? ?

?2 ?2 ?2 , ?? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? n?1 ?2 所以 xn ? ? ? n?1 ,所以数列 ?xn ? 的通项公式为 ? ?? ? ??
其首项为 x1 ?

xn ?

? n?1 ? ? n?1 . ? ??
2o. 当 q=0 时, ①若 p 2 ? 4q ? 0 ,则 p=0, ? ? ? ? 0 , x1 ? p ? 0, x2 ? p 2 ? q ? 0 , 当 n ? 3 时, xn ? pxn?1 ? qxn?2 ? 0 , 所以数列 ?xn ? 的通项公式为 xn ? 0 ;也可表示为

xn ? (n ? 1)? n .
②若 p 2 ? 4q ? 0 ,则 p≠0, ? ? ? ? 0 , 不妨设 ? ? 0 ,则 ? ? p ? 0 ,

xn ? pxn?1

又 x1 ? p ? ? ? 0, x2 ? p 2 ? q ? ? 2 ,且当 n ? 3 时, ? ?xn?1 , 所以数列 ?xn ? 的通项公式为 xn ? ? n ;

所以数列 ?xn ? 是首项为 ? ,且公比为 ? 的等比数列,

同理,若 ? ? 0 , 则? ? p ? 0, 此时数列?xn ? 的通项公式为 xn ? ? n ; 以上两种情况均可以表示为 xn ?

? 综上,得 x n ? ? ? n ?1 ? ? n ?1 . 2 , 当 p ? 4 q ? 0 , ( 即 ? ? ? ) 时 ? ? ?? ? 1 1 (3)若 p ? 1, q ? ,则 ? ? p 2 ? 4q ? 0 ,此时 ? ? ? ? ,由第(2)步的结果,得 4 2

? n?1 ? ? n?1 的形式. ? ?? ?(n ? 1)? n , 当p 2 ? 4q ? 0, (即? ? ? )时

n ?1 ?1? 数列 ?xn ? 的通项公式为 xn ? (n ? 1)? ? ? n , 2 ?2? 所以, ?xn ? 的前 n 项和为 2 3 4 n n ?1 Sn = ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? , 2 2 2n 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Sn = 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 以上两式相减,得

n

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1? 1 ?1 ? n 1 1 1 1 1 1 n ?1 1 2 2 Sn = ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n ?1 = ? ? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 n?3 所以, S n ? 3 ? n . 2

? ? ? ? n ?1 = 3 ? n ? 3 2 n ?1 2 2 n ?1

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