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2018高中数学人教b版必修3教学案:第一章 1.3 中国古代数学中的算法案例 含解析

中国古代数学中的算法案例 预习课本 P27~32,思考并完成以下问题 (1)如何求两个数的最大公约数? (2)秦九韶算法的原理是什么? [新知初探] 1.“更相减损之术” 更相减损之术就是对于给定的两个数,以两数中较大的数减去较小的数,然 后将差和较小的数构成一对新数,再用较大的数减去较小的数, 反复执行此步骤 直到差和较小的数相等,此时相等的两数便为两个原数的最大公约数. 2.割圆术 割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注《九章算术》中所采用的用正多边 形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率 π 的方法. 3.秦九韶算法 把一元 n 次多项式函数 P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写: P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0, 令 vk=(…(anx+an-1)x+…+an-(k-1))x+an-k, ? ?v0=an, 则递推公式为? ? ?vk=vk-1x+an-k 其中 k=1,2,…,n. 这样求一元 n 次多项式 P(x)的值就转化为求 n 个一次多项式的值, 这种求 n 次多项式值的方法就叫做秦九韶算法. [小试身手] 1.用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数时,需做减法的次数为( A.4 C.6 B.5 D.7 ) 解析:选 C (98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7),∴ 共进行 6 次减法. 2.225 与 150 的最大公约数是( A.15 C.45 ) B.30 D.75 解析:选 D 因为(225,150)→(75,150)→(75,75),所以 225 与 150 的最大 公约数是 75. 1 3.已知多项式 f(x)=4x5+3x4+2x3-x2-x- ,用秦九韶算法求 f(-2)等 2 于( ) A.- 197 2 197 B. 2 D.- 183 2 C. 183 2 解析:选 A 1 197 ∵f(x)=((((4x+3)x+2)x-1)x-1)x- ,∴f(-2)=- . 2 2 4.用圆内接正多边形逼近圆,因而得到的圆周率总是________π 的实际值. 解析:用割圆术法求出的是 π 的不足近似值. 答案:小于 求最大公约数 [典例] [ 解] 求 261 和 319 的最大公约数. 319-261=58, (261,319)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29), 所 以 319 与 261 的最大公约数是 29. “更相减损之术”求两个数的最大公约数的算法步骤 第一步,给定两个正整数 m,n(m>n). 第二步,计算 m-n 所得的差 k. 第三步,比较 n 与 k 的大小,其中大者用 m 表示,小者用 n 表示. 第四步,若 m=n,则 m,n 的最大公约数等于 m;否则,返回第二步. [活学活用] 1. 用更相减损之术求 36 与 135 的最大公约数, 需做减法的次数是________. 解析:(135,36)→(99,36)→(63,36)→(36,27)→(27,9)→(18,9)→(9,9),故共 进行了 6 次减法运算. 答案:6 2.求 378 与 90 的最大公约数. 解:法一:378-90=288, 288-90=198, 198-90=108, 108-90=18, 90-18=72, 72-18=54, 54-18=36, 36-18=18, ∴378 与 90 的最大公约数是 18. 法二:378=90×4+18, 90=18×5, ∴378 与 90 的最大公约数是 18. 用秦九韶算法求多项式的 值 [典例] 值. [ 解] 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: 用秦九韶算法求多项式 f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1,当 x=2 时的 f(x)=8x7+5x6+0· x5+3· x4+0· x3+0· x2+2x+1=((((((8x+5)x+0)x+3)x +0)x+0)x+2)x+1. 而 x=2,所以有 v0=8, v1=8×2+5=21, v2=21×2+0=42, v3=42×2+3=87, v4=87×2+0=174, v5=174×2+0=348, v6=348×2+2=698, v7=698×2+1=1 397. 所以当 x=2 时,多项式的值为 1 397. 应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的 3 个问题 (1)要正确将多项式的形式进行改写. (2)计算应由内向外依次计算. (3)当多项式函数中间出现空项时,要以系数为零的齐次项补充. [活学活用] 用秦九韶算法写出当 x=3 时,f(x)=2x5-4x3+3x2-5x+1 的值. 解:因为 f(x)=((((2x+0)x-4)x+3)x-5)x+1, v0=2, v1=2×3+0=6, v2=6×3-4=14, v3=14×3+3=45, v4=45×3 -5=130,v5=130×3+1=391, 所以 f(3)=391. [层级一 学业水平达标] ) B.18 D.6 1.78 与 36 的最大公约数是( A.24 C.12 解析:选 D (78,36)→(42,36)→(36,6)→…→(6,6). 2.用秦九韶算法求多项式 f(x)=x3-3x2+2x-11 的值时应把 f(x)变形为 ( ) A.x3-(3x+2)x-11 B.(x-3)x2+(2x-11) C.(x-1)(x-2)x-11 D.((x-3)x+2)x-11 解析:选 D f(x)=x3-3x2+2x-11=((x-3)x+2)x-11. 3.已知函数 f


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