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新课标高中数学必修一至必修五知识点总结

高中数学常用公式及结论大全(新课标) 必修 1 1、集合的含义与表示 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性: 确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。 描述法格式为:{元素|元素的特征},例如 {x | x ? 5, 且x ? N} 2、常用数集及其表示方法 (1)自然数集 N(又称非负整数集) :0、1、2、3、…… (2)正整数集 N*或 N+ :1、2、3、…… (3)整数集 Z:-2、-1、0、1、…… (4)有理数集 Q:包含分数、整数、有限小数等 (5)实数集 R:全体实数的集合 (6)空集Ф :不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系:属于∈,不属于 ? 例如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A,记作 a∈A 4、集合与集合的关系:子集、真子集、相等 (1)子集的概念 如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素,那么集合 A 叫做集合 B 的子集(如图 1),记 作 A ? B 或 B ? A. A,B B A 或 若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素,那么 P 不包含于 Q, 记作 P ? Q (图 1) (2)真子集的概念 若集合 A 是集合 B 的子集,且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的 真子集(如图 2). A ? ? B 或 B? ? A. B A (图 2) (3) 集合相等: 若集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全相同则称集合 A 等于集合 B,记作 A=B. A ? B, B ? A ? A ? B 5、重要结论(1)传递性:若 A ? B , B ? C ,则 A ? C (2)空Ф 集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集. 6、 含有 n 个元素的集合,它的子集个数共有 2 不计空集);非空的真子集有 2 –2 个. 7、集合的运算:交集、并集、补集 (1)一般地,由所有属于 A 又属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作"A 交 B") ,即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B} . A?B n n 个; 真子集有 2 –1 个; 非空子集有 2 –1 个(即 n n (2) 一般地, 对于给定的两个集合 A,B 把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做 A,B 的并 集.记作 A∪B(读作"A 并 B") ,即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B} . A?B (3)若 A 是全集 U 的子集,由 U 中不属于 A 的元素构成的集合, 叫做 A 在 U 中的补集,记作 CU A C U A ? ?x | x ? U, 且x ? A? , CU A A 注:讨论集合的情况时,不要发遗忘了 A ? ? 的情况。 8、映射观点下的函数概念 如果 A,B 都是非空的数集,那么 A 到 B 的映射 f:A→B 就叫做 A 到 B 的函数,记作 y=f(x), 其中 x∈A,y∈B.原象的集合 A 叫做函数 y=f(x)的定义域,象的集合 C(C ? B)叫做函数 y=f(x) 的值域.函数符号 y=f(x)表示“y 是 x 的函数” ,有时简记作函数 f(x). 9、分段函数:在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。如 y ? ? ?2 x ? 1 ?? x ? 3 2 x?0 x?0 10、求函数的定义域的原则: (解决任何函数问题,必须要考虑其定义域) 1 , 则x ? 1 ? 0 x ?1 ②偶次方根的被开方数大于或等于零; 如 : y ? 5 ? x , 则5 ? x ? 0 ③对数的底数大于0且不等于1; 如 : y ? loga ( x ? 2),则a ? 0且a ? 1 ①分式的分母不为零; 如 : y ? ④对数的真数大于0; 如 : y ? loga ( x ? 2),则x ? 2 ? 0 ⑤指数为0的底不能为零; 如 : y ? (m ? 1) ,则 m ? 1 ? 0 11、函数的奇偶性(在整个定义域内考虑) (1)奇函数满足 f (? x) ? ? f ( x) , 奇函数的图象关于原点对称; x (2)偶函数满足 f (? x) ? f ( x) , 偶函数的图象关于 y 轴对称; 注:①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; ②若奇函数在原点有定义,则 f (0) ? 0 ③根据奇偶性可将函数分为四类: 奇函数、 偶函数、 既是奇函数又是偶函数、 非奇非偶函数。 12、函数的单调性(在定义域的某个区间内考虑) 当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 在该区间上是增函数,图象从左到右上升; 当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 在该区间上是减函数,图象从左到右下降。 函数 f ( x) 在某区间上是增函数或减函数,那么说 f ( x) 在该区间具有单调性,该区间叫做 单调(增/减)区间 2 13、一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? b ? b 2 ? 4ac 2 (1)求根公式: x1, 2 ? (2)判别式: ? ? b ? 4ac 2a (3) ? ? 0 时方程有两个不等实根; ? ? 0 时方程有一个实根; ? ? 0 时方程无实根。 b c (4)根与系数的关系——韦达定理: x1 ? x 2 ? ? , x1 ? x 2 ? a a 2 14、二次函数:一般式 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) ; 两根式 y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) (a ? 0) b b 4ac ? b2 (1)顶点坐标为 (? , (2)对称轴方程为:x= ? ; ); 2a 2a 4a b 4ac ? b 2 (3)当 a ? 0 时,图象是开口向上的抛物线,在 x= ? 处取得最小值 2a 4a 当 a ? 0


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