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2013届高考理科数学第一轮复习测试题1


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A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

1.(2012· 荆州二检)过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这 样的直线有( A.1 条 ). C.3 条 D.4 条

B.2 条

解析 结合图形分析可知,满足题意的直线共有 3 条:直线 x=0,过点(0,1)且 平行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x=0). 答案 C 2.(2012· 银川模拟)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1,y1),B(x2, y2),若|AB|=7,则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为( 5 A.2 解析 7 B.2 C.2 D.3 ).

由题知抛物线的焦点为(1,0),准线方程为 x=-1.由抛物线定义知:|AB|

p p =|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=x1+x2+p,即 x1+x2+2=7,得 x1+x2=5,于是弦 5 5 7 AB 的中点 M 的横坐标为2,因此 M 到抛物线准线的距离为2+1=2. 答案 B x2 y2 3.设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公 共点,则双曲线的离心率为( 5 A.4 5 B.5 C. 2 D. 5 ).

? b ?y= x, x2 y2 b 解析 双曲线a2-b2=1 的一条渐近线为 y=ax,由方程组? a ?y=x2+1 ? a2+b2 b b c ?b?2 x -ax+1=0 有唯一解, 所以 Δ=?a? -4=0, =2, a= a = e= a ? ?
2

消去 y 得,

?b? 1+?a?2 ? ?

= 5.
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答案 D 4.(2011· 全国)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A, B 两点,则 cos∠AFB=( 4 A.5 3 B.5 3 C.-5 4 D.-5 ).

2 ?y =4x 解析 设点 A(x1,y1)、B(x2,y2).由题意得点 F(1,0),由? 消去 y 得 x2 y=2x-4 ?

-5x+4=0, x=1 或 x=4, 因此点 A(1, -2)、 B(4,4), →=(0, FA -2), →=(3,4), FB

→ 0×3+?-2?×4 4 cos∠AFB= = =-5,选 D. 2×5 |F→||F→| A B
FA · B F 答案 D 5.(2011· 兰州模拟)已知 A,B 为抛物线 C:y2=4x 上的两个不同的点,F 为抛物 → → 线 C 的焦点,若FA=-4FB,则直线 AB 的斜率为( 2 A.± 3 3 B.± 2 3 C.± 4 4 D.± 3 ).



解析 由题意知焦点 F(1,0),直线 AB 的斜率必存在,且不为 0,故可设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)(k≠0),代入 y2=4x 中化简得 ky2-4y-4k=0,设 A(x1,y1), 4 → → B(x2,y2),则 y1+y2=k,①y1y2=-4,②又由FA=-4FB可得 y1=-4y2,③ 4 联立①②③式解得 k=± . 3 答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) x2 y2 6.(2011· 北京东城检测)已知 F1、F2 为椭圆25+ 9 =1 的两个焦点,过 F1 的直线 交椭圆于 A、B 两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=________. 解析 由题意知(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=|AB|+|AF2|+|BF2|=2a+2a,又由 a=5,可得|AB|+(|BF2|+|AF2|)=20,即|AB|=8. 答案 8 y2 7.(2012· 东北三校联考)已知双曲线方程是 x2- 2 =1,过定点 P(2,1)作直线交双
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曲线于 P1,P2 两点,并使 P(2,1)为 P1P2 的中点,则此直线方程是________. 解析
2 2 y2-y1 2?x2+x1? 2 y1 2 y2 设点 P1(x1,1), 2(x2,2), y P y 则由 x1- 2 =1,2- 2 =1, k= x 得 = x2-x1 y2+y1

2×4 = 2 =4,从而所求方程为 4x-y-7=0.将此直线方程与双曲线方程联立得 14x2-56x+51=0,Δ>0,故此直线满足条件. 答案 4x-y-7=0 8.(2011· 河南洛阳、安阳统考)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(0, -1),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点.若 AB 的中点为(2,-2),则直线 l 的方程为________. 解析 由题意知,抛物线的方程为 x2=-4y,设 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1≠x2,
2 ?x1=-4y1, 联立方程得? 2 两式相减得 x2-x2=-4(y1-y2), 1 2 ?x2=-4y2,

y1-y2 x1+x2 ∴ = =-1, x1-x2 -4 ∴直线 l 的方程为 y+2=-(x-2),即 y=-x. 答案 x+y=0 三、解答题(共 23 分) y2 9.(★)(11 分)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x +b2=1(0<b<1)的左,右焦点,过 F1
2

的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值. 思路分析 第(1)问由椭圆定义可求;第(2)问将直线 l 与椭圆联立方程组,利用 弦长公式求解. 解 (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=3. (2)l 的方程为 y=x+c, 其中 c= 1-b2.
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?y=x+c, ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组? 2 y2 ?x +b2=1, ? +b2)x2+2cx+1-2b2=0. -2c 1-2b2 则 x1+x2= ,x x = .因为直线 AB 的斜率为 1, 1+b2 1 2 1+b2 4 所以|AB|= 2|x2-x1|,即3= 2|x2-x1|. 4?1-b2? 4?1-2b2? 8 8b4 2 2 则9=(x1+x2) -4x1x2= 2 2- 2 = 2 2,解得 b= 2. ?1+b ? 1+b ?1+b ?

化简得(1

错误!
x2 y2 3 10.(12 分)(2011· 陕西)设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为5. (1)求 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为5的直线被 C 所截线段的中点坐标. 16 解 (1)将(0,4)代入 C 的方程得 b2 =1,∴b=4,
2 2 c 3 a -b 9 16 9 又 e=a=5得 a2 =25,即 1- a2 =25,∴a=5,

x2 y2 ∴C 的方程为25+16=1. 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为5的直线方程为 y=5(x-3), 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y=5(x-3)代入 C 的方程,得 x2 ?x-3? 2 25+ 25 =1,即 x -3x-8=0.
2

4 4 12 ∴x1+x2=3,y1+y2=5(x1+x2-6)=5(3-6)=- 5 . x1+x2 3 y1+y2 6 ∴ 2 =2, 2 =-5. 6? ?3 即中点为?2,-5?. ? ?
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B级

综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

x2 2 1.(★)直线 y=kx+1,当 k 变化时,此直线被椭圆 4 +y =1 截得的最大弦长是 ( 4 3 A.4 B. 3 C.2 D.不能确定 ).

x2 解析 (筛选法)直线 y=kx+1 恒过点(0,1),该点恰巧是椭圆 4 +y2=1 的上顶点, 椭圆的长轴长为 4,短轴长为 2,而直线不经过椭圆的长轴和短轴,因此排除 A、 C;将直线 y=kx+1 绕点(0,1)旋转,与椭圆有无数条弦,其中必有最大弦长,因 此排除 D.故选 B. 答案 B 【点评】 本题通过运动的观点,得到直线在各种位置下的情形,从而排除错误 选项,得到正确答案,避免了冗长的计算. 2. (2011· 四川)在抛物线 y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为 x1=-4,2=2 的两点, x 过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2 =36 相切,则抛物线顶点的坐标为( A.(-2,-9) C.(2,-9) B.(0,-5) D.(1,-6) ).

解析 由已知得抛物线经过(-4,11-4a)和(2,2a-1)两点, 过这两点的割线斜率 k 2a-1-?11-4a? = =a-2. 2-?-4? 于是,平行于该割线的直线方程为 y=(a-2)x+b. 该直线与圆相切,所以 b2 36 2= . 5 1+?a-2?

该直线又与抛物线相切,于是(a-2)x+b=x2+ax-5 有两个相等的根, b2 36 即由方程 x +2x-5-b=0 的 Δ=0 得 b=-6,代入 = , 1+?a-2?2 5
2

注意到 a≠0, a=4.所以抛物线方程为 y=x2+4x-5=(x+2)2-9, 得 顶点坐标为
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(-2,-9). 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) x2 y2 3. (2012· 揭阳模拟)过椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭 圆的另一个交点为 M,与 y 轴的交点为 B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为 ________. 解析 由题意知 A 点的坐标为(-a,0),l 的方程为 y=x+a,∴B 点的坐标为(0, 6 ? a a? a),故 M 点的坐标为?-2,2?,代入椭圆方程得 a2=3b2,∴c2=2b2,∴e= 3 . ? ? 答案 6 3

x2 y2 4.(2012· 金华模拟)已知曲线 a - b =1(a· b≠0,且 a≠b)与直线 x+y-1=0 相交 1 1 → OQ → 于 P、Q 两点,且OP· =0(O 为原点),则a-b的值为________. x2 y2 解析 将 y=1-x 代入 a - b =1, 得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设 P(x1,1), 2, y Q(x y2),则 x1+x2= a+ab → → 2a ,x1x2= .OP· =x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)= OQ a-b a-b

2x1x2-(x1+x2)+1. 2a+2ab 2a 所以 - +1=0,即 2a+2ab-2a+a-b=0, a-b a-b 1 1 即 b-a=2ab,所以a-b=2. 答案 2 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)(2012· 株洲模拟)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,△ ABC 的三个顶点都在抛物线上, 且△ABC 的重心为抛物线的焦点, BC 所在直 若 线 l 的方程为 4x+y-20=0. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若 O 是坐标原点,P,Q 是抛物线 C 上的两动点,且满足 PO⊥OQ,证明:
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直线 PQ 过定点. (1)解 设抛物线 C 的方程为 y2=2mx,

?4x+y-20=0, 由? 2 得 2y2+my-20m=0, ?y =2mx, ∵Δ>0,∴m>0 或 m<-160. m 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 y1+y2=- 2 , y1? ? y2? m ? ∴x1+x2=?5- 4 ?+?5- 4 ?=10+ 8 . ? ? ? ? ?m ? 再设 A(x3,y3),由于△ABC 的重心为 F? 2 ,0?, ? ?

?x1+x2+x3=m, ? 3 2 则? y +y +y ? 1 32 3=0, ?

?x3=11m-10, ? 8 解得? m ?y3= 2 . ?

?m? ?11m ? ∵点 A 在抛物线上,∴? 2 ?2=2m? 8 -10?. ? ? ? ? ∴m=8,抛物线 C 的方程为 y2=16x. (2)证明 当 PQ 的斜率存在时,设 PQ 的方程为 y=kx+b,显然 k≠0,b≠0,

∵PO⊥OQ,∴kPOkOQ=-1,设 P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∴xPxQ+yPyQ=0, 将直线 y=kx+b 代入抛物线方程,得 ky2-16y+16b=0, 16b y2 y2 b2 P Q ∴yPyQ= k .从而 xPxQ= 162 =k2, b2 16b ∴k2+ k =0,∵k≠0,b≠0,∴直线 PQ 的方程为 y=kx-16k,PQ 过点(16,0); 当 PQ 的斜率不存在时,显然 PQ⊥x 轴,又 PO⊥OQ, ?y=|x|, ∴△POQ 为等腰三角形,由? 2 ?y =16x, 得 P(16,16),Q(16,-16),此时直线 PQ 过点(16,0), ∴直线 PQ 恒过定点(16,0). 6.(12 分)(2011· 福建)已知直线 l:y=x+m,m∈R, (1)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方
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程; (2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l′, 问直线 l′与抛物线 C:2=4y 是否相切? x 说明理由. 解 法一 (1)依题意,点 P 的坐标为(0,m). 0-m ×1=-1, 2-0

因为 MP⊥l,所以

解得 m=2,即点 P 的坐标为(0,2). 从而圆的半径 r=|MP|= ?2-0?2+?0-2?2=2 2, 故所求圆的方程为 (x-2)2+y2=8. (2)因为直线 l 的方程为 y=x+m, 所以直线 l′的方程为 y=-x-m, ?y=-x-m, 由? 2 得 x2+4x+4m=0. ?x =4y Δ=42-4×4m=16(1-m). (1)当 m=1,即 Δ=0 时,直线 l′与抛物线 C 相切; (2)当 m≠1,即 Δ≠0 时,直线 l′与抛物线 C 不相切. 综上,当 m=1 时,直线 l′与抛物线 C 相切;当 m≠1 时,直线 l′与抛物线 C 不相切. 法二 (1)设所求圆的半径为 r, 则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2

?4+m =r , 依题意,所求圆与直线 l:x-y+m=0 相切于点 P(0,m),则?|2-0+m| ? 2 =r,
?m=2, 解得? ?r=2 2. 所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8. (2)同法一.

2

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