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2013届高考理科数学第一轮复习测试题2

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A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0 表示的是( A.一条直线和一条双曲线 C.两个点

).

B.两条双曲线 D.以上答案都不对

?x-y=0, 解析 (x-y)2+(xy-1)2=0?? ?xy-1=0, ?x=1, ?x=-1, ∴? 或? ?y=1 ?y=-1. 答案 C 1 ?1 ? 2.(2012· 厦门模拟)已知点 F?4,0?,直线 l:x=-4,点 B 是 l 上的动点.若过 ? ? B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M, 则点 M 的轨迹是( A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 ).

解析 由已知:|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点 M 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准 线的抛物线,故选 D. 答案 D → → 3.设 P 为圆 x +y =1 上的动点,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q,若PM=λMQ
2 2

(其中 λ 为正常数),则点 M 的轨迹为( A.圆 B.椭圆 C.双曲线

).

D.抛物线

解析 设 M(x,y),P(x0,y0),则 Q(x0,0), → → ?x-x =λ?x -x?, 0 0 由PM=λMQ得? (λ>0), ?y-y0=-λy ?x0=x, ∴? ?y0=?λ+1?y. 由于 x20+y20=1,∴x2+(λ+1)2y2=1,∴M 的轨迹为椭圆.
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答案 B 4.(2012· 长春模拟)设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为 圆周上任一点.线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方 程为 ( 4x2 4y2 A. 21 - 25 =1 4x2 4y2 C. 25 - 21 =1 4x2 4y2 B. 21 + 25 =1 4x2 4y2 D. 25 + 21 =1 ).

解析 M 为 AQ 垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|, ∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故 M 的轨迹为椭圆, 5 21 ∴a=2,c=1,则 b2=a2-c2= 4 , 4x2 4y2 ∴椭圆的标准方程为 25 + 21 =1. 答案 D 5.(2011· 湘潭模拟)如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是 圆周上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是( ).

A.椭圆 B.双曲线

C.抛物线

D.圆

解析 由条件知|PM|=|PF|. ∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R>|OF|. ∴P 点的轨迹是以 O、F 为焦点的椭圆. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) → → y? ? 6.平面上有三个点 A(-2,y),B?0,2?,C(x,y),若AB⊥BC,则动点 C 的轨 ? ? 迹方程是________.
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→ y? y? ? ? 解析 AB=?0,2?-(-2,y)=?2,-2?, ? ? ? ? → y? ? y? ? BC=(x,y)-?0,2?=?x,2?, ? ? ? ? → → → → ∵AB⊥BC,∴AB· =0, BC y? ? y ? ? ? ∴?2,-2?·x,2?=0,即 y2=8x. ? ?? ? ∴动点 C 的轨迹方程为 y2=8x. 答案 y2=8x ? a ? ?a ? 7.(2012· 佛山月考)在△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B?-2,0?,C?2,0? ? ? ? ? 1 (a>0),且满足条件 sin C-sin B=2sin A,则动点 A 的轨迹方程是________. |AB| |AC| 1 |BC| 解析 由正弦定理: 2R - 2R =2× 2R , 1 ∴|AB|-|AC|=2|BC|,且为双曲线右支. 16x2 16y2 答案 a2 - 3a2 =1(x>0 且 y≠0) x y 8.直线a+ =1 与 x、y 轴交点的中点的轨迹方程是______. 2-a x y 解析 (参数法)设直线a+ =1 与 x、y 轴交点为 A(a,0)、B(0,2-a),A、B 中 2-a a a 点为 M(x,y),则 x=2,y=1-2,消去 a,得 x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0, x≠1. 答案 x+y=1(x≠0,x≠1) 三、解答题(共 23 分) 9.(★)(11 分)设圆 C:(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的任意弦,求所作弦的中 点的轨迹方程. 解 法一 直接法.

如图,设 OQ 为过 O 点的一条弦,P(x,y)为其中点,

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?1 ? 则 CP⊥OQ.因 OC 中点为 M?2,0?,连接 PM. ? ? 1 1 1 ? 1? 故|MP|=2|OC|=2,得方程?x-2?2+y2=4,由圆的范围知 0<x≤1. ? ? 法二 定义法. ∵∠OPC=90° , ?1 ? ? 1? ∴动点 P 在以点 M?2,0?为圆心,OC 为直径的圆上,由圆的方程得?x-2?2+y2 ? ? ? ? 1 =4(0<x≤1). 法三 代入法. 设 Q(x1,y1),则

?x=x1, ? 2 ? y1 ? ?y= 2

?x1=2x, ?? 又∵(x1-1)2+y21=1, ?y1=2y.

∴(2x-1)2+(2y)2=1(0<x≤1). 法四 参数法. 设动弦 OQ 的方程为 y=kx,代入圆的方程得(x-1)2+k2x2=1. 即(1+k2)x2-2x=0, ∴x= x1+x2 k 1 y=kx= , 消去 k 即可得到(2x-1)2+(2y)2=1(0<x≤1). 2 =1+k2, 1+k2

【点评】 本题中的四种解法是求轨迹方程的常用方法,在求轨迹方程时,要注 意挖掘题目中的条件,恰当地选取方法. 10.(12 分)(2012· 苏州模拟)已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=-1,过定点 F 与直线 l1 相切的动圆的圆心为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程; → → (2)过点 F 的直线 l2 交轨迹于两点 P、Q,交直线 l1 于点 R,求RP· 的最小值. RQ 解 (1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离, ∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线, ∴动点 C 的轨迹方程为 x2=4y. (2)由题意知,直线 l2 方程可设为 y=kx+1(k≠0),
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与抛物线方程联立消去 y,得 x2-4kx-4=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4. ? 2 ? 又易得点 R 的坐标为?-k,-1?, ? ? → → 2 2 ? ?? ? ? ∴RP· =?x1+k,y1+1?·x2+k,y2+1? RQ ? ?? ? 2?? 2? ? =?x1+k??x2+k?+(kx1+2)(kx2+2) ? ?? ? 4 ?2 ? =(1+k2)x1x2+?k+2k?(x1+x2)+k2+4 ? ? ?2 ? 4 =-4(1+k2)+4k?k+2k?+k2+4 ? ? ? 2 1? =4?k +k2?+8. ? ? 1 ∵k2+k2≥2,当且仅当 k2=1 时取等号, → → → → ∴RP· ≥4×2+8=16,即RP· 的最小值为 16. RQ RQ B级 综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

1.△ABC 的顶点 A(-5,0)、B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶 点 C 的轨迹方程是( x2 y2 A. 9 -16=1 x2 y2 C. 9 -16=1(x>3) ) x2 y2 B.16- 9 =1 x2 y2 D.16- 9 =1(x>4)

解析 如图|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点, x2 y2 实轴长为 6 的双曲线的右支,方程为 9 -16=1(x>3). 答案 C 2.|y|-1= 1-?x-1?2表示的曲线是(
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).

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A.抛物线 C.两个圆

B.一个圆 D.两个半圆

解析

?|y|-1≥0 2 原方程等价于?1-?x-1? ≥0 ??|y|-1?2=1-?x-1?2

?|y|-1≥0 ?? 2 2 ??x-1? +?|y|-1? =1 ?y≥1 ?y≤-1 ?? 或? 2 2 2 2 ??x-1? +?y-1? =1 ??x-1? +?y+1? =1 答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) x2 y2 3.(2012· 开封模拟)已知 P 是椭圆a2+b2=1 上的任意一点,F1、F2 是它的两个焦 → → → 点,O 为坐标原点,OQ=PF1+PF2,则动点 Q 的轨迹方程是______________. → → → 解析 由OQ=PF1+PF2, → → → → → 又PF1+PF2=PM=2PO=-2OP, → → 1 1 设 Q(x,y),则OP=-2OQ=-2(x,y) y? ? x =?-2,-2?, ? ? y? ? x 即 P 点坐标为?-2,-2?,又 P 在椭圆上, ? ? ? x ?2 ? y ?2 ?-2? ?-2? ? ? ? ? x2 y2 则有 a2 + b2 =1,即4a2+4b2=1. x2 y2 答案 4a2+4b2=1 4.已知两条直线 l1:2x-3y+2=0 和 l2:3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径 都动)与 l1、l2 都相交,且 l1、l2 被圆截得的弦长分别是定值 26 和 24,则圆心的 轨迹方程是____________.
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解析 设动圆的圆心为 M(x,y),半径为 r,点 M 到直线 l1,l2 的距离分别为 d1 和 d2. 由弦心距、半径、半弦长间的关系得,
2 2 ? ?r -d21=169, ?2 r -d21=26, ? 即? 2 ?r -d22=144, ?2 r2-d22=24, ?

消去 r 得动点 M 满足的几何关系为 d22-d21=25, ?3x-2y+3?2 ?2x-3y+2?2 即 - =25. 13 13 化简得(x+1)2-y2=65. 此即为所求的动圆圆心 M 的轨迹方程. 答案 (x+1)2-y2=65 三、解答题(共 22 分) x2 5.(10 分)已知双曲线 2 -y2=1 的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P(x1,y1),Q(x1, -y1)是双曲线上不同的两个动点. (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程; (2)若过点 H(0,h)(h>1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1⊥l2, 求 h 的值. 解 (1)由题设知|x1|> 2,A1(- 2,0),A2( 2,0), 则有直线 A1P 的方程为 y= 直线 A2Q 的方程为 y= y1 (x+ 2),① x1+ 2

-y1 (x- 2).② x1- 2

2 2y1 联立①②解得交点坐标为 x=x ,y= x , 1 1 2 2y 即 x1= x,y1= x ,③ 则 x≠0,|x|< 2. x2 而点 P(x1,y1)在双曲线 2 -y2=1 上, x21 ∴ 2 -y21=1.
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将③代入上式,整理得所求轨迹 E 的方程为 x2 2 2 +y =1,x≠0 且 x≠± 2. (2)设过点 H(0,h)的直线为 y=kx+h(h>1), x2 联立 2 +y2=1 得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0. 令 Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0 得 h2-1-2k2=0, 解得 k1= h2-1 2 ,k2= - h2-1 2 .

h2-1 由于 l1⊥l2,则 k1k2=- 2 =-1,故 h= 3. 过点 A1,A2 分别引直线 l1,l2 通过 y 轴上的点 H(0,h),且使 l1⊥l2,因此 A1H⊥ A2H, 由 h ? h? ×?- ?=-1,得 h= 2.此时, 2? 2 ?

l1,l2 的方程分别为 y=x+ 2与 y=-x+ 2, ? 2 2 2? ? 2 2 2? ?与? ?. 它们与轨迹 E 分别仅有一个交点?- , 3 ? ?3, 3 ? ? 3 所以,符合条件的 h 的值为 3或 2. y2 6.(12 分)设椭圆方程为 x2+ 4 =1,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,O → → → 1 ?1 1? 为坐标原点,点 P 满足OP=2(OA+OB),点 N 的坐标为?2,2?,当直线 l 绕点 M ? ? 旋转时,求: (1)动点 P 的轨迹方程; → (2)|NP|的最大值,最小值. 解 (1)直线 l 过定点 M(0,1),设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1. ?y=kx+1, ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知,A、B 的坐标满足方程组? 2 y2 ?x + 4 =1. ? 消去 y 得(4+k2)x2+2kx-3=0.
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则 Δ=4k2+12(4+k2)>0. -3 2k ∴x1+x2=- . 2,x1x2= 4+k 4+k2 → → → 1 设 P(x,y)是 AB 的中点,则OP=2(OA+OB),得 k ?x=1?x1+x2?=4+k2, ? 2 ? 1 4+2k2 1 y=2?y1+y2?=2?kx1+1+kx2+1?= ; ? 4+k2 ? 消去 k 得 4x2+y2-y=0. 当斜率 k 不存在时,AB 的中点是坐标原点,也满足这个方程, 故 P 点的轨迹方程为 4x2+y2-y=0. ? 1? 1 (2)由(1)知 4x2+?y-2?2=4 ? ? 1 1 ∴-4≤x≤4 ? 1? ? 1? 而|NP|2=?x-2?2+?y-2?2 ? ? ? ?
2 ? 1?2 1-16x =?x-2? + 4 ? ?

7 ? 1? =-3?x+6?2+12, ? ? → 1 21 ∴当 x=-6时,|NP|取得最大值 6 , → 1 1 当 x=4时,|NP|取得最小值4.

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