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高中数学第二章圆锥曲线与方程222双曲线的几何性质课堂探究新人教B版选修11

2.2.2 双曲线的几何性质 课堂探究 探究一 由双曲线方程研究其几何性质 已知双曲线的方程求该双曲线的有关性质的步骤: 先将双曲线的方程化为标准形式 2- 2 2 y2 ? y x ? 2 2 =1?或 2- 2=1?,再根据 a,b 的值(注意分母分别为 a ,b ,而不是 a,b)求出 c,进而 b2 ? a b ? x2 a 对照双曲线的几何性质得到相应的答案.画几何图形时,要先画双曲线的两条渐近线(即以 2a,2b 为两邻边的矩形的对角线所在的直线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势画出 双曲线的近似图形. 【典型例题 1】 求双曲线 16x -9y =-144 的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、顶点 坐标、离心率和渐近线方程,并作出草图. 思路分析:将双曲线方程变为标准方程,确定 a,b,c 后求解. 解:把方程 16x -9y =-144 化为标准方程 2- 2=1,由此可知,实半轴长 a=4,虚 4 3 半轴长 b=3,c= a +b =5,焦点坐标为(0,-5),(0,5);顶点坐标为(0,-4),(0,4); 2 2 2 2 2 2 y2 x2 c 5 4 离心率为 e= = ;渐近线方程为 y=± x.作草图. a 4 3 探究二 利用几何性质求双曲线的标准方程 双曲线标准方程的求法和椭圆方程的求法类似, 一般都采用待定系数法, 即先设出标准 方程,再利用条件列出关于 a,b,c 的方程,解方程组求出待定系数. 【典型例题 2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程. 1 (1)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,焦距为 10; 2 2 ?9 ? (2)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,且过点 M? ,-1?; 3 ?2 ? 5 (3)与椭圆 + =1 有公共焦点,且率心率 e= . 49 24 4 思路分析:根据题设条件确定 a,b 的关系式,利用解方程的方法求得 a,b 的值.但焦 点位置不明确的,要注意分情况讨论.也可根据双曲线的几何情况,设出双曲线系方程再求 解. 1 x2 y2 解:(1)解法一:当焦点在 x 轴上时,设所求双曲线方程为 2- 2=1. 1 b 1 由渐近线方程为 y=± x,得 = ,2c=10. 2 a 2 又 c =a +b ,得 a =20,b =5, 所以双曲线的标准方程为 - =1. 20 5 同理,当焦点在 y 轴上时,可得双曲线的方程为 - =1, 5 20 所以所求双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 20 5 5 20 1 解法二:由渐近线方程为 y=± x, 2 可设双曲线方程为 -y =λ (λ ≠0),即 - =1. 4 4λ λ 由 a +b =c 2c=10,得|4λ |+|λ |=25, 所以|λ |=5,所以 λ =±5, 所以所求双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 20 5 5 20 (2)因为双曲线的渐近线方程为 2x±3y=0, 所以可设双曲线的方程为 4x -9y =λ (λ ≠0). 2 2 2 2 2, 2 2 2 2 2 x2 y2 a b x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 x2 2 x2 y2 x2 y2 y2 x2 ?9 ? 又因为双曲线过点 M? ,-1?, ?2 ? 81 所以 λ =4× -9=72. 4 所以双曲线方程为 4x -9y =72, 即标准方程为 - =1. 18 8 (3)解法一:由椭圆方程可得焦点坐标为(-5,0),(5,0),即 c=5 且焦点在 x 轴上. 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),且 c=5. 2 2 x2 y2 x2 y2 a b c 5 又 e= = , a 4 所以 a=4, 所以 b =c -a =9. 所以双曲线的标准方程为 - =1. 16 9 2 2 2 x2 y2 2 解法二: 因为椭圆的焦点在 x 轴上, 所以可设双曲线方程为 - =1(24<λ 49-λ λ -24 <49). 5 λ -24 25 又 e= ,所以 = -1,解得 λ =33. 4 49-λ 16 所以双曲线的标准方程为 - =1. 16 9 点评:(1),(2)题中,利用渐近线方程与双曲线方程的关系,可设有公共渐近线的双曲 x2 y2 x2 y2 x2 y2 线系方程 2- 2=λ (λ ≠0).这样可避免分类讨论,从而减少运算量,提高解题速度与准确 a b 率.(3)题的解法二利用共焦点的曲线系方程,不失为一种巧妙的解题方法. 探究三 双曲线的离心率问题 求双曲线的离心率,通常先由题设条件得到 a,b,c 的关系式,再根据 c =a +b ,直 接求 a,c 的值.而在解题时常把 或 视为整体,把关系式转化为关于 或 的方程,解方程 求之,从而得到离心率的值. 3 【典型例题 3】 双曲线的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的离心率为__________. 4 思路分析:分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况讨论,把 看作一个整体进行求解. 2 2 2 c b a a c b a a b a b b 3 3 解析:方法 1:当焦点在 x 轴上时,其渐近线方程为 y=± x,依题意得 = ,b= a, a a 4 4 5 c 5 a a 3 c= a2+b2= a, 故 e= = .当焦点在 y 轴上时, 其渐近线方程为 y=± x, 依题意得 = , 4 a 4 b b 4 4 5 c 5 c b= a,c= a2+b2= a,即 e= = .方法 2:由 e= = 3 3 a 3 a b 3 5 ?b?2 1+? ? 得:当 = 时,e= ; a 4 4 ?a? b 4 5 当 = 时,e= . a 3 3 5 5 答案: 或 3 4 规律小结 求双曲线的离心率的常用方法: (1)利用 a,c 求.若可求得 a,c,则直接利用 e= 得解


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