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1.3三角函数的诱导公式ppt


三角函数的 诱导公式

同角三角函数的基本关系

平方关系:
商数关系:

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? tan ? ? cos ?

(? ? k? ?

?
2

,k ?Z)

同一个角 的正弦、余弦的平 方和等于1,商等于角 ? 的正 切。

?

1.3

三角函数的诱导公式

第一课时 π +α、- α、 π-α的诱导

问题提出

1.任意角α 的正弦、余弦、正切是怎样 定义的?
sin ? ? y cos? ? x y t an? ? ( x ? 0) x
α 的终边

y

P(x,y)

O

x

7/18/2016

2. 2kπ +α (k∈Z)与α 的三角函数 之间的关系是什么? 公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos? tan( ? ? 2k? ) ? tan? (k ? z ) 3.你能求sin750°和sin930°的值吗?
1 2
7/18/2016



4.利用公式一,可将任意角的三角函数 值,转化为00~3600范围内的三角函数 值.其中锐角的三角函数是我们熟悉的, 而对于900~3600范围内的三角函数值, 能否转化为锐角的三角函数值,这就是 我们需要研究和解决的问题.

7/18/2016

7/18/2016

思考:对于任意给定的一个角α ,角π +α 的终边与角α 的终边有什么关系?
y α 的终边

o

x

π+α 的终边
7/18/2016

思考:设角α 的终边与单位圆交于点P (x,y),则角π +α 的终边与单位圆 的交点坐标如何?
y α 的终边 P(x,y) o

x Q(-x,-y) π+α 的终边

7/18/2016

思考:根据三角函数定义, sin(π+α) 、cos(π +α )、 tan(π +α )的值分别是什么?
y α 的终边

sin (? ? ? ) ? ? y co s(? ? ? ) ? ? x y t an ( ? ??) ? x x
Q(-x,-y) π+α 的终边

P(x,y)
o

7/18/2016

思考:对比sinα ,cosα ,tanα 的值, π +α 的三角函数与α 的三角函数有什 么关系?

sin( ? ? ? ) ? ? sin ? 公式二: cos(? ? ? ) ? ? cos? tan( ? ? ? ) ? tan?
7/18/2016

知识探究(二):-α ,π -α 的诱导公式:

思考:对于任意给定的一个角α ,-α 的终边与α 的终边有什么关系?
y α 的终边

o

x

-α 的终边
7/18/2016

思考:设角α 的终边与单位圆交于点 P (x,y),则-α 的终边与单位圆的交 点坐标如何? sin(?? ) ? ? y
y α 的终边

cos(?? ) ? x y t an(?? ) ? ? x

P(x,y)
o

P(x,-y)
-α 的终边
7/18/2016

x

思考:根据三角函数定义,-α 的三角 函数与α 的三角函数有什么关系?
α 的终边

y

P(x,y)
o

P(x,-y)
-α 的终边

x

公式三:
7/18/2016

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? t an(?? ) ? ? t an?

思考:利用π -α =π +(-α ),结合公式二、 三,你能得到什么结论?

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos? tan( ? ? ? ) ? tan?

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? t an(?? ) ? ? t an?

sin(? ? ? ) ? sin ? 公式四: cos(? ? ? ) ? ? cos? tan( ? ? ? ) ? ? tan?
7/18/2016

思考:公式一~四都叫做诱导公式,他 们分别反映了2kπ +α (k∈Z),π + α ,-α ,π-α的三角函数与α的三角 函数之间的关系,你能概括一下这四组 公式的共同特点和规律吗?

7/18/2016

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos? tan( ? ? 2k? ) ? tan? (k ? z )
sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? t an( ?? ) ? ? t an?

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos? tan( ? ? ? ) ? tan?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos? tan( ? ? ? ) ? ? tan?

2kπ +α (k∈Z),π +α ,-α ,π -α 的三 角函数值,等于α 的同名函数值,再放上将α 当作
锐角时原函数值的符号.
7/18/2016

利用诱导公式一~四,可以求任意角 的三角函数,其基本思路是:
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数

锐角的三角 函数

0~2π 的角 的三角函数

7/18/2016

这是一种化归与转化的数学思想.

例1.已知: tan ? 解:∵ tan ?

? 3 ,求 2cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) 的值。
4cos(?? ) ? sin(2? ? ? )

tan ?[cos(3? ? ? ) ? sin(5? ? ? )]的值。
解: tan ?[cos(3? ? ? ) ? sin(5? ? ? )]

?2 cos ? ? 3sin ? ?2 ? 3 tan ? ∴原式 ? ? ?7 4 cos ? ? sin ? 4 ? tan ? 3 例2.已知 sin ? ? ? ,且 是第四象限角,求 5

?3

?

? tan ? (? cos ? ? sin ? ) ? tan ? sin ? ? tan ? cos? ? sin ? (tan ? ? 1) 21 4 3 由已知得: cos ? ? , tan ? ? ? , ∴原式 ? 5 4 20
7/18/2016

? tan ?[cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? )]

理论迁移

例3 求下列各三角函数的值:
(1)cos225
?

11? (2)sin 3
(4)cos(-2040 )
?

16? (3)sin() 3

7/18/2016

例4 已知cos(π +x)= 1 3 各式的值:

,求下列

(1)cos(2π-x);(2)cos(π-x).
例5 化简:
cos(180 ? ? ) ? sin( ? ? 360 ) (1) sian(- ? -180? ) ? cos(-180? - ? ) ; ? ? cos190 ? sin (?210 ) (2 ) ? ? . cos(-350 ) ? tan585
? ?
7/18/2016

小结
1.诱导公式都是恒等式,即在等式有意义时 恒成立. 2.诱导公式一~四要灵活应用,要点: 负化正,大化小,化至锐角解决了!

7/18/2016

作业: P27练习:1,2,3,4.

7/18/2016

1.3

三角函数的诱导公式 第二课时

7/18/2016

问题提出

1.诱导公式一、二、三、四分别反映了 2kπ +α (k∈Z)、π +α 、-α 、 π -α 与α 的三角函数之间的关系,这 四组公式的共同特点是什么? 函数同名,象限定号.

7/18/2016

对形如π -α 、π +α 的角的三角函数 可以转化为α 角的三角函数,对形 ? p 如 ? ? 、 + a 的角的三角函数与α 角
2

2

的三角函数,是否也存在着某种关系? 这需要我们作进一步的探究!

7/18/2016

7/18/2016

知识探究(一):2 ? ? 的诱导公式

?

思考1:sin(90°-60°)与sin60° 的值相等吗?相反吗?
?
2

思考2:sin(90°-60°)与cos60°, cos(90°-60°)与sin60°的值分别 有什么关系?据此,你有什么猜想?
??

sin ( ? ? ) ? cos ? 2

?

7/18/2016

sin ( ? ? ) ? cos? 2 p cos( - a ) = sin a 2

?

思考3:如果α 为锐角,你有什么办法证 p ? 明 sin ( ? ? ) ? cos? ,cos( - a ) = sin a ?
2
2
p - a 2

a

c
α b

7/18/2016

p b sin( - a ) = cosa = 2 c p a cos( - a ) = sin a = 2 c

思考4:若α 为一个任意给定的角,那么 ? ? ? 的终边与角α 的终边有什么对称关 2 ? 的终边 y 2 ?? 系?
α 的终边 O

x

思考5:点P1(x,y)关于直线y=x对称 的点P2的坐标如何?
7/18/2016

思考6:设角α 的终边与单位圆的交点 ? 为P1(x,y),则 2 ? ? 的终边与单 位圆的交点为P2(y,x),根据三角函 数的定义,你能获得哪些结论?
y
?
2 ?? 的终边

公式五:
sin(

P2(y,x)
α 的终边 O

?
2

? ? ) ? cos? ? ? ) ? sin ?

P1(x,y) x

cos(

?
2

7/18/2016

? 知识探究(二): ? ? 的诱导公式 2 ? ? 思考2: ? ? 与 ? ? 有什么内在联系? 2 2 ? ? ?? ? ? ? ( ?? )
2 2
sin(

?

? ? ) ? sin[ ? ? ( ? ? )] ? sin( ? ? ) ? cos ? 2 2 2

?

?

cos( ? ? ) ? cos[? ? ( ? ? )]? ? cos( ? ? ) ? ? sin ? 2 2 2
7/18/2016

?

?

?

sin(

?
2

? ? ) ? cos?

公式六:

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

7/18/2016

思考6:正弦函数与余弦函数互称为异名 函数,你能概括一下公式五、六的共同 特点和规律吗?
sin(

?
2

? ? ) ? cos? ? ? ) ? sin ?
??

sin(

?
2

? ? ) ? cos?

cos(

?
2
?

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

的三角函数值,等于α 的同 2 名函数值,再放上将α 当作锐角时原函数

值的符号.
7/18/2016

思考5:根据相关诱导公式推导,
3p sin( - a ), ? ? cos ? 2 3p cos( - a ),? ? sin ? 2 3p sin( + a ),? ? cos ? 2
3? cos( ? ? ) 2

? sin ?

7/18/2016

k? 思考7:诱导公式可统一为 2 ? ? (k ? Z)

的三角函数与α的三角函数之间的关系, 你有什么办法记住这些公式?

奇变偶不变,符号看象限.

7/18/2016

理论迁移

例1 化简:
11? sin(2 ? - ? )cos(? ? ? )cos( ? ? )cos( -? ) 2 2 9? cos(? - ? )sin(3 ? - ? )sin(- ? - ? )sin( ?? ) 2

?

7/18/2016

例2 的值

已知

2 cos( ? ? ) ? 6 3

?

,求

2? sin (? ? ) 3

1 cos(60 ? ? ) ? ? ? tan (30 ? ? ) 1 ? sin (60 ? ? ) 的值.

1 例3 已知 sin (30 ? ? ) ? ,求 3 ?
?

7/18/2016

小结作业

1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三 角函数之间的相互关系,并具有一定的规 律性,“奇变偶不变,符号看象限”,是 记住这些公式的有效方法.

2.诱导公式是三角变换的基本公式,其 中角α是任意角,应用时要注意整体把 握、灵活变通.
7/18/2016

作业:
7/18/2016


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