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高一函数讲解加例题 答案全


函数

1.映射 f : A ? B 的概念。在理解映射概念时要注意:⑴A 中元素必须都有象且唯一;⑵ B 中元素不一定都有原象,且原象不一定唯一。如 (1)设 f : M ? N 是集合 M 到 N 的映射,下列说法正确的是(答:A) A、 M 中每一个元素在 N 中必有象 B、 N 中每一个元素在 M 中必有原象

C、 N 中每一个元素在 M 中的原象是唯一的 D、 N 是 M 中所在元素的象的集合 (2)点 (a, b) 在映射 f 的作用下的象是 (a ? b, a ? b) ,则在 f 作用下点 (3,1) 的原象为点 ________(答: (2,-1); ) (3)若 A ? {1,2,3,4} , B ? {a, b, c} ,a, b, c ? R ,则 A 到 B 的映射有________个, B 到 A 的映射有________个, A 到 B 的函数有________个(答:81,64,81) ; (4) 设集合 M ? {?1,0,1}, N ? {1, 2,3, 4,5} , 映射 f : M ? N 满足条件 “对任意的 x ? M ,

x ? f ( x) 是奇数” ,这样的映射 f 有____个(答:12) ;
(5) f : x ? x 是集合 A 到集合 B 的映射, B={1,2}, A ? B 一定是_____ 设 若 则 (答:?
2

或{1}). 2.函数 f : A ? B 是特殊的映射。特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集!据此可知函数图 像与 x 轴的垂线至多有一个公共点,但与 y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个。如 (1)已知函数 f ( x) , x ? F ,那么集合 {( x, y) | y ? f ( x), x ? F} ? {( x, y) | x ? 1} 中所含 元素的个数有 个(答: 0 或 1) ; 1 2 y ? x ? 2x ? 4 2 (2)若函数 的定义域、值域都是闭区间 [2,2b] ,则 b =________(答:2) 4. 求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则) : (1) 根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零, 分母不能为零, 对数

log a x

中 x ? 0, a ? 0

且 a ? 1 ,三角形中 0 ? A ? ? , 最大角

?

?
3 ,最小角

?

?
3 等。如

y?
(1)函数

x ?4 ? x? lg ? x ? 3?
2

的定义域是____(答: (0, 2) ? (2,3) ? (3, 4) );

y?
(2)若函数

? 3? kx ? 7 ?0, ? kx ? 4kx ? 3 的定义域为 R,则 k ? _______(答: ? 4 ? );
2

(3)函数 f ( x) 的定义域是 [a, b] , b ? ?a ? 0 ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域是 __________(答: [a, ?a] ); (4)设函数 f ( x) ? lg(ax ? 2 x ? 1) ,①若 f ( x) 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围;②
2

若 f ( x) 的值域是 R,求实数 a 的取值范围(答:① a ? 1 ;② 0 ? a ? 1) (2)根据实际问题的要求确定自变量的范围。 (3)复合函数的定义域:若已知 f ( x) 的定义域为 [a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域由不 等式 a ? g ( x) ? b 解出即可;若已知 f [ g ( x)] 的定义域为 [a, b] ,求 f ( x) 的定义域,相当于 当 x ? [a, b] 时,求 g ( x) 的值域(即 f ( x) 的定义域) 。如

?1 ? ? ,2? (1)若函数 y ? f (x) 的定义域为 ? 2 ? ,则 f (log2 x) 的定义域为__________(答:

?x |

2?x?4 ) ;
2

?

(2)若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,则函数 f ( x) 的定义域为________(答:[1,5]) . 5.求函数值域(最值)的方法: (1)配方法――二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间 [m, n] 上 的最值;二是求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题,勿忘 数形结合,注意“两看” :一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系) ,如 (1)求函数 y ? x ? 2 x ? 5, x ? [?1, 2] 的值域(答:[4,8]) ;
2

(2)当 x ? (0,2] 时,函数 f ( x) ? ax ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最大值,则 a 的取值
2

a??
范围是___(答: (3)已知 f ( x) ? 3
x ?b

1 2) ;

(2 ? x ? 4) 的图象过点(2,1) F ( x) ? [ f ?1 ( x)]2 ? f ?1 ( x 2 ) 的值域 ,则

为______(答:[2, 5]) (2)换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函 数解析式含有根式或三角函数公式模型,如
2 (1) y ? 2sin x ? 3cos x ? 1的值域为_____(答:

[?4,

17 ] 8 ) ;

(2) y ? 2 x ? 1 ?

x ? 1 的值域为_____(答: (3, ??) ) (令 x ? 1 ? t , t ? 0 。运用换元

法时,要特别要注意新元 t 的范围) ;

cos (3) y ? sin x ? cos x ? sin x? x 的值域为____(答:
2

1 [?1, ? 2] 2 ) ;

(4) y ? x ? 4 ? 9 ? x 的值域为____(答: [1,3 2 ? 4] ) ; (3)函数有界性法――直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定 2sin ? ? 1 3x y? y? 1 ? 3x , 1 ? sin ? , 所求函数的值域,最常用的就是三角函数的有界性,如求函数
y?

1 2sin ? ? 1 3 (??, ] (?? ] , 2 、 1 ? cos ? 的值域(答: 2 ) (0,1) 、 ;

(4)单调性法――利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性,如

1 9 y ? x ? (1 ? x ? 9) y ? sin 2 x ? x ?5 x 1 ? sin 2 x , y ? 2 ? log 3 x ? 1 的值域为______ 求 , (0,
(答:

80 11 ) [ ,9] 9 、 2 、 [2,10] ) ;

(5)数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率、等 等,如

y P( x, y ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上,求 x ? 2 及 y ? 2 x 的取值范围(答: [? (1)已知点
[? 5, 5] )(2)求函数 y ? ( x ? 2)2 ? ( x ? 8) 2 的值域(答: [10, ??) ) ; ;
(3)求函数 y ?

3 3 , ] 3 3 、

x 2 ? 6 x ? 13 ? x 2 ? 4 x ? 5 及 y ? x 2 ? 6 x ? 13 ? x 2 ? 4 x ? 5 的值域(答:

[ 43, ??) 、 (? 26, 26) )注意:求两点距离之和时,要将函数式变形,使两定点在 x 轴 的两侧,而求两点距离之差时,则要使两定点在 x 轴的同侧。
(6)判别式法――对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时 也可以用其它方法进行求解,不必拘泥在判别式法上,也可先通过部分分式后,再利用均值 不等式: ①
y? b 3 3 (0, ] y? k ? x 2 型,可直接用不等式性质,如求 2 ? x 2 的值域(答: 2 )



y?

x bx 1 y? (??, ] 1 ? x 2 的值域(答: x ? mx ? n 型,先化简,再用均值不等式,如(1)求 2 ) ;
2

(2)求函数
y?

y?

1 x?2 [0, ] x ? 3 的值域(答: 2 )



mx 2 ? 8 x ? n x 2 ? m?x ? n? y ? log3 x2 ? 1 x 2 ? mx ? n 型,通常用判别式法;如已知函数 的定义域为 R,值

域为[0,2],求常数 m, n 的值(答: m ? n ? 5 )
y? x 2 ? m?x ? n? x2 ? x ? 1 y? mx ? n x ?1 的 值 域 ( 答 : 型,可用判别式法或均值不等式法,如求



(??, ?3] [1,?? ) ? )
? (7)不等式法――利用基本不等式 a ? b ? 2 ab (a, b ? R ) 求函数的最值,其题型特征解析式

是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边
( a1 ? a 2 ) 2 x, b1 , b2 , y x, a1 , a2 , y 平方等技巧。如设 成等差数列, 成等比数列,则 b1b2 的取值范围

是____________.(答: (??,0] ? [4, ??) ) 。
3 2 (8)导数法――一般适用于高次多项式函数,如求函数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 40 x , x ?[?3,3] 的

最小值。 (答:-48) 提醒: (1)求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗?(2)函数的最值与值 域之间有何关系? 6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对 应关系的函数, 它是一类较特殊的函数。 在求分段函数的值

f ( x0 )

时, 一定首先要判断

x0



于定义域的哪个子集, 然后再代相应的关系式; 分段函数的值域应是其定义域内不同子集上 各关系式的取值范围的并集。如
?( x ? 1)2 .( x ? 1) ? f ( x) ? ? ?4 ? x ? 1.( x ? 1) ?

(1)设函数

,则使得 f ( x) ? 1 的自变量 x 的取值范围是__________

(答: (??, ?2] ? [0,10] ) ; (2)已知
3 (x ?1   ? 0) f ( x) ? ? (??, ] x ? ( x ? 2) f ( x ? 2) ? 5 的解集是________(答: ?1   ? 0) (x 2 ) ? ,则不等式

7.求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法――已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种:一般式:
f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ;顶点式: f ( x) ? a( x ? m) 2 ? n ;零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ,要会根

据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式) 。如 已知 f ( x) 为二次函数,且 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为
f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 2 2 2 ,求 f ( x) 的解析式 。 (答: ) 1

(2)代换(配凑)法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式,求 f ( x) 的表达式。如
2 (1)已知 f (1 ? cos x) ? sin x, 求 f x

? ? 的解析式(答: f ( x ) ? ? x
2
2

4

? 2 x 2 , x ? [? 2, 2] ) ;

1 1 f (x ? ) ? x 2 ? 2 x x ,则函数 (2)若

f ( x ? 1) =_____(答: x 2 ? 2 x ? 3 ) ;

3 (3)若函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? x(1 ? x ) ,那么 3 当 x ? (??,0) 时, f (x) =________(答: x(1 ? x ) ).

这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即 f ( x) 的定义域应是 g ( x) 的值域。 (3)方程的思想――已知条件是含有 f ( x) 及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对 等式的进行赋值,从而得到关于 f ( x) 及另外一个函数的方程组。如
f ( x) ? ?3x ? 3) (1)已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2 ,求 f ( x) 的解析式(答: ; 2

(2) 已知 f ( x) 是奇函数,g (x) 是偶函数, f ( x) + g (x) = 且 映射与函数、函数的解析式

1 2 x ? 1 ,则 f ( x) =____ (答:x

x ?1 ) 。

1. 设集合 A ? {x | 1 ? x ? 2} ,B ? { y | 1 ? y ? 4} , 则下述 f 中不能构成 A 到 B 的映射的是 ( A. f : x ? y ? x 2 C. f : x ? y ? ? x ? 4 B. f : x ? y ? 3x ? 2 D. f : x ? y ? 4 ? x 2 )



2.若函数 f (3 ? 2 x) 的定义域为[-1,2],则函数 f (x) 的定义域是( A. [?

5 ,?1] 2
?1

B.[-1,2]

C.[-1,5] )

D. [ ,2]

1 2

3,设函数 f ( x) ? ? x ? 1( x ? 1) ,则 f ( f ( f (2))) =( ?
( x ? 1)

A.0

B.1

C.2 )

D. 2

4.下面各组函数中为相同函数的是( A. f ( x) ? ( x ? 1) 2 , g ( x) ? x ? 1 C. f ( x) ? ( x ? 1) 2 , g ( x) ? ( x ? 1) 2 D.

B. f ( x) ? x 2 ? 1, g ( x) ? x ? 1 x ? 1
f ( x) ? x2 ?1 , g ( x) ? x?2 x2 ?1 x?2

, 5. 已知映射 f : A ? B ,其中,集合 A ? ?? 3,?2,?1,1,2,3,4? 集合 B 中的元素都是 A 中元
素在映射 f 下的象,且对任意的 a ? A, 在 B 中和它对应的元素是 a ,则集合 B 中元素的个 数是( ) (A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 7

7.已知定义在 [0,?? ) 的函数 f ( x) ? ? x ? 2 ( x ? 2) ? 2 (0 ? x ? 2) ?x

若 f ( f ( f (k ))) ? 25 ,则实数 k ?
4

函数的定义域和值域 1.已知函数 f ( x) ?

1? x 的定义域为 M,f[f(x)]的定义域为 N,则 M∩N= 1? x

.

2.如果 f(x)的定义域为(0,1), ?

1 ? a ? 0 ,那么函数 2

g(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域

为 . 2 3. 函数 y=x -2x+a 在[0,3]上的最小值是 4,则 a= ;若最大值是 4,则 a= . 2 4.已知函数 f(x)=3-4x-2x ,则下列结论不正确的是( ) A.在(-∞,+∞)内有最大值 5,无最小值,B.在[-3,2]内的最大值是 5,最小值是-13 C.在[1,2)内有最大值-3,最小值-13, D.在[0,+∞)内有最大值 3,无最小值 5.已知函数 y ? A.p ? Q 6.若函数 y ?
2

x?3 x2 ? 9 的值域分别是集合 P、Q,则( ,y ? 2 x?4 x ? 7 x ? 12
B.P=Q C.P ? Q



D.以上答案都不对

mx ? 1 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是( ) mx ? 4mx ? 3 3 3 3 3 A. (0, ] B. (0, ) C. [0, ] D. [0, ) 4 4 4 4
2

7.函数 y ? 2 ? ? x ? 4 x ( x ? [0,4]) 的值域是( A.[0,2] 8.若函数 f ( x) ? A. [ 1 ,3]
3

) D.[- 2 , 2 ] )

B.[1,2]

C.[-2,2]

3x ? 1 的值域是{ y | y ? 0} ? { y | y ? 4}, 则f ( x) 的定义域是( x ?1
B. [ 1 ,1) ? (1,3]
3

C. (??, 1 ]或[3,??)
3

D.[3,+∞ )

9.求下列函数的定义域:

1? x2 ①y? 2x 2 ? x ? 1
10.求下列函数的值域: ①y?

3x ? 5 ( x ? 1) 5x ? 3

②y=|x+5|+|x-6| ⑤y?
2

③ y ? 4? ? x ? x?2
2

④ y ? x ? 1 ? 2x

x x ? 2x ? 4
2

11.设函数 f ( x) ? x ? x ?

1 . 4

(Ⅰ)若定义域限制为[0,3],求 f (x) 的值域;

(Ⅱ)若定义域限制为 [a, a ? 1] 时, f (x) 的值域为 [? 二次函数

1 1 , ] ,求 a 的值. 2 16

1.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 2a( x, a ? R)的最小值为 m(a) ,当 m(a)有最大值时 a 的
2

值为( A.



4 3
2

B.

3 4
2

C.

8 9

D.

9 8
2 2

2. 已知 x1 , x2 是方程x ? (k ? 2) x ? (k ? 3k ? 5) ? 0 为实数) (k 的两个实数根, x1 ? x 2 则 的最大值为( A.19
2

) B.18 C. 5

5 9

D.不存在

3.设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,对任意实数 t 都有 f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) 成立,则函 数值 f (?1), f (1), f (2), f (5) 中,最小的一个不可能是( A.f(-1) B.f(1) C.f(2) ) D.f(5)

4.设二次函数 f(x),对 x∈R 有 f ( x) ? f ( ) =25,其图象与 x 轴交于两点,且这两点的横 坐标的立方和为 19,则 f(x)的解析式为 5.已知二次函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 1 在区间[-3,2]上的最大值为 4,则 a 的值为
2

1 2

6.一元二次方程 x 的取值范围是

2

? (a 2 ? 1) x ? a ? 2 ? 0 的一根比 1 大,另一根比-1 小,则实数 a
2

7.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a, b, c ?R)满足 f (?1) ? 0, f (1) ? 1, 且对任意实数 x 都有 f ( x) ? x ? 0, 求f ( x) 的解析式. 8.a>0,当 x ? [?1,1] 时,函数

f ( x) ? ? x 2 ? ax ? b 的最小值是-1,最大值是
2

1. 求

使函数取得最大值和最小值时相应的 x 的值. 9.已知 f ( x) ? ?4 x ? 4ax ? 4a ? a 在区间[0,1]上的最大值是-5,求 a 的值.
2

10.函数 y

? f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0时, f ( x) ? 2 x ? x 2 , f (x) 的解析式; (Ⅱ) 问是否存在这样的正数 a, 当 x ? [a, b]时, f ( x) b,

(Ⅰ) x<0 时 求

的值域为 [ , ] ?若存在,求出所有的 a,b 的值;若不存在,说明理由.
映射与函数、函数的解析式 1.D(提示:作出各选择支中的函数图象). 2.C(提示:由 ? 1 ? x ? 2 ? ?1 ? 3 ? 2x ? 5 ). 3.B(提

1 1 b a

示:由内到外求出).4.D(提示:考察每组中两个函数的对应法则与定义域).5.A 外到里,逐步求得 k). 2.2 函数的定义域和值域 1. {x |

7.

3 (提示:由 2

x ? 0,且x ? 1}

2. ( ? a,1 ?

a)

3.5;1

4.C

5.C

6. D

7.A(提示:? u

? ? x 2 ? 4 x ? ?( x ? 2) 2 ? 4,? 0 ? u ? 4 ,然后推得).

8. B

9.① x ? [?1,? 1 ] ? (? 1 ,1) 2 2 10.①

② (??,1] ? [2,3] ? [4,5 ) ③ x ? {x | x ? ?1且x ? ?2且x ? ? 3} 2

1 1 5 ,4] ④ y ? (??,1] ⑤ y ? [? , ] 6 2 2 1 11.? f ( x) ? ( x ? 1 ) 2 ? 1 ,∴对称轴为 x ? ? , 2 2 2 1 1 47 (Ⅰ)? 3 ? x ? 0 ? ? ,∴ f (x) 的值域为 [ f (0), f (3)] ,即 [? , ]; 2 4 4


3 y ? ( ,4) 5

y ? [11,??)

③ y ?[

(Ⅱ)? [ f ( x)] min ? ?

1 ,?对称轴 x ? ? 1 ? [a, a ? 1] , 2 2

1 ? ?a ? ? 2 3 1 , ∵区间 [a, a ? 1] 的中点为 x 0 ? ?? ?? ?a?? 2 2 ?a ? 1 ? ? 1 ? 2 ?

?a?

1 , 2

(1)当 a ? 1 ? ? 1 ,即 ? 1 ? a ? ? 1 时, [ f ( x)] ? f (a ? 1) ? 1 ,? (a ? 1) 2 ? (a ? 1) ? 1 ? 1 , max 2 2 2 16 4 16

3 9 ; ?16 a 2 ? 48a ? 27 ? 0 ? a ? ? (a ? ? 不合) 4 4
(2)当 a ? 1 ? ? 1 ,即 ? 3 ? a ? ?1时, [ f ( x)]
2 2 2
max

? f (a) ?

1 ; 1 1 5 1 不合) ? a 2 ? a ? ? ,?16 a 2 ? 16 a ? 5 ? 0 ? a ? ? (a ? 16 4 16 4 4

综上, a

3 5 ? ? 或a ? ? . 4 4
4. ? 4 x
2

2.8 .二次函数 1.C 2.B 3.B

? 4 x ? 24 ;
2 2

5.-3 或

3 ; 8

6.-2<a<0;

7.由 ? f (1) ? a ? b ? c ? 1 ? b ? 1 , a ? c ? 1 , ∵对 x ?R, ?
? f (?1) ? a ? b ? c ? 0

?a, c ? 0 1 ? a ? c ? 2 ac ? ac ? 1 ,? ac ? 1 且a ? c , ?a ? 0 ? 1 16 16 f ( x) ? x ? ax ? x ? c ? 0 ? ? ?? 1 2 2 ?? ? 0 ?ac ? 16 ?
2



f ( x) ?

1 2 1 1 ( x ? 1) 2 x ? x? ? 4 2 4 4

8.∵a>0,∴f(x)对称轴 x ? ? a ? 0,?[ f ( x)] min ? f (1) ? ?1 ? a ? b; 2 ①当 ? a ? ?1即a ? 2时, [ f ( x)] ? f (?1) ? 1 ? a ? 1, 不合; max
2

②当 ? 1 ? ? a ? 0,即0 ? a ? 2时, [ f ( x)]
2

max

a ∴ x ? ? a ? 1? 2 . ? f (? ) ? 1 ? a ? ?2 ? 2 2 , 2 2

综上,当 x ? 1时, [ f ( x)] min ? ?1;当x ? 1 ? 2时, [ f ( x)] max ? 1. 9.∵f(x)的对称轴为 x 0 ②当 a ③当 a

?

a , ①当 0 ? a ? 1,即0 ? a ? 2时[ f ( x)] 2 2

max

a 5 ? f ( ) ? ?5 ? a ? ; 2 4

? 0时[ f ( x)] max ? f (0) ? ?4a ? a 2 ? ?5, ? a ? ?5;

? 2时[ f ( x)] max ? f (1) ? ?4 ? a 2 ? ?5,? a ? ?1不合;

综上, a ? 5 或a ? ?5. 4 10. (Ⅰ)当 x

? 0时, f ( x) ? 2 x ? x 2 ;

(Ⅱ)∵当 x

? 0时, f ( x) ? ?( x ? 1) 2 ? 1 ? 1, 若存在这样

的正数 a,b,则当 x ? [a, b]时, [ f ∴ ? 1 ? f (b) ? ?b 2 ? 2b ?

( x)] max ?

1 ? 1 ? a ? 1, ∴f(x)在[a,b]内单调递减, a

?b ? ? 1 ? f ( a ) ? ? a 2 ? 2a ?a ?

? a, b 是方程 x 3 ? 2 x 2 ? 1 ? 0 的两正根,

? x 3 ? 2 x 2 ? 1 ? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 1) ? 0,? x1 ? 1, x 2 ?

1? 5 1? 5 ,? a ? 1, b ? . 2 2


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