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导数的概念及其运算


戴氏教育新都校区

高中数学

李德

导数的概念及其运算
【考纲要求】 1、导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景. (2)理解导数的几何意义. 2、导数的运算 (1)能根据导数定义,求函数 y=c,y=x,y=x2,y=x3, y ?

1 , y ? x (c 为常数)的导数. x

(2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简 单函数的导数, 能求简单的复 合函数(仅限于形如 f(ax+b)的复合函数)的导数. 3、常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式

f ?x ?

c
0

x? ( ? ? R )

sin x

cos x
? sin x

a x ( a ? 0且a ? 1 )

ex ex

log a x ( a ? 0且a ? 1 )

f ??x ?

?x? ?1
?

cos x

a x ln a

1 x ln a

ln x 1 x

4、常用的导数运算法则 (1) ? f ? x ? ? g ? x ?? ? f ?? x ? ? g ?? x ? ; (2) ? f ? x ? ? g ? x ?? ? f ?? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? g ?? x ? ;

?

? ? f ?x ?? f ??x ?? g ?x ? ? f ?x ?? g ??x ? (3) ? ( g ?x ? ? 0 ). ? ? ?g ?x??2 ? g ?x ? ?
【基础知识】 一、平均变化率 设函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处附近有定义,当自变量在 x ? x0 处有增量 ?x ( ?x ? R )时,则函数

y ? f ( x) 相应地有增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , ?y 与 ?x 的比

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 叫函数的平 ? ?x ?x

均变化率。它的几何意义是过曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )及点 ( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x) )的割线斜率。 二、瞬时变化率 如果 ?x ? 0 时,

?y 无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数 y ? f ( x) 在 x ? x 0 处的瞬 ?x

时变化率。它的几何意义是曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率。 三、导数 如果 ?x ? 0 时,

?y 无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数 y ? f ( x) 在 x ? x 0 处的瞬 ?x
x ? x0

时变化率, 又称为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数, 记作 y ?

i l , 即 f ?( x0 ) ? m

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , ?x

它的几何意义是曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率。 四、导数(导函数) 1、导数的定义 古之立大事者,不惟有超世之才,亦必有坚韧不拔之志。
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如果函数 y ? f ( x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数,此时对于每一个 x ? (a, b) ,都对应着一个 确定的导数 f ?( x) ,从而构成了一个新的函数 f ?( x) 。称这个函数 f ?( x) 为函数 y ? f ( x) 在开区间内的导 函数,简称导数,也可记作 y ? ,即 f ?( x) = y ? = lim 2、求函数 y ? f ( x) 的导数 f ?( x) 的一般步骤是: (1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ;

?x ?0

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ? x ? 0 ?x ?x

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ; ? ?x ?x ?y / (3)取极限,得导数 y = lim 。 ?x ? 0 ? x
(2)求平均变化率 3、导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率, 相应的切线 方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 )
王新敞
奎屯 新疆

五、求导的方法 1、利用常见八种函数的导数公式 ① C? ? 0 (C 为常数)
x ⑤ (log a )? ?

② ( x )? ? nx
n

n ?1

( n ? Q)

③ (sin x)? ? cos x
x x ⑦ (a )? ? a ln a

④ (cos x)? ? ? sin x
x x ⑧ (e )? ? e

1 log a e x
?

⑥ (ln x )? ?

1 x
?

2、利用导数的运算法则 ① ? f ? x ? ? g ? x ?? ? f ?? x ? ? g ?? x ? ② ? f ? x ? ? g ? x ?? ? f ?? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? g ?? x ?

? ? f ?x ?? f ??x ?? g ?x ? ? f ?x ?? g ??x ? ③? ( g ?x ? ? 0 ) ? ? ?g ?x??2 ? g ?x ? ?
3、利用复合函数的求导法则

王新敞
奎屯

新疆

设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 u x? ? ? ?( x ) , 函数 y ? f (u) 在点 x 处的对应点 u 处有导数 yu? ? f ?(u ) ,

? ? ? ? ? 则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处有导数,且 y? x ? yu ? u x ,或写作 f x (? ( x)) ? f (u )? ( x)
六、导数的实际背景

王新敞
奎屯

新疆

在物理学中,如果物体运动的规律是 s ? s (t ) ,那么该物体在时刻 t 0 的瞬时速度为 v ? s?(t0 ) 。

古之立大事者,不惟有超世之才,亦必有坚韧不拔之志。

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李德

【例题精讲】 例 1:求下列函数的导数: 1 4 (1)y= x5- x3+3x2+ 2; 5 3

(2)y=(3x3-4x)(2x+1);

(3)y=

x . 1-x+x2

b 例 2:设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)证明: 曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值, 并求此定值.

导数的概念及其运算强化训练
【基础精练】 1 3 1. 一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s= t3- t2+2t,那么速度为零的时刻是( ) 3 2 A. 0 秒 B. 1 秒末 C. 2 秒末 D. 1 秒末和 2 秒末 1 2. 已知 y= sin2x+sinx,则 y′是( ) 2 A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 3. 函数 y=f(x)的图象在点 x=5 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)+f ′(5)等于( ) 1 A. 1 B. 2 C. 0 D. 2 n+1 * 4. 设曲线 y=x (n∈N )在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,则 x1· x2·…·xn 等于( ) 1 1 n A. B. C. D. 1 n n+1 n+1 5. f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x)、g(x)满足 f′(x)=g′(x),则 f(x)与 g(x)满足( ) 古之立大事者,不惟有超世之才,亦必有坚韧不拔之志。
3

戴氏教育新都校区 高中数学 李德 A. f(x)=g(x) B. f(x)=g(x)=0 C. f(x)-g(x)为常数函数 D. f(x)+g(x)为常数函数 6. 若点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为( ) 2 A. 1 B. 2 C. D. 3 2 3 x 7. 设点 P 是曲线 y= -x2-3x-3 上的一个动点,则以 P 为切点的切线中,斜率取得最小值时的切线方 3 程是 . π π 8. 已知函数 f(x)=f ′( )cosx+sinx,则 f( )的值为 . 4 4 π π 9. 已知 f1(x)=sinx+cosx,记 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x) ,…,fn(x)=f ′n-1(x)(n∈N*,n≥2),则 f1( )+f2( )+… 2 2 π +f2009( )= . 2 10.已知曲线 y=x3+x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限. (1 )求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程.

11.已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线 的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; 1 (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 4

古之立大事者,不惟有超世之才,亦必有坚韧不拔之志。

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【拓展提高】 1. 设函数 f ( x) ? e x ? e? x , (1)证明: f ( x) 的导数 f ?( x)≥ 2 ;(2)若对所有 x≥0 都有 f ( x)≥ax ,求 a 的取值范围.

1 2.设函数 f(x)=ax+ (a,b∈Z),曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=3. x+b (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:函 数 y=f (x) 的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心; (3)证明: 曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围的三角形的面积为定值, 并求出此定值.

古之立大事者,不惟有超世之才,亦必有坚韧不拔之志。

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