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【数学】2.2.3 《用平面向量坐标表示向量共线条件》学案(人教B版必修4)


2.2.3

用平面向量坐标表示向量共线条件
自主学习

知识梳理 1.两向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)当 a∥b 时,有____________. (2)当 a∥b 且 x2y2≠0 时,有__________.即两向量的相应坐标成比例. → → 2.若P1P=λPP2,则 P 与 P1、P2 三点共线. 当 λ∈__________时,P 位于线段 P1P2 的内部,特别地 λ=1 时,P 为线段 P1P2 的中点; 当 λ∈________时,P 位于线段 P1P2 的延长线上; 当 λ∈________时,P 位于线段 P1P2 的反向延长线上. 自主探究 → → 设 P(x,y)为线段 P1P2 上的一点,P1(x1,y1),P2(x2,y2).当P1P=λPP2 (λ≠-1)时,求 P 点的坐标.

对点讲练 知识点一 平面向量共线的坐标运算 例 1 已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是 同向还是反向?

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回顾归纳 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断, 特别是 利用向量共线坐标的条件进行判断时,要注意坐标之间的搭配. → → 变式训练 1 已知 A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断AB与CD是否共线?如果共 线,它们的方向相同还是相反?

知识点二 平面向量的坐标运算 → → 已知点 A(3,-4)与点 B(-1,2),点 P 在直线 AB 上,且|AP|=2|PB|,求点 P 的

例2 坐标.

回顾归纳 在求有向线段分点坐标时, 不必过分强调公式记忆, 可以转化为向量问题后 解方程组求解,同时应注意分类讨论. → → 变式训练 2 已知点 A(1,-2),若向量AB与 a=(2,3)同向,|AB|=2 13,求点 B 的坐 标.

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知识点三 利用共线向量求直线的交点 例 3 在四边形 ABCD 中,已知 A(2,6)、B(6,4)、C(5,0)、D(1,0), 求直线 AC 与 BD 交点 P 的坐标.

回顾归纳 本例在充分理解向量共线的性质定理的基础上从不同的侧面给出了已知四 边形四个顶点坐标求对角线交点坐标的一般解法. 而且更为重要的是给我们提供了求直线与 直线交点的向量方案. → 变式训练 3 平面上有 A(-2,1),B(1,4),D(4,-3)三点,点 C 在直线 AB 上,且AC= 1→ → 1→ BC,连接 DC,点 E 在 CD 上,且CE= ED,求 E 点坐标. 2 4

1.两个向量共线条件的表示方法 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2) (1)当 b≠0,a=λb. (2)x1y2-x2y1=0. x1 y1 (3)当 x2y2≠0 时, = ,即两向量的相应坐标成比例. x2 y2 2.向量共线的坐标表示的应用 两向量共线的坐标表示的应用,可分为两个方面. (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识,可以证明三 点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.

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(2)已知两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨迹方程.要注意方程思 想的应用,向量共线的条件,向量相等的条件等都可作为列方程的依据. 课时作业 一、选择题 → → 1.已知三点 A(-1,1),B(0,2),C(2,0),若AB和CD是相反向量,则 D 点坐标是( A.(1,0) B.(-1,0) C.(1,-1) D.(-1,1) 2.若三点 P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线,则 x 的值为( A.-1 B.3 9 C. 2 D.5 )

)

3.已知向量 m=(-7,2+k),n=(k+13,-6),且 m∥n,则 k 的值等于( ) A.1 B.-2 C.-16 D.1 或-16 4.已知 A、B、C 三点在一条直线上,且 A(3,-6),B(-5,2),若 C 点的横坐标为 6, 则 C 点的纵坐标为( ) A.-13 B.9 C.-9 D.13 二、填空题 5. 设向量 a=(1,2), b=(2,3). 若向量 λa+b 与向量 c=(-4, -7)共线, 则 λ=________. → → → 6.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),如果 A、B、C 三点共线,则实数 k=________. 7.已知点 A(-1,-3),B(1,1),直线 AB 与直线 x+y-5=0 交于点 C,则点 C 的坐 标为________. 三、解答题 → → → 8.已知点 A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AP=AB+λAC(λ∈R),试求 λ 为何值时,点 P 在第三象限内?

→ → 9.线段 AB 的端点坐标分别为 A(-1,1),B(-2,0),且|AC|= 2|CB|,当 A、B、C 三 点共线时,求 C 点的坐标.

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2.2.3

用平面向量坐标表示向量共线条件 答案

知识梳理 x1 y1 1.(1)x1y2-x2y1=0 (2) = x2 y2 2.(0,+∞) (-∞,-1) (-1,0) 自主探究 → → → → → 解 OP=OP1+P1P=OP1+λPP2 → → → → → → =OP1+λ(OP2-OP)=OP1+λOP2-λOP → → 1 λ → OP1+λOP2 ∴OP= = (x ,y )+ (x ,y ) 1+λ 1+λ 1 1 1+λ 2 2 1 1 λ λ =?1+λx1,1+λy1?+?1+λx2,1+λy2?

?

? ?

?

=?

?x1+λx2,y1+λy2?. 1+λ ? ? 1+λ ? ?x1+λx2,y1+λy2?. 1+λ ? ? 1+λ ?

∴P?

对点讲练 例 1 解 方法一 ka+b=k(1,2)+(-3,2) =(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在惟一实数 λ, 使 ka+b=λ(a-3b). 由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
?k-3=10λ, ? ∴? ? ?2k+2=-4λ.

1 解得 k=λ=- . 3

1 当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行, 3 1 1 这时 ka+b=- a+b=- (a-3b), 3 3 1 ∵λ=- <0, 3 ∴ka+b 与 a-3b 反向. 方法二 由方法一知 ka+b=(k-3,2k+2), a-3b=(10,-4),∵ka+b 与 a-3b 平行, ∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,

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1 解得 k=- . 3 1 2 1 - -3,- +2?=- (a-3b), 此时 ka+b=? 3 ? ? 3 3 1 ∴当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向. 3 → 变式训练 1 解 AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3), → CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6). 方法一 ∵(-2)×(-6)-3×4=0,且(-2)×4<0, → → ∴AB与CD共线且方向相反. → → → → 方法二 ∵CD=-2AB,∴AB与CD共线且方向相反. 例2 解 设 P 点坐标为(x,y).

→ → → → → → ∵|AP|=2|PB|,∴AP=2PB或AP=-2PB. → → 当AP=2PB时,(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),

? ?x-3=-2-2x ?x= ? ∴? ,解得? 3 ? ?y+4=4-2y ? ?y=0
1 ? ∴P 点坐标为? ?3,0?. → → 当AP=-2PB时,

1



则(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y),
? ? ?x-3=2+2x ?x=-5 ∴? ,解得? . ?y+4=-4+2y ?y=8 ? ?

∴P 点坐标为(-5,8). 1 ? 综上,点 P 的坐标为? ?3,0?或(-5,8). → → 变式训练 2 解 设AB=(x,y),因AB与 a 同向, → ∴AB=λa (λ>0),即(x,y)=λ(2,3),
? ?x=2λ, → ∴? 又|AB|=2 13, ?y=3λ, ?

∴x2+y2=52.∴4λ2+9λ2=52,λ=2 (λ>0). → 即AB=(4,6).∴点 B 的坐标为(5,4).

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例3

→ 解 设 P(x,y),则DP=(x-1,y),

→ → DB=(5,4),CP=(x-5,y), → → CA=(-3,6),DC=(4,0). 由 B,P,D 三点共线可得 → → DP=λDB=(5λ,4λ) → → → 又∵CP=DP-DC=(5λ-4,4λ) → → 由于CP与CA共线得, (5λ-4)6+12λ=0. 4 解之得 λ= , 7 20 16? → 4→ ∴DP= DB=? ?7,7? 7 27 16? ∴P 的坐标为? ? 7 , 7 ?. → 1→ → → 变式训练 3 解 ∵AC= BC,∴2AC=BC, 2 → → → → ∴2AC+CA=BC+CA, → → ∴AC=BA,设 C 点坐标为(x,y). 则(x+2,y-1)=(-3,-3),∴x=-5,y=-2. → 1→ → → ∴C(-5,-2),∵CE= ED,∴4CE=ED, 4 → → → → → ∴4CE+4ED=5ED,∴4CD=5ED. ∴设 E 点坐标为(x′,y′), 则 4(9,-1)=5(4-x′,-3-y′).
?20-5x′=36 ? ∴? ,∴ ?-15-5y′=-4 ?

?x′=- 5 ? 11 ?y′=- 5

16 .

16 11? ∴E 点坐标为? ?- 5 ,- 5 ?. 课时作业 1.C 2.B 3.D 4.C 5.2 6.-2 或 11 7.(2,3) 8.解 设点 P 的坐标为(x,y), → 则AP=(x4,y)-(2,3)=(x-2,y-3),

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→ → AB+λAC=(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)] =(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ). → → → ∵AP=AB+λAC, ∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ).
? ?x-2=3+5λ, ∴? ?y-3=1+7λ, ? ? ?x=5+5λ, 则? ?y=4+7λ. ?

由点 P 在第三象限内,
?5+5λ<0, ? 得? ? ?4+7λ<0,

∴λ<-1.

∴当 λ<-1 时,点 P 在第三象限内. 9.(- 2-3,- 2-1)

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