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(浙江专版)2017-2018学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性教案 新人教A_图文

1.3.2 奇偶性
预习课本 P33~36,思考并完成以下问题 (1)偶函数与奇函数的定义分别是什么? (2)奇、偶函数的定义域有什么特点? (3)奇、偶函数的图象分别有什么特征?

[新知初探]

函数奇偶性的概念

偶函数

奇函数

条件 定
义 结论

对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有

f(-x)= f(x)

f(-x)= -f(x)

函数 f(x)叫做偶函数 函数 f(x)叫做奇函数

图象特征 图象关于 y 轴对称 图象关于原点对称

[点睛] 奇偶函数的定义域关于原点对称,反之,若定 义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.

[小试身手]

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)偶函数的图象一定与 y 轴相交.

(× )

(2)奇函数的图象一定通过原点.

(× )

(3)函数 f(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函数.

(× )

(4)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(-x)+f(x)=0. ( √ )

2.函数 y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是奇函数,则 a 等于 ( )

A.-1

B.0

C.1

D.无法确定

答案:C 3.下列函数是偶函数的是( )

A.y=x 答案:B

B.y=2x2-3

C.y=

1 x

D.y=x2,x∈[0,1]

4.已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,若 f(2)=4,则 f(-2)=

____________.

答案:4

判断函数的奇偶性
[例 1] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=2-|x|; (2)f(x)= x2-1+ 1-x2; (3)f(x)=x-x 1; (4)f(x)=?????x-+x1+,1x,>x0<,0.

[解] (1)∵函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称,又 f(-x) =2-|-x|=2-|x|=f(x),
∴f(x)为偶函数. (2)∵函数 f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且 f(x)=0, 又∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x), ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)∵函数 f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数.

(4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当 x>0 时,-x<0,
f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x); 当 x<0 时,-x>0, f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x). 综上可知,对于 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有 f(-x)=f(x), f(x)为偶函数.

判断函数奇偶性的方法 (1)定义法: 根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下: ①判断函数 f(x)的定义域是否关于原点对称.若不对称,则 函数 f(x)为非奇非偶函数,若对称,则进行下一步. ②验证.f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x). ③下结论.若 f(-x)=-f(x),则 f(x)为奇函数; 若 f(-x)=f(x),则 f(x)为偶函数; 若 f(-x)≠-f(x),且 f(-x)≠f(x),则 f(x)为非奇非偶函数.

(2)图象法: ①若 f(x)图象关于原点对称,则 f(x)是奇函数. ②若 f(x)图象关于 y 轴对称,则 f(x)是偶函数. ③若 f(x)图象既关于原点对称,又关于 y 轴对称,则 f(x)既是 奇函数,又是偶函数. ④若 f(x)的图象既不关于原点对称,又不关于 y 轴对称,则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)性质法: ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数; ②奇函数的和、差仍为奇函数; ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.

[活学活用]

1.判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=x2(x2+2);

(2)f(x)=|x+1|-|x-1|;

(3)f(x)=

1-x2 x.

解:(1)∵x∈R,关于原点对称,

又∵f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x),

∴f(x)为偶函数.

(2)∵x∈R,关于原点对称, 又∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1| =|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|) =-f(x), ∴f(x)为奇函数. (3)f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称, 又∵f(-x)= 1--?-x x?2=- 1-x x2=-f(x). ∴f(x)为奇函数.

利用函数的奇偶性求参数
[例 2] (1)若函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,定义域 为[a-1,2a],则 a=________,b=________;
(2)已知函数 f(x)=ax2+2x 是奇函数,则实数 a=________.

[解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称,所以 a-1

=-2a,解得 a=13.

又函数 f(x)=13x2+bx+b+1 为二次函数,结合偶函数图

象的特点,易得 b=0.

(2)由奇函数定义有 f(-x)+f(x)=0,得 a(-x)2+2(-x)+

ax2+2x=2ax2=0,故 a=0.

[答案]

1 (1)3

0

(2)0

利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数:奇偶函数 f(x)的定义域为[a,b],根 据定义域关于原点对称,利用 a+b=0 求参数. (2)解析式含参数:根据 f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)列 式,比较系数利用待定系数法求解.

[活学活用] 2.设函数 f(x)=?x+1?x?x+a?为奇函数,则 a=________.
解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 即?-x+1-??x-x+a?=-?x+1?x?x+a?. 显然 x≠0,整理得 x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a, 故 a+1=0,得 a=-1. 答案:-1

利用函数的奇偶性求解析式
[例 3] 若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x) =x2-2x+3,求 f(x)的解析式.
[解] 当 x<0 时,-x>0, f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,由于 f(x)是奇函 数,故 f(x)=-f(-x),所以 f(x)=-x2-2x-3. 即当 x<0 时,f(x)=-x2-2x-3.
??x2-2x+3,x>0, 故 f(x)=?0,x=0,
??-x2-2x-3,x<0.

[一题多变] 1.[变设问]本例条件不变,求 f(-2)的值.
解:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(-2)=-f(2)=-(22-2×2+3)=-3. 2.[变条件]若把本例中的奇函数改为偶函数,其他条件不变,求
当 x<0 时,f(x)的解析式. 解:当 x<0 时,-x>0, f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(-x),所以 f(x)=x2+2x+3, 即当 x<0 时,f(x)=x2+2x+3.

利用函数奇偶性求函数解析式 3 个步骤 (1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x 就应在 哪个区间上设; (2)转化到已知区间上,代入已知的解析式; (3)利用 f(x)的奇偶性写出-f(x)或 f(-x),从而解出 f(x).

函数单调性与奇偶性的综合

题点一:比较大小问题

1.已知偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递减,则 f(1)和 f(-10)的大

小关系为

()

A.f(1)>f(-10)

B.f(1)<f(-10)

C.f(1)=f(-10)

D.f(1)和 f(-10)关系不定

解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-10)=f(10).又 f(x)在[0,+∞)

上单调递减,且 1<10,∴f(1)>f(10),即 f(1)>f(-10).

答案: A

题点二:区间内的最值问题

2.若奇函数 f(x)在区间[2,5]上的最小值是 6,那么 f(x)在区间[-5,

-2]上有

()

A.最小值 6

B.最小值-6

C.最大值-6

D.最大值 6

解:因为奇函数 f(x)在[2,5]上有最小值 6,所以可设 a∈[2,5],有 f(a)=6.由奇函数的性质,f(x)在[-5,-2]上必有最大值,且最 大值为 f(-a)=-f(a)=-6.
答案: C

题点三:解不等式问题

3.设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上是减函数,若 f(1 -m)<f(m),求实数 m 的取值范围.

解析:因为 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是减函数,所以 f(x)在[-

2,2]上是减函数.

所以不等式 f(1-m)<f(m)等价于

???-1-2m≤>m≤m,2, ??-2≤1-m≤2,

解得-1≤m<12.

所以实数 m 的取值范围为???-1,12

?
?.
?



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