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2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第二十三讲 平面向量的概念及线性运算

第二十三讲 平面向量的概念及线性运算
一?选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)

?????
1.(2010?四川)设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC | AB ? AC |?| AB ? AC |, 则| AM |=() A.8B.4 C.2D.1 解析:由 | AB ? AC |?| AB ? AC | 可知, AB ⊥ AC , 则 AM 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线,因 此,| AM |? 答案:C 2.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2 DB, CD ? r AB ? s AC , 则 r+s 的值是()
2

=16,

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????

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? 1 ??? | BC |? 2, 选 C. 2
??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ????

4 C.-3 3 ??? ? ??? ? 解析:∵ CD ? 2DB A. B.
∴ CD ?

2 3

D.0

? ? 2 ??? 2 ??? ???? CB ? ( AB ? AC ) 3 3 ? ??? ? ???? ??? 2 ??? 2 ???? ??? ? ? ∴ CD ? AB ? AC , 又 CD ? r AB ? s AC , 3 3 2 2 ∴r= , s ? ? ,∴r+s=0.故选 D. 3 3
答案:D 3.平面向量 a,b 共线的充要条件是() A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为 0 C.存在 λ ∈R,使 b=λ a D.存在不全为零的实数 λ 1,λ 2,使 λ 1a+λ 2b=0 解析:a,b 共线时,a,b 方向相同或相反,故 A 错.a,b 共线时,a,b 不一定是零向量,故 B 错.当 b=λ a 时,a,b 一定共线,若 b≠0,a=0.则 b=λ a 不成立,故 C 错.排除 A、B、C,故选 D.

??? ?

答案:D

4.已知 O?A?B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC ? CB ? 0, 则 OC 等于(

???? ??? ?

????

)

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? A.2OA ? OB B. ? OA ? 2OB ? ? ? ? 2 ??? 1 ??? 1 ??? 2 ??? C. OA ? OB D. ? OA ? OB 3 3 3 3 ???? ??? ??? ??? ? ? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ??? ? ? 解析: OC ? OB ? BC ? OB ? 2 AC ? OB ? 2(OC ? OA), ∴ OC ? 2OA ? OB, 故选 A.
答案:A 5.设 D?E?F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 DC ? 2 BD, CE ? 2 EA, AF ? 2 FB, 则

????

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

???? ??? ??? ??? ? ? ? AD ? BE ? CF 与 BC ()
A.反向平行 C.不平行 B.同向平行 D.无法判断

???? ??? ??? ??? 1 ??? ??? ??? ??? ??? 2 ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? AD ? AB ? BD ? AB ? BC , BE ? BC ? CE ? BC ? CA, 3 3 解析: ??? ??? ??? ??? 2 ??? ? ? ? ? ? CF ? CA ? AF ? CA ? AB, 3 ???? ??? ??? 5 ??? 5 ??? 4 ??? ? ? ? ? ? AD ? BE ? CF ? AB ? CA ? BC 3 3 3 ∴ 故选 A. ? ? ? ? ? ? 5 ??? ??? 4 ??? 5 ??? 4 ??? 1 ??? ? ( AB ? CA) ? BC ? CB ? BC ? ? BC. 3 3 3 3 3
答案:A 6.已知 a,b 是不共线的向量, AB =λ a+b, AC =a+μ b,(λ ,μ ∈R),那么 A、B、C 三点共线的充要条 件为() A.λ +μ =2 B.λ -μ =1 C.λ μ =-1 D.λ μ =1

??? ?

????

解析:对充要条件的问题,要注意从充分性和必要性两个方面进行分析论证.由 A、B、C 三点共线 ? AB ∥ AC?? AB ? mAC ?λ a+b=ma+mμ b?(λ -m)a=(mμ -1)b.

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??? ?

??? ?

??? ?

因为 a,b 不共线, 所以必有 ?

?? ? m , 故可得 λ μ =1. ? m? ? 1 ? 0

反之,若 λ μ =1,则 μ = 线. 故选 D. 答案:D

1

?

???? ? ? 1 1 1 ??? ??? ???? (λ a+b)= AB, ? AB ∥ AC , 所以 A、 C 三点共 B、 . 所以 AC ? a ? b ?

?

?

?

二?填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 | OB ? OC |?| OB ? OC ? 2OA | ,则△ABC 的形状为 ________.

??? ???? ?

??? ???? ?

??? ?

??? ???? ??? ??? ??? ???? ??? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ? ? ? OB ? OC ? 2OA ? OB ? OA ? OC ? OA ? AB ? AC , OB ? OC 解析: ??? ??? ???? ? ? ? CB ? AB ? AC ,
∴ | AB ? AC |?| AB ? AC |, 故 A?B?C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. 答案:直角三角形 8.在平行四边形 ABCD 中,E?F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若 AC =λ AE +u AF , 其中 λ ,u∈R,则 λ +u=________. 解析:设 BC ? b, BA ? a, 则 AF ? 答案:

??? ???? ?

??? ???? ?

????

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? 1 1 ???? 2 4 b ? a, AE ? b ? a, AC =b-a,代入条件得 λ =u= ,∴λ +u= . 3 3 2 2

4 3

9.如图,平面内有三个向量 OA ? OB ? OC , 其中 OA 与 OB 的夹角为 120°, OA 与 OC 的夹角为 30°, 且| OA |=| OB |=1,| OC |= 2 3 ,若 OC =λ OA ? μ OB (λ ,μ ∈R),则 λ +μ 的值为________.

??? ??? ???? ? ? ????

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

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??? ?

解析:过 C 作 OA 与 OB 的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由

??? ?

??? ?

∠BOC=90°,∠AOC=30°,| OC |? 2 3 ,得平行四边形的边长为 2 和 4,故 λ +μ =2+4=6. 答案:6 10.如图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N,若

????

??? ? ???? ???? ? ???? AB ? mAM , AC ? nAN , 则 m+n 的值为________.

解析:由于 MN 的任意性可用特殊位置法:当 MN 与 BC 重合时知 m=1,n=1,故 m+n=2. 答案:2 三?解答题:(本大题共 3 小题,11?12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 1 11.若 a,b 是两个不共线的非零向量,t∈R,若 a,b 起点相同,t 为何值时,a,tb, (a+b)三向量 3 的终点在一条直线上? 1 解:设 a-tb=m[a- (a+b)],m∈R, 3 2 m ? 化简得?3m-1?a=? 3 -t?b, ? ? ? ∵a 与 b 不共线, 2 3 m-1=0 m= , 3 2 ∴ ? m 1 -t=0 t= . 3 2 1 1 ∴t= 时,a,tb, (a+b)的终点在一条直线上. 2 3

? ? ?

? ? ?

12.设 a、b 是不共线的两个非零向量, (1)若 OA ? 2a ? b, OB ? 3a ? b, OC =a-3b,求证:A、B、C 三点共线; (2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值. 解:(1)证明:∵ AB ? (3a+b)-(2a-b)=a+2b.

??? ?

??? ?

????

??? ?

而 BC =(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2 AB, ∴ AB 与 BC 共线,且有公共端点 B, ∴A、B、C 三点共线. (2)∵8a+kb 与 ka+2b 共线, 存在实数 λ 使得 8a+kb=λ (ka+2b)?(8-λ k)a+(k-2λ )b=0, ∵a 与 b 是不共线的两个非零向量,
?8-λk=0, ? ∴? ?8=2λ2?λ=± 2, ?k-2λ=0, ? ∴k=2λ=± 4.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

13.如图所示,△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在 AC 边上,且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求 AP?PM 的值.

解:设 BM =e1, CN ? e2,则 AM ? AC ? CM =-3e2-e1, BN ? 2e1+e2, ∵A?P?M 和 B?P?N 分别共线,∴存在 λ ?μ ∈R,使 AP =λ AM =-λ e1-3λ e2, BP =μ BN =2μ e1+μ e2. 故 BA ? BP ? AP =(λ +2μ )e1+(3λ +μ )e2, 而 BA ? BC ? CA ? 2e1+3e2,
?λ+2μ=2 ? ∴由平面向量基本定理得? ,∴ ? ?3λ+μ=3

???? ?

????

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??? ???? ? ?

????

??? ?

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????

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

?λ=5 ? 3 ?μ=5
4



∴ AP ?

??? ?

? 4 ???? AM , 即 AP:PM=4:1. 5



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