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2018届高三数学二轮复习第一篇专题突破专题五立体几何第3讲空间向量与立体几何课件理4_图文

第3讲 空间向量与立体几何 考情分析 总纲目录 考点一 考点二 考点三 向量法证明平行与垂直 利用空间向量求空间角(高频考点) 立体几何中的探索性问题 考点一 向量法证明平行与垂直 设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α、β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3 ,b3,c3). (1)线面平行 l∥α?a⊥μ?a· μ=0?a1a2+b1b2+c1c2=0. (2)线面垂直 l⊥α?a∥μ?a=kμ?a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(k≠0). (3)面面平行 α∥β?μ∥v?μ=λv?a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3(λ≠0). (4)面面垂直 α⊥β?μ⊥v?μ· v=0?a2a3+b2b3+c2c3=0. 典型例题 如图所示,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E,F 分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2. (1)求证:EF∥平面PAB; (2)求证:平面PAD⊥平面PDC. ? 证明 以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间 直角坐标系如图所示,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1), ? ? ? 1? ? ? 1 ?1 1? ? ? ? AD =(0,2,0),? EF =? AP =(0,0,1),? DC =(1,0, 所以E? ? ,1, ? ,F? ? 0,1, ? ,? ? ? ,0,0 ? ,? 2 2 2? ? ? ? ? 2 ? ? 0),? AB =(1,0,0). ? ? 1 ? EF =-? AB ,所以? EF ∥? AB , (1)因为? ? 2 ? 即EF∥AB. 又AB?平面PAB,EF?平面PAB, 所以EF∥平面PAB. AP · (2)因为? ? (1,0,0)=0, DC =(0,0,1)· AD · DC =(0,2,0)· ? ? (1,0,0)=0, AD ⊥? AP ⊥? DC ,? DC , 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? 即AP⊥DC,AD⊥DC. 又因为AP∩AD=A,AP?平面PAD,AD?平面PAD, 所以DC⊥平面PAD.因为DC?平面PDC, 所以平面PAD⊥平面PDC. 方法归纳 向量法证明平行与垂直的四个步骤 (1)建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用已知的垂直关系; (2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所 涉及的点、直线、平面; (3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量,再研究平行、垂直关 系; (4)根据运算结果解释相关问题. 跟踪集训 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上, 且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证: (1)B1D⊥平面ABD; (2)平面EGF∥平面ABD. ? 证明 (1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立 空间直角坐标系,如图所示, 则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),C1(0,2,4), 设BA=a(a>0),则A(a,0,0), BA =(a,0,0),? 所以? BD =(0,2,2),? B1D =(0,2,-2), BA =0,? BD B1D · B1D · 所以? ? ? =0+4-4=0, ? ? ? ? ? ? ? 即B1D⊥BA,B1D⊥BD. 又BA∩BD=B,BA,BD?平面ABD, 因此B1D⊥平面ABD. (2)由(1),知E(0,0,3),G? ? ,1, 4 ? ,F(0,1,4), ?a ? ? EF =(0,1,1), 则? EG =? ? ,1,1? ,? 2 ? ? ? ? ?a ?2 ? ? 所以? ? ? =0+2-2=0, EF B1D · B1D · EG =0+2-2=0,? 即B1D⊥EG,B1D⊥EF. 又EG∩EF=E,EG,EF?平面EGF, 因此B1D⊥平面EGF. ? ? ? 结合(1)可知平面EGF∥平面ABD. 考点二 利用空间向量求空间角(高频考点) 命题点 1.利用空间向量求线线角、线面角、二面角. 2.由空间角的大小求参数值或线段长. 1.向量法求异面直线所成的角 若异面直线a,b的方向向量分别为a,b,所成的角为θ,则cos θ=|cos<a,b>|= | a ?b | ? . | a || b | 2.向量法求线面所成的角 求出平面的法向量n,直线的方向向量a,设线面所成的角为θ,则sin θ=|cos <n,a>|=? | n?a | . | n || a | 3.向量法求二面角 求出二面角α-l-β的两个半平面α与β的法向量n1,n2,若二面角α-l-β所成的 1 角θ为锐角,则cos θ=|cos<n1,n2>|=? | n ? n2 | ; | n1 || n2 | | n ? n2 | . | n1 || n2 | 1 若二面角α-l-β所成的角θ为钝角,则cos θ=-|cos<n1,n2>|=-? 典型例题 (2017课标全国Ⅱ,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角 1 形且垂直于底面ABCD,AB=BC=? AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点. 2 (1)证明:直线CE∥平面PAB; (2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-ABD的余弦值. 解析 (1)取PA的中点F,连接EF,BF. 因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF=? AD. 1 由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,又BC=? AD,所以EF BC,四边形 2 1 2 BCEF是平行四边形,CE∥BF,又BF?


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