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2017_2018版高中数学第三章概率3.3.1几何概型学案新人教A版必修3

3.3.1 几何概型 1.理解几何概型的定义及特点.(重点) 2.掌握几何概型的计算方法和求解步骤,准确地把实际问题转化为几何概型问题.(难 点) 3.与长度、角度有关的几何概型问题.(易混点) [基础·初探] 教材整理 1 几何概型 阅读教材 P135~P136 例 1 以上的部分,完成下列问题. 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例, 则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.几何概型的概率公式 P(A)= 构成事件A的区域长度?面积或体积? . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关.( (2)在射击中,运动员击中靶心的概率在(0,1)内.( (3)几何概型的基本事件有无数多个.( 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ ) ) ) 2.如图所示,有四个游戏盘,将它们水平放稳后,向上面扔一颗小玻璃球,若小球落 在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是 ( ) 3 1 1 1 【解析】 A 中奖概率为 ,B 中奖概率为 ,C 中奖概率为 ,D 中奖概率为 ,故选 A. 8 4 3 3 【答案】 A 3.在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则|x|≤1 的概率为________. 【解析】 ∵区间[-1,2]的长度为 3,由|x|≤1 得 x∈[-1,1],而区间[-1,1]的长 2 度为 2,x 取每个值为随机的,∴在[-1,2]上取一个数 x,|x|≤1 的概率 P= . 3 【答案】 2 3 教材整理 2 均匀分布 阅读教材 P136 例 1 及以下的部分,完成下列问题. 当 X 为区间[a, b]上的任意实数, 并且是等可能的, 我们称 X 服从[a, b]上的均匀分布, X 为[a,b]上的均匀随机数. X 服从[3,40]上的均匀分布,则 X 的值不能等于( A.15 C.35 B.25 D.45 ) 【解析】 由于 X∈[3,40],则 3≤X≤40,则 X≠45.故选 D. 【答案】 D [小组合作型] 与长度有关的几何概型 某汽车站每隔 15 min 有一辆汽车到达,乘客到达车站的时刻是任意的,求一 位乘客到达车站后等车时间超过 10 min 的概率. 【精彩点拨】 乘客在上一辆车发车后的 5 min 之内到达车站, 等车时间会超过 10 min. 【尝试解答】 设上一辆车于时刻 T1 到达,而下一辆车于时刻 T2 到达,则线段 T1T2 的 长度为 15,设 T 是线段 T1T2 上的点,且 T1T=5,T2T=10,如图所示. 记“等车时间超过 10 min”为事件 A,则当乘客到达车站的时刻 t 落在线段 T1T 上(不 含端点)时,事件 A 发生. ∴P(A)= T1T的长度 5 1 = = , T1T2的长度 15 3 1 即该乘客等车时间超过 10 min 的概率是 . 3 在求解与长度有关的几何概型时,首先找到试验的全部结果构成的区域 D,这时区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段, 然后找到事件 A 发生对应的区域 d, 在找 d 的过程中, 确定边界点是问题的关键,但边界点是否取到却不影响事件 A 的概率. [再练一题] 1.一个路口的红灯亮的时间为 30 秒,黄灯亮的时间为 5 秒,绿灯亮的时间为 40 秒, 当你到达路口时,看见下列三种情况的概率各是多少? (1)红灯亮; (2)黄灯亮; (3)不是红灯亮. 【解】 在 75 秒内,每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的,属于几何概型. 红灯亮的时间 30 2 (1)P= = = . 全部时间 30+40+5 5 黄灯亮的时间 5 1 (2)P= = = . 全部时间 75 15 不是红灯亮的时间 (3)P= 全部时间 = 黄灯亮或绿灯亮的时间 45 3 = = , 全部时间 75 5 2 3 或 P=1-P(红灯亮)=1- = . 5 5 与面积有关的几何概型 设有一个等边三角形网格,其中每个最小等边三角形的边长都是 4 3 cm,现 用直径等于 2 cm 的硬币投掷到此网格上,求硬币落下后与格线没有公共点的概率. 【精彩点拨】 当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径 1,硬币落下后与格线没有 公共点,在等边三角形内作与正三角形三边距离为 1 的直线,构成小等边三角形,当硬币中 心在小等边三角形内时, 硬币与三边都没有公共点, 所以硬币与格线没有公共点就转化为硬 币中心落在小等边三角形内的问题. 【尝试解答】 设 A={硬币落下后与格线没有公共点},如图所示,在等边三角形内作 小等边三角形, 使其三边与原等边三角形三边距离都为 1, 则等边三角形的边长为 4 3-2 3 =2 3,由几何概率公式得: 3 2 ?2 3? 4 1 P(A)= = . 4 3 2 ?4 3? 4 几何概型的特点是基本事件有无限多个, 但应用数形结合的方法即可巧妙解决, 即要构 造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何量度来求随机事件的概率. [再练一题] 2.如图 3?3?1,一个等腰直角三角形的直角边长为 2,分别以三个顶点为圆心,1 为半 径在三角形内作圆弧,三段圆弧与斜边围成区域 M(图中白色部分).若在此三角形内随机取 一点 P,则点 P 落在区域 M 内的概率为________. 图 3?3?1 【解析】 由题意知题图中的阴影部分的面积相当于半径为 1 的半圆面积, 即阴影部分 π 2- 2 π π 面积为 , 又易知直角三角形的面积为 2, 所以区域 M 的面积为 2- .故所求概率为 = 2 2 2 π 1- . 4 π 【答案】 1- 4 与体积有关的几何概型 一只


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