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【优化方案】2016年高中数学 第二章 统计 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案 新人教A版必修3


2.2.2

用样本的数字特征估计总体的数字特征

1.问题导航 (1)什么是众数、中位数、平均数、方差、标准差? (2)如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数? (3)方差与标准差的联系与区别是什么? 2.例题导读 通过对例 1 的学习,理解标准差的意义; 通过对例 2 的学习,学会在实际生活中,如何用平均数与标准差来进行估计.

1.众数、中位数、平均数 (1)众数、中位数、平均数的概念 ①众数:在一组数据中,出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)叫 这组数据的众数. 若有两个或两个以上的数据出现得最多,且出现的次数一样,则这些数据都叫众数;若 一组数据中每个数据出现的次数一样多,则没有众数. ②中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或中间两个数据 的平均数)叫这组数据的中位数. ③平均数:指样本数据的算术平均数. 1 即 x = (x1+x2+?+xn).

n

(2)众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 众数 众数是最高矩形的中点所对应的数据,表示 样本数据的中心值 ①在频率分布直方图中,中位数左边和右边 的直方图面积相等,由此可以估计中位数的 值,但是有偏差; ②表示样本数据所占频率的等分线 ①平均数等于每个小长方形的面积乘以小长 方形底边中点的横坐标之和;②平均数是频 率分布直方图的重心,是频率分布直方图的 平衡点

中位数

平均数

2.标准差与方差 (1)标准差:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示,计算时通常用 公式

-1-

s=

1 2 2 2 [(x1- x ) +(x2- x ) +?+(xn- x ) ].

n

显然,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小. 1 2 2 2 2 (2)方差: 标准差 s 的平方 s , 即 s = [(x1- x ) +?+(xn- x ) ]叫做这组数据的方差,

n

同标准差一样,方差也是用来测量样本数据的分散程度的特征数.

1.判断下列各题.(对的打“√”,错的打“×”) (1)数据 5,4,4,3,5,2 的众数为 4;( ) (2)数据 2,3,4,5 的标准差是数据 4,6,8,10 的标准差的一半;( ) (3)方差与标准差具有相同的单位;( ) (4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数, 则这组数的平均数改变, 方差不变. ( ) 解析:(1)中的众数应为 4 和 5;(2)正确;(3)二者单位不一致;(4)正确,平均数也应减 去该常数,方差不变. 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.已知一组数据为 20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大 小关系是( ) A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数 C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数 解析:选 D.平均数、中位数、众数皆为 50,故选 D. 3.已知五个数据 3,5,7,4,6,则该样本的标准差为________. 1 解析:∵x= ×(3+5+7+4+6)=5, 5 ∴s= 1 2 2 ×[(3-5) +?+(6-5) ]= 2. 5

答案: 2 4.标准差、方差的意义是什么? 解:标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的 离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.

1.样本众数通常用来表示分类变量的中心值,容易计算,但是它只能表达样本数据中的 很少一部分信息,通常用于描述分类变量的中心位置. 2.中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或排序靠后的数据)的影响,容易计算,它 仅利用了数据中排在中间数据的信息.当样本数据质量比较差,即存在一些错误数据(如数据 的录入错误、测量错误等)时,应该用抗极端数据强的中位数表示数据的中心值,可以利用计 算机模拟样本,向学生展示错误数据对样本中位数的影响程度. 3.平均数受样本中的每一个数据的影响, “越离群”的数据,对平均数的影响也越大.与 众数和中位数相比,平均数代表了数据更多的信息.当样本数据质量比较差时,使用平均数 描述数据的中心位置可能与实际情况产生较大的误差.可以利用计算机模拟样本,向学生展 示错误数据对样本平均数的影响程度. 在体育、 文艺等各种比赛的评分中, 使用的是平均数. 计

-2-

分过程中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是为了防止个别裁判的人为 因素而给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量保证公平 性. 4.如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多较大的极端值;反之,说明数 据中存在许多较小的极端值.在实际应用中,如果同时知道样本中位数和样本平均数,可以 使我们了解样本数据中极端数据的信息,帮助我们作出决策. 5.使用者常根据自己的利益去选取使用中位数或平均数来描述数据的中心位置,从而产 生一些误导作用.

-3-

中位数、平均数的综合应用 下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表: 老板 大厨 二厨 采购员 杂工 3 000 元 450 元 350 元 400 元 320 元

服务生 320 元

会计 410 元

(1)计算所有人员的周平均收入; (2)这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗?为什么? (3)去掉老板的收入后,再计算平均收入,这能代表打工人员的周收入的水平吗? [解] (1)周平均收入

x 1= (3 000+450+350+400+320+320+410)
=750(元). (2)这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平,可以看出打工人员的收入都低于平均 收入,因为老板收入特别高,这是一个异常值,对平均收入产生了较大的影响,并且他不是 打工人员. 1 (3) 去 掉 老 板 的 收 入 后 的 周 平 均 收 入 x 2 = (450 + 350 + 400 + 320 + 320 + 410) = 6 375(元),这能代表打工人员的周收入水平. 方法归纳 平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响大;中位数 是样本数据所占频率的等分线,不受几个极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点, 无法客观反映总体特征.

1 7

1.(1)10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16, 14,12,设其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 解析:选 D.总和为 147,a=14.7;样本数据 17 分布最广,即频率最大,为众数,c=17; 从小到大排列,中间一位,或中间二位的平均数,即 b=15. (2)某校甲班、乙班各有 49 名学生,两班在一次数学测验中的成绩(满分 100 分)统计如 下表: 班级 甲班 平均分 79 众数 70 中位数 87 标准差 19.8
-4-

乙班

79

70

79

5.2

①请你对下面的一段话给予简要分析: 甲班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测验,全班平均分是 79 分,得 70 分的人最多, 我得了 85 分,在班里算是上游了!” ②请你根据表中数据,对这两个班的测验情况进行简要分析,并提出教学建议. 解:①由中位数可知,85 分排在第 25 名之后,从名次上讲,85 分不算是上游.但也不 能单以名次来判断学习成绩的好坏,小刚得了 85 分,说明他对这阶段的学习内容掌握较好. ②甲班学生成绩的中位数为 87 分,说明高于或等于 87 分的学生占一半以上,而平均分 为 79 分,标准差很大,说明低分也多,两极分化严重,建议对学习有困难的同学多给一些帮 助;乙班学生成绩的中位数是 79,平均数为 79,说明平均水平与甲班相同,而标准差较小说 明乙班分数大多数都集中在 79 分左右,高分人数和低分人数都较少,建议培养高分学生,提 高平均水平.

用频率分布表或直方图求数字特征 已知一组数据: 125 121 123 125 127 129 125 128 126 124 125 127 126 122 124 125 (1)填写下面的频率分布表: 分组 [120.5,122.5) [122.5,124.5) [124.5,126.5) [126.5,128.5) [128.5,130.5] 合计 (2)作出频率分布直方图; (3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. (链接教材 P76 例 1) [解] (1) 分组 [120.5,122.5) [122.5,124.5) [124.5,126.5) [126.5,128.5) [128.5,130.5] 合计 (2)频率分布直方图如图: 频数 2 3 8 4 3 20 频率 0.1 0.15 0.4 0.2 0.15 1

130 129 126 128 频数 频率

-5-

(3)在[124.5,126.5)中的数据最多,取这个区间的中点值作为众数的近似值,得众数为 125.5,事实上,众数的精确值为 125. 又∵前两个小矩形的频率和为 0.25. ∴设第三个小矩形底边的一部分长为 x. 则 x×0.2=0.25,得 x=1.25. ∴中位数为 124.5+1.25=125.75. 事实上中位数为 125.5. 使用“组中值”求平均数: x = 121.5 × 0.1 +123.5×0.15+ 125.5×0.4+127.5×0.2+129.5×0.15=125.8,平均数的精确值为 x =125.75. 方法归纳 利用频率分布直方图求数字特征: ①众数是最高的矩形的底边的中点. ②中位数左右两侧直方图的面积相等. ③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标. ④利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值,往往与实际数据得出的不一致.但 它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.

2.(1)(2015·福建检测)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生 参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为 me,众数为 m0,平均值 为 x,则( )

A.me=m0= x C.me<m0< x

B.me=m0< x D.m0<me< x

5+6 解析:选 D.由题意得 m0=5,me= =5.5, x = 2 2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10 30 = 179 ,显然 x>me>m0,故选 D. 30

(2)某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图 所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30、 0.40、0.15、0.10、0.05.

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求:①高一参赛学生的成绩的众数、中位数; ②高一参赛学生的平均成绩. 解:①用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值,得众数为 65,又∵第一个小矩形的面积为 0.3,∴设第二个小矩形底边的一部分长为 x, 则 x×0.04=0.2,得 x=5,∴中位数为 60+5=65. ②依题意,平均成绩为 55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67, ∴平均成绩约为 67 分.

标准差、方差的应用 甲、乙两机床同时加工直径为 100 mm 的零件,为检验质量,各从中抽取 6 件测量, 数据为: 甲:99 100 98 100 100 103 乙:99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. (链接教材 P77 例 2) 1 [解] (1) x 甲= (99+100+98+100+100+103) 6 =100, 1 6

x 乙= (99+100+102+99+100+100)=100.
2 2 2 2 2 s2 甲 = [(99 - 100) + (100 - 100) + (98 - 100) + (100 - 100) + (100 - 100) + (103 -

1 6

7 2 100) ]= , 3
2 2 2 2 2 s2 乙 = [(99 - 100) + (100 - 100) + (102 - 100) + (99 - 100) + (100 - 100) + (100 -

1 6

100) ]=1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同, 2 2 又 s甲>s乙, 所以乙机床加工零件的质量更稳定. [互动探究] 在本例中,若甲机床所加工的 6 个零件的数据全都加 10,那么所得新数据 的平均数及方差分别是多少? 解:甲的数据为 99+10,100+10,98+10,100+10,100+10,103+10,平均数为 100 +10=110,

2

-7-

1 2 2 2 2 2 方差仍为 [(109-110) +(110-110) +(108-110) +(110-110) +(110-110) +(113 6 7 2 -110) ]= . 3 方法归纳 在实际应用中,常常把平均数与标准差结合起来进行决策,在平均值相等的情况下,比 较方差或标准差以确定稳定性.

3.(2014·高考陕西卷)某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 x1,x2,?,x10,其均值 - 2 和方差分别为 x 和 s ,若从下月起每位员工的月工资增加 100 元,则这 10 位员工下月工资的 均值和方差分别为( - 2 2 A. x ,s +100 ) - 2 2 B. x +100,s +100

- 2 - 2 C. x ,s D. x +100,s 解析:选 D.

x1+x2+?+x10 - - = x ,yi=xi+100,所以 y1,y2,?,y10 的均值为 x +100,
10

方差不变,故选 D.

数学思想

分类讨论思想在解决统计问题 中的应用

某班 4 个小组的人数为 10,10,x,8,已知这组数据的中位数与平均数相等, 求这组数据的中位数. 1 [解] 该组数据的平均数为 (x+28),中位数一定是其中两个数的平均数,由于 x 不知 4 是多少,所以要分几种情况讨论. 1 (1)当 x≤8 时,原数据按从小到大的顺序排列为 x,8,10,10,其中位数为 ×(10+8) 2 1 =9.若 (x+28)=9,则 x=8,此时中位数为 9. 4 1 (2)当 8<x≤10 时, 原数据按从小到大的顺序排列为 8, x, 10, 10, 其中位数为 (x+10). 若 2 1 1 (x+28)= (x+10),则 x=8,而 8 不在 8<x≤10 的范围内,所以舍去. 4 2 1 (3)当 x>10 时,原数据按从小到大的顺序排列为 8,10,10,x,其中位数为 ×(10+10) 2 1 =10.若 (x+28)=10,则 x=12,此时中位数为 10. 4 综上所述,这组数据的中位数为 9 或 10. [感悟提高] 在解决问题时,由于条件的变化,问题的结果有多种情况,不能用同一标准或同一种方
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法解决,这就需要对条件进行分类讨论. 当在数据中有未知数 x 求其中位数时, 因 x 的取值不同, 所以数据由大到小(或由小到大) 的排列顺序不同,故中位数也不同,这就是本题分类讨论的原因.

1.一组数据的方差一定是( ) A.正数 B.负数 C.任意实数 D.非负数 解析:选 D.方差可为 0 和正数. 2. (2015·长沙四校联考)为了了解某同学的数学学习情况, 对他的 6 次数学测试成绩(满 分 100 分)进行统计,作出的茎叶图如图所示,则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是 ( )

A.中位数为 83 B.众数为 85 C.平均数为 85 D.方差为 19 解析:选 C.易知该同学的 6 次数学测试成绩的中位数为 84,众数为 83,平均数为 85, 方差为 19.7. 3.某班 50 名学生右眼视力的检查结果如表所示: 视力 人数 0.1 1 0.2 1 0.3 3 0.4 4 0.5 3 0.6 4 0.7 4 0.8 6 1.0 8 1.2 10 1.5 6

则该班学生右眼视力的众数为________,中位数为________. 解析:中间位置的数据 0.8 为中位数,出现次数最多的数据 1.2 是众数. 答案:1.2 0.8 4.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中抽取 8 件产品,对其使用寿命(单位:年) 进行追踪调查的结果如下: 甲:3,4,5,6,8,8,8,10; 乙:4,6,6,6,8,9,12,13; 丙:3,3,4,7,9,10,11,12. 三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是 8 年,请根据结果判断厂家在广告中分别运用 了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数. 甲:________,乙:________,丙:________. 解析:甲的众数为 8,乙的平均数为 8,丙的中位数为 8. 答案:众数 平均数 中位数

[A.基础达标] 1.某学习小组在一次数学测验中,得 100 分的有 1 人,95 分的有 1 人,90 分的有 2 人,
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85 分的有 4 人, 80 分和 75 分的各有 1 人, 则该小组成绩的平均数、 众数、 中位数分别是( ) A.85、85、85 B.87、85、86 C.87、85、85 D.87、85、90 解析:选 C.从小到大列出所有数学成绩:75,80,85,85,85,85,90,90,95,100, 观察知众数和中位数均为 85,计算得平均数为 87. 2.(2015·合肥检测)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图 如图所示,则( )

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 解析:选 C.由题意可知,甲的成绩为 4,5,6,7,8,乙的成绩为 5,5,5,6,9.所以 甲、乙的成绩的平均数均为 6,A 错;甲、乙的成绩的中位数分别为 6,5,B 错;甲、乙的成 1 1 2 2 2 2 2 2 绩的方差分别为 ×[(4-6) +(5-6) +(6-6) +(7-6) +(8-6) ]=2, ×[(5-6) +(5- 5 5 12 2 2 2 2 6) +(5-6) +(6-6) +(9-6) ]= ,C 对;甲、乙的成绩的极差均为 4,D 错. 5 3.十八届三中全会指出要改革分配制度,要逐步改变收入不平衡的现象.已知数据 x1, x2,x3,?,xn 是上海普通职工 n(n≥3,n∈N*)个人的年收入,设这 n 个数据的中位数为 x, 平均数为 y,方差为 z,如果再加上世界首富的年收入 xn+1,则这 n+1 个数据中,下列说法正 确的是( ) A.年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变 B.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大 C.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变 D.年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变 解析:选 B.插入大的极端值,平均数增加,中位数可能不变,方差也因为数据更加分散 而变大. 4.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,甲、乙两人这几场比赛 得分的平均数分别为 x 甲, x 乙;标准差分别是 s 甲,s 乙,则有( )

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A. x 甲> x 乙,s 甲>s 乙 C. x 甲< x 乙,s 甲>s 乙

B. x 甲> x 乙,s 甲<s 乙 D. x 甲< x 乙,s 甲<s 乙

解析:选 C.观察茎叶图可大致比较出平均数与标准差的大小关系. 5.(2013·高考山东卷)将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩 余分数的平均分为 91,现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊,无法辨认,在图中 以 x 表示: 8 9 则 7 个剩余分数的方差为( A. 116 9 7 4 ) B. D. 36 7 7 0 1 0

x

9

1

6 7 7 解析:选 B.根据茎叶图,去掉 1 个最低分 87,1 个最高分 99, C.36 1 则 [87+94+90+91+90+(90+x)+91]=91, 7 ∴x=4. 1 2 2 2 2 2 2 2 ∴s = [(87-91) +(94-91) +(90-91) +(91-91) +(90-91) +(94-91) +(91- 7 36 2 91) ]= . 7 6.已知样本 9,10,11,x,y 的平均数是 10,标准差是 2,则 xy=________. 解析:由平均数是 10,得 x+y=20,由标准差是 2,得 1 2 2 2 2 2 [(9-10) +(10-10) +(11-10) +(x-10) +(y-10) ]= 2, 5 ∴(x-10) +(y-10) =8,∴xy=96. 答案:96 7.甲、乙两人在相同的条件下练习射击,每人打 5 发子弹,命中的环数如下: 甲:6,8,9,9,8; 乙:10,7,7,7,9. 则两人的射击成绩较稳定的是________. 解析:由题意求平均数可得
2 x 甲= x 乙=8,s2 甲=1.2,s乙=1.6, 2 s2 甲<s乙,∴甲稳定. 2 2

答案:甲 8.(2013·高考辽宁卷)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4, 且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为________. 解析:设 5 个班级中参加的人数分别为 x1,x2,x3,x4,x5,则由题意知
2 2 2 2 2

x1+x2+x3+x4+x5
5

=7,(x1-7) +(x2-7) +(x3-7) +(x4-7) +(x5-7) =20,五个整数的平方和为 20,则必
- 11 -

为 0+1+1+9+9=20,由|x-7|=3 可得 x=10 或 x=4.由|x-7|=1 可得 x=8 或 x=6,由 上可知参加的人数分别为 4,6,7,8,10,故最大值为 10. 答案:10 9.随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数 据的茎叶图如图.

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差. 解:(1)乙班的平均身高较高.(可由茎叶图判断或计算得出) 1 (2)因为甲班的平均身高为 x = (158+162+?+182)=170(cm), 所以甲班的样本方差 10

s2= [2×92+2×(-2)2+12+(-7)2+(-8)2+122+(-12)2+02)]=57.2.
10.(2014·高考课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品 的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表: 质量指标 值分组 频数

1 10

[75,85) 6

[85,95) 26

[95,105) 38

[105,115) 22

[115,125) 8

(1)作出这些数据的频率分布直方图;

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表); (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定? 解:(1)

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(2) 质量指标值的样本平均数为 x =80×0.06+90×0.26 +100×0.38+110×0.22+ 120×0.08=100. 2 2 2 2 2 质量指标值的样本方差为 s =(-20) ×0.06+(-10) ×0.26+0×0.38+10 ×0.22+20 ×0.08=104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104. (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定. [B.能力提升] 1.下列说法:①一组数据不可能有两个众数;②一组数据的方差必须是正数;③将一组 数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后,方差恒不变;④在频率分布直方图中,每个 小长方形的面积等于相应小组的频率,其中错误的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:选 C.一组数据的众数不一定唯一,即①不对;一组数据的方差必须是非负数,即 ②不对;根据方差的定义知③正确;根据频率分布直方图的概念知④正确. 2.某市有 15 个旅游景点,经计算,黄金周期间各个景点的旅游人数平均为 20 万,标准 差为 s,后来经核实,发现甲、乙两处景点统计的人数有误,甲景点实际为 20 万,被误统计 为 15 万,乙景点实际为 18 万, 被统计成 23 万;更正后重新计算,得到标准差为 s1,则 s 与 s1 的大小关系为( ) A.s=s1 B.s<s1 C.s>s1 D.不能确定 解析:选 C.由已知,两次统计所得的旅游人数总数没有变,即两次统计的各景点旅游人 数的平均数是相同的,设为 x , 则 s= 1 2 2 2 2 [(15- x ) +(23- x ) +(x2- x ) +?+(x15- x ) ], 15 1 2 2 2 2 [(20- x ) +(18- x ) +(x2- x ) +?+(x15- x ) ]. 15
2 2 2 2

s1=

若比较 s 与 s1 的大小,只需比较(15- x ) +(23- x ) 与(20- x ) +(18- x ) 的大小 即可.而(15- x ) +(23- x ) =754-76 x +2 x ,(20- x ) +(18- x ) =724-76 x +
- 13 2 2 2 2 2

2 x ,所以(15- x ) +(23- x ) >(20- x ) +(18- x ) .从而 s>s1. 3.甲、乙两同学在高考前各做 5 次立定跳远测试,测得甲的成绩如下(单位:米):2.20, 2.30,2.30,2.40,2.30.若甲、乙两人的平均成绩相同,乙的成绩的方差是 0.005,那么甲、 乙两人成绩较稳定的是________. 解析:求得甲的平均成绩为 2.30,甲的成绩的方差是 0.004.由已知得甲、乙平均成绩相 同,但甲的成绩的方差比乙的小,所以甲的成绩较稳定. 答案:甲 4.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图 (其中 m 为数字 0~9 中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分 别为 a1,a2,则一定有________.

2

2

2

2

2

解析:去掉一个最高分和一个最低分后,甲选手叶上的数字之和是 20,乙选手叶上的数 字之和是 25,故 a2>a1. 答案:a2>a1 5.(2013·高考安徽卷)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单 随机抽样,从这两校中各抽取 30 名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样 本数据的茎叶图如图:

(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计 甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60 分及 60 分以上为及格); (2)设甲、 乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 x 1, x 2, 估计 x 1- x 值. 解:(1)设甲校高三年级学生总人数为 n. 30 由题意知 =0.05,解得 n=600.
2



n

样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为 5, 据此估计甲校高三年级这次联考数学 5 5 成绩的及格率为 1- = . 30 6 (2)设甲、乙两校样本平均数分别为 x 1′, x 2′. 根据样本茎叶图可知 30( x 1′- x 2′)=30 x 1′-30 x 2′ =(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92 =2+49-53-77+2+92=15. 因此 x 1′- x 2′=0.5.故 x 1- x 2 的估计值为 0.5 分.
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6.(选做题)在每年的春节后,某市政府都会发动公务员参与 到植树绿化活动中去.林业管理部门在植树前,为了保证树苗的 质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各 抽测了 10 株树苗,量出它们的高度如下(单位:厘米),甲:37, 21,31,20,29,19,32,23,25,33; 乙:10,30,47,27,46,14,26,10,44,46. (1)画出两组数据的茎叶图,并根据茎叶图对甲、乙两种树 苗的高度作比较,写出两个统计结论; (2)设抽测的 10 株甲种树苗高度平均值为 x, 将这 10 株树苗 的高度依次输入,按程序框(如图)进行运算,问输出的 S 大小为 多少?并说明 S 的统计学意义. 解:(1)茎叶图:

统计结论:(任意两个即可) ①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度; ②甲种树苗比乙种树苗长得整齐; ③甲种树苗的中位数为 27,乙种树苗的中位数为 28.5; ④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,乙种树苗的高度分布 比较分散. (2)x=27,S=35,S 表示 10 株甲种树苗高度的方差.

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