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【金版优课】高中数学人教A版选修2-1课时作业:2.1.2 求曲线的方程(1) Word版含解析

第二章 2.1 课时作业 11 一、选择题 1.直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于 1 的点的轨迹方程是( A.|x|-|y|=1 C.||x|-|y||=1 B.|x-y|=1 D.|x± y|=1 ) 解析:设 M(x,y)为平面直角坐标系内的任意一点,则点 M 到 x 轴的距离为|y|,到 y 轴 的距离为|x|.由题意知||x|-|y||=1. 答案:C 2.已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是 ( ) A.x2+y2=2 B.x2+y2=4 C.x2+y2=2(x≠± 2) D.x2+y2=4(x≠± 2) 解析:设 P(x,y),因为△MPN 为以 MN 为斜边的直角三角形, ∴MP2+NP2=MN2, ∴(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16. 整理得,x2+y2=4. ∵M,N,P 不共线,∴x≠± 2. ∴轨迹方程为 x2+y2=4(x≠± 2). 答案:D 3.已知 log2x,log2y,2 成等差数列,则在平面直角坐标系中,点 M(x,y)的轨迹为( ) 解析:由 2log2y=2+log2x, 得 log2y2=log24x, ∴y2=4x(x>0,y>0), 即 y=2 x(x>0). 答案:A 4.[2014· 河南省实验中学月考]动点 P 到定点(1,0)和定直线 x=3 的距离之和为 4,则点 P 的轨迹方程为( A. y2=4x B. y2=-12(x-4) C. 若 x≥3,则 y2=4x;若 x<3,则 y2=-12(x-4) D. 若 x≤3,则 y2=4x;若 x>3,则 y2=-12(x-4) 解析:本题主要考查求曲线的方程.设 P(x,y),由题意得 x≤3,则 y2=4x;若 x>3,则 y2=-12(x-4),故选 D. 答案:D 二、填空题 5.设 A 为圆(x-1)2+y2=1 上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则动点 P 的轨迹方 程是________. 解析:圆(x-1)2+y2=1 的圆心为 B(1,0),半径 r=1,则|PB|2=|PA|2+r2. ∴|PB|2=2. ∴P 的轨迹方程为:(x-1)2+y2=2. 答案:(x-1)2+y2=2 6.如右图,在平面直角坐标系中,已知动点 P(x,y),PM⊥y 轴,垂足为 M,点 N 与 → → 点 P 关于 x 轴对称且OP· MN=4,则动点 P 的轨迹方程为________. ?x-1?2+y2+|x-3|=4.若 ) 解析:由已知 M(0,y),N(x,-y), → → 则OP· MN=(x,y)· (x,-2y) x2 y2 =x2-2y2=4,即 - =1. 4 2 x2 y2 答案: - =1 4 2 → 3→ 2→ 7.设线段 AB 的两个端点 A,B 分别在 x 轴、y 轴上滑动,且|AB|=5,OM= OA+ OB, 5 5 则点 M 的轨迹方程是__________. 3 2 → 3→ 2→ 解析:设 M(x,y),A(m,0),B(0,n),由OM= OA+ OB,得(x,y)= (m,0)+ (0,n), 5 5 5 5 5 5 5 5 ∴m= x,n= y.又由|AB|=5,得 m2+n2=25,即( x)2+( y)2=25,于是,所求点 M 的轨迹 3 2 3 2 方程是 4x2+9y2=36. 答案:4x2+9y2=36 三、解答题 8.[2012· 江西高考]已知三点 O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线 C 上任意一点 M(x,y)满 → → → → → 足|MA+MB|=OM· (OA+OB)+2.求曲线 C 的方程. → → → → → → 解: 由MA=(-2-x,1-y), MB=(2-x,1-y), 得|MA+MB|= ?-2x?2+?2-2y?2, OM· (OA → +OB)=(x,y)· (0,2)=2y. 根据题意,得 ?-2x?2+?2-2y?2=2y+2, 化简得曲线 C 的方程为 x2=4y. 9.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1、l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点,求 线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. 解:如图,设点 M 的坐标为(x,y),∵M 为线段 AB 的中点, ∴A 的坐标为(2x,0), B 的坐标为(0,2y). ∵l1⊥l2,且 l1、l2 过点 P(2,4),∴PA⊥PB,kPA· kPB=-1. 而 kPA= ∴ 4-0 4-2y (x≠1),kPB= , 2-2x 2-0 2 2-y · =-1(x≠1). 1-x 1 整理,得 x+2y-5=0(x≠1). ∵当 x=1 时,A、B 的坐标分别是(2,0)、(0,4),∴线段 AB 的中点坐标是(1,2),它满足 方程 x+2y-5=0. 综上所述,点 M 的轨迹方程是 x+2y-5=0.


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