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高中数学必修五§3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域2课时导学案设计

§3.3.1 二元一次不等式(组)与 平面区域(1)
学习目标
1.了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界,会用二元一次不等式组表示平面区域;

2.经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程,提高数学建模的能力.

学习过程
一、课前准备 复 习 1 : 一 元 二 次 不 等 式 的 定 义 _______________ 二 元 一 次 不 等 式 定 义 ________________________二元一次不等式组的定义_____________________ 复习 2:解下列不等式:

?3x 2 ? x ? 2 ? 0 ? (1) ?2 x ? 1 ? 0 ; (2) ? 2 . ? ?4 x ? 15 x ? 9 ? 0

二、新课导学 ※ 学习探究
?x ? 3 ? 0 探究 1:一元一次不等式(组)的解集可以表示为数轴上的区间,例如, ? 的解集 ?x ? 4 ? 0 为 . 那么,在直角坐标系内,二元一次不等式(组)的解集表示什么图形呢?

探究 2:你能研究:二元一次不等式 x ? y ? 6 的解集所表示的图形吗?(怎样分析和定边 界?)
从特殊到一般: 先研究具体的二元一次不等式 x ? y ? 6 的解集所表示的图形. 如图:在平面直角坐标系内,x-y=6 表示一条直线. 平面内所有的点被直线分成三类: 第一类:在直线 x-y=6 上的点; 第二类:在直线 x-y=6 左上方的区域内的点; 第三类:在直线 x-y=6 右下方的区域内的点. 设点 P( x, y1 ) 是直线 x-y=6 上的点,选取点 A( x, y2 ) ,使它的坐标满 足不等式 x ? y ? 6 ,请同学们完成以下的表格, 横坐标 x 点 P 的纵 坐标 y1 点 A 的纵 坐标 y2 并思考: 当点 A 与点 P 有相同的横坐标时,它们的纵坐标有什么关系?_______________ 根据此说说,直线 x-y=6 左上方的坐标与不等式 x ? y ? 6 有什么关系?______________ 直线 x-y=6 右下方点的坐标呢? 在平面直角坐标系中, 以二元一次不等式 x ? y ? 6 的解为坐标的点都在直线 x-y=6 的_____; 反过来,直线 x-y=6 左上方的点的坐标都满足不等式 x ? y ? 6 . -3 -2 -1 0 1 2 3

因此,在平面直角坐标系中,不 的平面区域;如图:

等式 x ? y ? 6 表示直线 x-y=6 左上方

类似的:二元一次不等式 x-y>6 表示 直线叫做这两个区域的边界

直线 x-y=6 右下方的区域;如图:

结论: 1. 二元一次不等式 Ax ? By ? c ? 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax ? By ? c ? 0 某一侧所有点 组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2. 不等式中仅 ? 或 ? 不包括 ;但含“ ? ” “ ? ”包括

; 同侧同号,异侧异号.

※ 典型例题 例 1 画出不等式 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域.
分析:先画 ___________(用 线表示),再取 _______判断区域,即可画出.

归纳:画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界,特殊点定域”的方法.特殊地, 当 C ? 0 时,常把原点作为此特殊点. 变式:画出不等式 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 表示的平面区域.
? y ? ?3x ? 12 例 2 用平面区域表示不等式组 ? 的解集 ?x ? 2 y

归纳: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集, 因而是各个不等式 所表示的平面区域的公共部分. 变式 1:画出不等式 ( x ? 2 y ? 1)( x ? y ? 4) ? 0 表示的平面区域.

变式 2:由直线 x ? y ? 2 ? 0 , x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 围成的三角形区域(包括边界) 用不等式可表示为 . ※ 动手试试 练 1. 不等式 x ? 2 y ? 6 ? 0 表示的区域在直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 的
?x ? 3y ? 6 ? 0 练 2. 画出不等式组 ? 表示的平面区域. ?x ? y ? 2 ? 0

__

三、总结提升 ※ 学习小结 由 于 对 在 直 线 Ax ? By ? C ? 0 同 一 侧 的 所 有 点 ( x, y ) , 把 它 的 坐 标 ( x, y ) 代 入

Ax ? By ? C ,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 ( x0 , y0 ) ,

从 Ax0 ? By0 ? C 的正负即可判断 Ax ? By ? C ? 0 表示直线哪一侧的平面区域. (特殊地, 当C ≠0 时,常把原点作为此特殊点) ※ 知识拓展 含绝对值不等式表示的平面区域的作法: (1)去绝对值符号,从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式. (2)一般采用分象限讨论去绝对值符号. (3)采用对称性可避免绝对值的讨论. (4) 在方程 f ( x y ) ? 0 或不等式 f ( x y ) ? 0 中, 若将 x y 换成 (? x) (? y ) , 方程或不等式不变, 则这个方程或不等式所表示的图形就关于 y ( x) 轴对称.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 不等式 x ? 2 y ? 6 ? 0 表示的区域在直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 的( A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方 2. 不等式 3x ? 2 y ? 6 ? 0 表示的区域是( ).

).

?x ? 3y ? 6 ? 0 3.不等式组 ? 表示的平面区域是( ?x ? y ? 2 ? 0

).

4. 已知点 (?3, ?1) 和 (4, ?6) 在直线 ?3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 的取值范围是
?x ? 1 5. 画出 ? 表示的平面区域为: ?y ?1

.

课后作业
?x ? 3 ? 1. 用平面区域表示不等式组 ?2 y ? x 的解集. ?3x ? 2 y ? 6 ?

§3.3.1 二元一次不等式(组)与 平面区域(2)
学习目标
1. 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域; 2.能根据实际问题中的已知条件,找出约束条件.

学习过程
一、课前准备 复习 1:画出不等式 2 x +y-6<0 表示的平面区域.

? 2 x ? 3 y ? 12 ? 复习 2:画出不等式组 ? 2 x ? 3 y ? ?6 所示平面区域. ?x ? 0 ?

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小 钢板的块数如下表所示:
规格类型 A 规格 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 2 1 1 2 1 3 B 规格 C 规格

今需要三种规格的成品分别为 12 块、15 块、27 块,用数学关系式和图形表示上述要求.

例 2 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐 4t,硝酸 盐 18t;生产 1 车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐 1t,硝酸盐 15t. 现库存磷酸盐 10t,硝酸 盐 66t,在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的 平面区域.

※ 动手试试
?( x ? y ? 5) ( x ? y ) ? 0 练 1. 不等式组 ? 所表示的平面区域是什么图形? ?0 ? x ? 3

练 2. 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学,对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据 表格(以班级为单位): 班级学生 配备教 硬件建 教师年薪 学段 (万元) 人数 师数 设(万元) 45 2 初中 26/班 2/人 高中 40 3 54/班 2/人 分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.

三、总结提升 ※ 学习小结 根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数 . 反复的读题,读懂已知条件和问 题,边读边摘要,读懂之后可以列出一个表格表达题意. 然后根据题中的已知条件,找出约 束条件和目标函数,完成实际问题向数学模型的转化. ※ 知识拓展 求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点, 它为线性规划中求最优整数解作 铺垫. 常有两种处理方法,一种是通过打出网络求整点;另一种是先确定区域内点的横坐标 的范围,确定 x 的所有整数值,再代回原不等式组,得出 y 的一元一次不等式组,再确定 y 的所有整数值,即先固定 x ,再用 x 制约 y .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 不在 3x ? 2 y ? 6 表示的平面区域内的点是( ). A. (0,0) B. (1,1) C. (0,2) D. (2,0)
?x ? y ? 5 ? 0 2. 不等式组 ? 表示的平面区域是一个( ). ?0 ? x ? 3 A.三角形 B.直角梯形 C.梯形 D.矩形 ?y ? x ? 3. 不等式组 ? x ? y ? 1 表示的区域为D,点 P 1 (0, ?2) ,点 P 2 (0,0) ,则( ?y ? 3 ?

).

A. P B. P C. P D. P 1 ? D, P 2 ?D 1 ? D, P 2 ?D 1 ? D, P 2 ?D 1 ? D, P 2 ?D 4. 由直线 x ? y ? 2 ? 0, x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 的平围成的三角形区域 (不包括边界) 用 不等式可表示为 . 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 ? ? 5. 不等式组 ? x ? 0 表示的平面区域内的整点坐标是 . ?y ? 0 ?

课后作业
1. 一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子 A 和 B. 每类桌子都要经过打磨、 着色、 上漆三道工 序.桌子 A 需要 10min 打磨,6min 着色,6min 上漆;桌子 B 需要 5min 打磨,12min 着色,9min

上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作 450min,着色每天至多 480min,请你列出满足 生产条件的数学关系式,并在直角坐标系中画出相应的平面区域.

2. 某服装制造商现有 10m2 的棉布料,10 m2 的羊毛料,6 m2 的丝绸料. 做一条裤子需要棉布料 1 m2, 2 m2 的羊毛料,1 m2 的丝绸料,一条裙子需要棉布料 1 m2, 1m2 的羊毛料,1 m2 的丝绸料. 一条裤子的纯收益是 20 元,一条裙子的纯收益是 40 元. 为了使收益达到最大,需要同时生产这 两种服装,请你列出生产这两种服装件数所需要满足的关系式,并画出图形.



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