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人教a版必修4学案:1.2.2同角三角函数的基本关系(含答案)


1.2.2 同角三角函数的基本关系 自主学习 知识梳理 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:____________________. (2)商数关系:____________________. 2.同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α+cos2α=1 的变形公式: sin2α=__________;cos2α=__________; (sin α+cos α)2=__________; (sin α-cos α)2=____________; (sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=________; sin α· cos α=____________=____________. sin α (2)tan α= 的变形公式:sin α=____________; cos α cos α=____________. 自主探究 1.利用任意角三角函数的定义推导平方关系. 2.已知 tan α=2,求下列代数式的值. 4sin α-2cos α (1) ; 5cos α+3sin α 1 1 1 (2) sin2α+ sin αcos α+ cos2α. 4 3 2 对点讲练 知识点一 已知某一个三角函数值,求同角的其余三角函数值 例1 8 已知 cos α=- ,求 sin α、tan α. 17 回顾归纳 同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系, 其最基本的应 用是“知一求二”,要注意这个角所在的象限,由此来决定所求的是一解还是两解,同时应 体会方程思想的应用. 4 变式训练 1 已知 tan α= ,且 α 是第三象限角,求 sin α,cos α 的值. 3 知识点二 利用同角的三角函数基本关系式化简 例2 1 化简: + cos α 1+tan2α 1+sin α - 1-sin α 1-sin α . 1+sin α 回顾归纳 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用, 切实分析好同角三角函数间的关 系.化简过程中常用的方法有:(1)化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余 弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号下化成完全 平方式,然后去根号,达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因 式分解. 1-cos4α-sin4α 变式训练 2 化简: . 1-cos6α-sin6α 知识点三 利用同角的三角函数基本关系式证明恒等式 例3 2?cos α-sin α? cos α sin α 求证: - = . 1+sin α 1+cos α 1+sin α+cos α 回顾归纳 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异,有目的地进行化简. 证明三角恒等式的基本原则:由繁到简. 常用方法:从左向右证;从右向左证;左、右同时证. 常用技巧:切化弦、整体代换. 1-2sin 2xcos 2x 1-tan 2x 变式训练 3 求证: = . cos22x-sin22x 1+tan 2x 1.同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律,它的精 sin 8α 髓在“同角”二字上,如 sin22α+cos22α=1, =tan 8α 等都成立,理由是式子中的角 cos 8α 为“同角”. 2.已知角 α 的某一种三角函数值,求角 α 的其余三角函数值时,要注意公式的合理选 择.一般是先选用平方关系,再用商数关系.在应用平方关系求 sin α 或 cos α 时,其正负号 是由角 α 所在象限来决定,切不

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