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高一数学必修1


第一章

集合与函数概念
§1.1 集合

(一)集合的有关概念 ⒈定义:一般地,我们把研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,也简称集。 2.表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母 A,B,C?表示, 而元素用小写的拉丁字母 a,b,c?表示。 3.集合相等:构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? 两种) ⑴若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a ? A; ⑵若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 5.常用的数集及记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记作 N*或 N+;N 内排除 0 的集. 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R;

6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如: “地球上的四大洋” (太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋)“中国古代四大发明” 。 (造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大 的数”“平面点 P 周围的点”一般不构成集合,因为组成它的元素是不确定的. , ⑵互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0 的解集表示为 ? 1,-2 ? ,而不是 ? 1,1,-2 ? ⑶无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练 1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: ⑴大于 3 小于 11 的偶数; ⑵我国的小河流; ⑶非负奇数; ⑷方程 x2+1=0 的解; ⑸某校 2011 级新生; ⑹血压很高的人; ⑺著名的数学家; ⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点 7.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? ”两种) ⑴若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a ? A; ⑵若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 例如,我们 A 表示“1~20 以内的所有质数”组成的集合,则有 3∈A,4 ? A,等等。 练:A={2,4,8,16},则 4 ? A,8 ? A,32 ? A. 第1页

(二)例题讲解: 例 1.用“∈”或“ ? ”符号填空: ⑴8 N; ⑵0 N; ⑶-3 Z; ⑷ 2 A, 美国 Q; A, 印度 A, 英国 A。

⑸设 A 为所有亚洲国家组成的集合, 则中国 练:5 页1题

例 2.已知集合 P 的元素为 1, m , m ? m ? 3 , 若 2∈P 且-1 ? P,求实数 m 的值。
2

练:⑴考察下列对象是否能形成一个集合? ①身材高大的人 ②所有的一元二次方程 ③直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体 ⑤比 2 大的几个数 ⑥ 2 的近似值的全体 ⑦所有的小正数 ⑧所有的数学难题 ⑵给出下面四个关系: 3 ? R,0.7 ? Q,0 ? {0},0 ? N,其中正确的个数是:( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 ⑶下面有四个命题: ①若-a ? Ν ,则 a ? Ν ②若 a ? Ν ,b ? Ν ,则 a+b 的最小值是 2 2 ③集合 N 中最小元素是 1 ④ x +4=4x 的解集可表示为{2,2} ⑶其中正确命题的个数是( ⑷由实数-a, a, a , a 2, - 5 a 5 为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么? ⑸求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件? ⑹若
1? t 1? t
? {t},求 t 的值.

第二课时
一、集合的表示方法 ⒈列举法:把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“ ? ? ”括起来表示集合的方法叫 列举法。如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},?; 说明:⑴书写时,元素与元素之间用逗号分开; ⑵一般不必考虑元素之间的顺序; ⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序;

⑷集合中的元素可以为数,点,代数式等;
⑸列举法可表示有限集, 也可以表示无限集。 当元素个数比较少时用列举法比较简单; 若集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可 以用列举法表示。 ⑹对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能 用省略号,象自然数集N用列举法表示为 ?1, 2, 3, 4, 5, ......? 第2页

例 1.用列举法表示下列集合: (1) 小于 5 的正奇数组成的集合; (2) 能被 3 整除而且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合; (3) 从 51 到 100 的所有整数的集合; (4) 小于 10 的所有自然数组成的集合; (5) 方程 x ? x 的所有实数根组成的集合;
2

⑹ 由 1~20 以内的所有质数组成的集合。
⒉描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法。 。 方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画 一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 一般格式: ? x ? A p ( x ) ? 如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{x|直角三角形},?; 说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不 同的两个集合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表 整数集 Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。写法{实数集},{R} 也是错误的。 用符号描述法表示集合时应注意: 1、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式? 2、 元素具有怎么的属性?当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时, 要去伪存真, 而不能被表面的字母形式所迷惑。 例 2.用描述法表示下列集合: 2 (1) 由适合 x -x-2>0 的所有解组成的集合; (2) 到定点距离等于定长的点的集合; (3) 方程 x ? 2 ? 0 的所有实数根组成的集合
2

(4) 由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意, 一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 练习:5 页 2 题 1.用适当的方法表示集合:大于 0 的所有奇数 2.集合 A={x|
4 x?3

∈Z,x∈N},则它的元素是
2



3.已知集合 A={x|-3<x<3,x∈Z},B={(x,y)|y=x +1,x∈A},则集合 B 用 列举法表示是 第3页

4.判断下列两组集合是否相等? (1)A={x|y=x+1}与 B={y|y=x+1}; 二、集合的分类 观察下列三个集合的元素个数 1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2. {x ? R∣0<x<3}; 2 3. {x ? R∣x +1=0} 由此可以得到

(2)A={自然数}与 B={正整数}

集合的分类 ? 无 限 集 : 含 有 无 限 个 元 素 的 集 合 ?

?有 限 集 : 含 有 有 限 个 元 素 的 集 合 ? ? 空 集 : 不 含 有 任 何 元 素 的 集 合 ? ( em p ty ? set )

三、文氏图 集合的表示除了上述两种方法以外,还有文氏图法,即 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,如下图所示: A 表示任意一个集合 A 3,9,27 表示{3,9,27}

典型例题 【题型一】 元素与集合的关系 2 1、设集合 A={1,a,b},B={a,a ,ab},且 A=B,求实数 a,b. 2 2 2、已知集合 A={a+2, (a+1) ,a +3a+3}若 1∈A,求实数 a 的值。 【题型二】 元素的特征 1、⑴已知集合 M={x∈N∣ ⑵已知集合 C={
6 1? x 6 1? x

∈Z},求 M

∈Z∣x∈N},求 C x,满足
6 1? x

点拔:要注意 M 与 C 的区别,集合 M 中的元素是自然数 C 是的元素是整数 练习:
6 1? x

是整数,集合

,满足条件是 x∈N

1.给出下列四个关系式:① 3 ∈R;②π ? Q;③0∈N;④0 ? ? 其中正确的个数是( A.1 B.2 ?x ? y ? 3 2.方程组 ? 的解组成的集合是(
?x ? y ? 1

)

C.3 )

D.4

A.{2,1} B.{-1,2} C.(2,1) D.{ (2,1) } 3.把集合{-3≤x≤3,x∈N}用列举法表示,正确的是( ) A.{3,2,1} B.{3,2,1,0} C.{-2,-1,0,1,2}D.{-3,-2,-1,0,1,2,3} 4.下列说法正确的是( ) 第4页

A.{0}是空集 B. {x∈Q∣
2

6 x

∈Z}是有限集

C.{x∈Q∣x +x+2=0}是空集 D.{2,1}与{1,2}是不同的集合 二填空题: 5、以实数为元素构成的集合的元素最多有 个; 2 6、以实数 a ,2-a.,4 为元素组成一个集合 A,A 中含有2个元素,则的 a 值为 7、集合 M={y∈Z∣y=
8 3? x

.

,x∈Z},用列举法表示是 M=



8、已知集合 A={2a,a2-a} ,则 a 的取值范围是 。 三、解答题: 2 9、设 A={x∣x +(b+2)x+b+1=0,b∈R}求 A 的所有元素之和。 3 2 10.已知集合 A={a,2b-1,a+2b}B={x∣x -11x +30x=0},若 A=B,求 a,b 的值。

1.1.2 集合间的基本关系
比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系: (1) A ? {1, 2, 3} , B ? {1, 2, 3, 4, 5} ; (2) C ? {北 京 一 中 高 一 一 班 全 体 女 生 } , D ? {北 京 一 中 高 一 一 班 全 体 学 生 } ; (3) E ? { x | x 是 两 条 边 相 等 的 三 角 形 } , F ? { x x 是 等 腰 三 角 形 } 观察可得: ⒈子集:对于两个集合 A,B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这 两个 集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 记作: A ? B ( 或 B ? A ) 读作:A 包含于 B,或 B 包含 A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A?B(或 B?A) 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系: B A 表示: A ? B

⒉集合相等定义:如果 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则集合 A 与集合 B 中的元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,即若 A ? B 且 B ? A ,则 A ? B 。 如:A={x|x=2m+1,m ? Z},B={x|x=2n-1,n ? Z},此时有 A=B。 ⒊真子集定义:若集合 A ? B ,但存在元素 x ? B , 且 x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集。 记作:A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 4.空集定义:不含有任何元素的集合称为空集。记作: ? 用适当的符号填空:
?

? 0? ; 0

? ; ?

{ ? }; ? 0 ?

{? }

5.几个重要的结论: ⑴空集是任何集合的子集;对于任意一个集合 A 都有 ? ? A。 ⑵空集是任何非空集合的真子集; ⑶任何一个集合是它本身的子集; ⑷对于集合 A,B,C,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C 。 练习:填空: ? {2} ⑴2 N; N; A; 第5页

⑵已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},则 A B; A C; {2} C; 2 C 说明: ⑴注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系,集合与集合是“包含于” “不包含于”的关系; ⑵在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。 ⑶结论:一般地,一个集合元素若为 n 个,则其子集数为 2n 个,其真子集数为 2n-1 个, 特别地,空集的子集个数为 1,真子集个数为 0。 (二)例题讲解: 【题型1】集合的子集问题 1、写出集合{a,b,c}的所有子集,并指出其中哪些是真子集,哪些是非空的真子集。 2、已知集合 M 满足{2,3} ? M ? {1,2,3,4,5}求满足条件的集合 M 3、已知集合 A={x|x2-2x-3=0},B={x|ax=1}若 B A,则实数 a 的值构成的集合是( ) A.{-1,0,
1 3

2



B.{-1,0}

C.{-1,

1 3



D.{

1 3

,0}

4.设集合 A={2,8,a}B={2,a2-3a+4}且 B A,求 a 的值。 5.已知集合 A ? ? x ? 2 ? x ? 5 ? , B ? ? x ? m ? 1 ? x ? 2 m ? 1? 且 A ? B , 求实数 m 的取值范围。 (m ? 3 ) 练习: 1、判断下列集合的关系. (1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q; 2 2 (5) A={x| (x-1) =0},B={y|y -3y+2=0}; (6) A={1,3},B={x|x2-3x+2=0}; (7) A={-1,1},B={x|x2-1=0}; (8)A={x|x 是两条边相等的三角形},B={x|x 是等腰三角形}。 2、设 A={0,1},B={x|x ? A},问 A 与 B 什么关系? 3、判断下列说法是否正确? (1)N ? Z ? Q ? R; (4)N ? Z; (2) ? ? A ? A; (3){圆内接梯形} ? {等腰梯形}; (5) ? ? { ? }; (6) ? ? { ? }

4.有三个元素的集合 A,B,已知 A={2,x,y},B={2x,2,2y},且 A=B,求 x,y 的值。 解答题: 1.已知集合 A ? { x | a ? x ? 5} , B ? { x | x ≥ 2 } ,且满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围。 2.已知三个元素集合 A={x,xy,x-y},B={0,∣x∣,y}且 A=B,求 x 与 y 的值。

1.1.3 集合间的基本运算(共 1 课时)
考察下列集合,说出集合 C 与集合 A,B 之间的关系: C ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6 ? ; (1) A ? {1, 3, 5} , B ? {2, 4, 6} , (2) A ? { x x 是 有 理 数 } , B ? { x x 是 无 理 数 } ,
C ? ?x x 是 实 数? ;

1.并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的并集,即 A 与 B 的所有部分, 第6页

记作 A∪B, 读作:A 并 B Venn 图表示:

即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}。

说明:定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论:A∪B 与集合 A、B 有什么特殊的关系? A∪A= , A∪Ф = , A∪B B∪A A∪B=A ? , A∪B=B ? . 巩固练习(口答) : ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= ; ②.设 A={锐角三角形},B={钝角三角形},则 A∪B= ; ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B= 。 2.交集定义:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫作集合 A、B 的 交集(intersection set) , 记作:A∩B 读作:A 交 B 即:A∩B={x|x∈A,且 x∈B} Venn 图表示: 常见的五种交集的情况: B A A(B) A B A B A B (阴影部分即为 A 与 B 的交集)

说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个 集合没有交集 讨论:A∩B 与 A、B、B∩A 的关系? A∩A= A∩ ? = A∩B B∩A A∩B=A ? A∩B=B ? 巩固练习(口答) : ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∩B= ; ②.A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B= ; ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∩B= 。 3.一些特殊结论 ⑴若 A ? B ,则 A∩B=A; ⑵若 B ? A ,则 A ? B=A; ⑶若 A,B 两集合中,B= ? ,,则 A∩ ? = ? , A ? ? =A。 【题型一】 并集与交集的运算 【例 1】设 A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∪B。 解:A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}. -1 【例 2】设 A={x|x>-2},B={x|x<3},求 A∩B。 解:在数轴上作出 A、B 对应部分如图 A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2<x<3}。 第7页 1 2 3

-2

3

【例 3】已知集合 A={y|y=x2-2x-3,x∈R},B={y|y=-x2+2x+13,x∈R}求 A∩B、A∪B 【题型二】 并集、交集的应用 例:设集合 A={∣a+1∣,3,5},B={2a+1,a2+2a,a2+2a-1},当 A∩B={2,3}时,求 A∪B 解:∵∣a+1∣=2 ∴a=1 或-3 当 a=1 时,集合 B 的元素 a2+2a=3,2a+1=3, 由集合的元素应具有互异性的要求可知 a≠1. 当 a=-3 时,集合 B={-5,2,3} ∴A∪B={-5,2,3,5} 练:.已知{3,4,m2-3m-1}∩{2m,-3}={-3},则 m= 。 练习: 1.设 A={x|x 是等腰三角形},B={x|x 是直角三角形},则 A∩B= 。 {x|x 是等腰直角三角形}。 2设 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},则 A∪B= 。 3设 A={x|x 是锐角三角形},B={x|x 是钝角三角形},则 A∪B= 。 4.已知集合 M={x|x-2<0},N={x|x+2>0},则 M∩N 等于 。 4设 A= {不大于 20 的质数}B={x|x=2n+1,n∈N*}, , 用列举法写出集合 A∩B= 。 2 2 6.已知集合 M={x|y=x -1},N={y|y=x -1},那么 M∩N 等于( ) A. ? B.N C.M D.R 7、若集合 A={1,3,x},B={1,x2},A∪B={1,3,x},则满足条件的实数 x 的个数有() A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是 。 9.已知集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|2a<x<a+3},且满足 A∩B= ? ,则实数 a 的聚取值啊范 围是 。

集合的基本运算㈡
思考 1. U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、 B={全班没有参加足球队的同学},则 U、A、B 有何关系? 集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下来的集合。 (一). 全集、补集概念及性质: ⒈全集的定义:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么 就称这个集合为全集,记作 U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 ⒉补集的定义:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,叫作集 合 A 相对于全集 U 的补集, 记作: C U A ,读作:A 在 U 中的补集,即 C U A ? ? x x ? U , 且 x ? A ? Venn 图表示: (阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)

U A CUA
说明:补集的概念必须要有全集的限制 讨论:集合 A 与 C U A 之间有什么关系?→借助 Venn 图分析 第8页

A ? C A? ? , U CU U ? ? ,

A? U C CU ? ? U

A ? ,U

U

C (

U

C) A ?

A

巩固练习(口答) : ①.U={2,3,4},A={4,3},B=φ ,则 C U A =

, CU B =

; ; 。

②.设 U={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则 C U A = ③.设 U={三角形},A={锐角三角形},则 C U A = 【题型 1】求补集 【例 1】 .设全集 U ? ? x x 是 小 于 9 的 正 整 数 ? , A ? ?1,,? , B ? ? 3,,,? , 23 456 求 CU A , CU B .

【例 2】设全集 U ? ? x x ? 4 ? , 集 合 A ? ? x ? 2 ? x ? 3? , B ? ? x ? 3 ? x ? 3? ,求 C U A ,
A ? B , A ? B , C U ( A ? B ), ( C U A ) ? ( C U B ), ( C U A ) ? ( C U B ), C U ( A ? B ) 。

(结论: C U ( A ? B ) ? ( C U A ) ? ( C U B ), C U ( A ? B ) ? ( C U A ) ? ( C U B ) ) 【例 3】设全集 U 为 R, A ? x x ? p x ? 1 2 ? 0 ,
2

?

?

B ? x x ? 5 x ? q ? 0 ,若
2

?

?

( C U A ) ? B ? ? 2 ? , A ? ( C U B ) ? ? 4 ? ,求 A ? B 。 (答案: ? 2 , 3, 4 ? )

【例 4】设全集 U= {x|-1≤x≤3},A={x|-1<x<3} ,B={x|x2-2x-3=0},求 C U A ,并且判断 C U A 和集合 B 的关系。 【题型 1】集合的混合运算 已知全集为 R,集合 P={x|x=a2+4a+1,a∈R},Q={y|y=-b2+2b+3,b∈R}求 P∩Q 和 P∩ C R Q 。 (III)课堂练习: ⑴若 S={2,3,4},A={4,3},则 CSA={2} ; ⑵若 S={三角形},B={锐角三角形},则 CSB={直角三角形或钝角三角形} ; ⑶若 S={1,2,4,8},A=? ,则 CSA= S ; ⑷若 U={1,3,a2+2a+1},A={1,3},CUA={5},则 a= ;-1 ?
5

⑸已知 A={0,2,4},CUA={-1,1},CUB={-1,0,2},求 B={1,4}; ⑹设全集 U={2,3,m2+2m-3},A={|m+1|,2},CUA={5},求 m 的值; (m= - 4 或 m=2) 2 ⑺已知全集 U={1,2,3,4},A={x|x -5x+m=0,x∈U},求 CUA、m; (答案:CUA={2,3}, m=4;CUA={1,4},m=6) ⑻已知全集 U=R,集合 A={x|0<x-1 ? 5},求 CUA,CU(CUA)。 ⑼已知 M={1},N={1,2},设 A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求 A∩B,A∪B。[A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2),(2,1)}] ⑽已知集合 M ? {4,7,8},且 M 中至多有一个偶数,则这样的集合共有( ); A 3个 B 4个 C 6个 D5 个 ⑾设集合 A={-1,1}, B={x|x2-2ax+b=0}, 若 B ? ? , 且 B ? A , 求 a, b 的值 第9页

(1 2 ) 集 合 A ? { n |

n 2

? Z }, B ? { m |

m ?1 2

? Z }, 则 A ? B ? _ _ _ _ _ _
5 2

(1 3) 集 合 A ? { x | ? 4 ? x ? 2}, B ? { x | ? 1 ? x ? 3}, C ? { x | x ? 0 或 x ? 那 么 A ? B ? C ? ______________, A ? B ? C ? _____________;

}

提高内容: ⑴已知 X={x|x2+px+q=0,p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},且 X ? A ? ? , X ? B ? X ,试 求 p、q; ⑵集合 A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若 A ? B={-2,0,1},求 p、q; ⑶A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且 A ? B ={3,7},求 B

22.某班举行数、理、化三科竞赛,每人至少参加一科,已知参加数学竞赛的有 27 人,参加物 理竞赛的有 25 人,参加化学竞赛的有 27 人,其中参加数学、物理两科的有 10 人,参加物理、 化学两科的有 7 人,参加数学、化学两科的有 11 人,而参加数、理、化三科的有 4 人,求全班 人数。

集合中元素的个数
在研究集合时,经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合 A 叫 做有限集,用 card(A)表示集合 A 中元素的个数。例如:集合 A={a,b,c}中有三个元素,我们记 作 card(A)=3. 结论:已知两个有限集合 A,B,有:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 例 1 学校先举办了一次田径运动会,某班有 8 名同学参赛,又举办了一次球类运动会,这个 班有 12 名同学参赛, 两次运动会都参赛的有 3 人, 两次运动会中, 这个班共有多少名同学参赛? 解设 A={田径运动会参赛的学生},B={球类运动会参赛的学生}, A∩B={两次运动会都参赛的学生},A∪B={所有参赛的学生} 因此 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=8+12-3=17. 答:两次运动会中,这个班共有17名同学参赛. 1.在某校高一(5)班的学生中参加物理课外小组的有20人参加数学课外小 组的有25人,既 参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人,既未参加物理课外小组又未参加数学课外小 组的有15人,则 这个班的学生总人数是 A. 70 B. 55 C. 50 D. 无法确定 2. 给出下列命题: 给出下列命题: ① 若 card(A)=card(B),则 A=B; ② 若 card(A)=card(B), 则 card(A∩B)=card(A∪B) , ③ 若 A∩B=Φ 则 card(A∪B)-card(A)=card(B) ④ 若 A=Φ ,则 card(A∩B)=card(A) ⑤ 若 A ? B,则 card(A∩B)=card(A) , 其中正确的命题的序号是③④

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高一数学必修 1 集合单元综合练习(Ⅰ)
一、填空题(本大题包括 14 小题;每小题 5 分,满分 70 分) 1、U={1,2,3,4,5} ,若 A∩B={2} UA)∩B={4} UA)∩(CUB)={1,5} ,(C ,(C ,则下列 结论正确的是 .错误!未指定书签。 ①、3 ③、3 A且3 A且3 B;②、3 B;④、3 A且3 A且3 B; B。 ,则 k 的取值范围是 R} ,且

2、设集合 M={x|-1≤x<2} ,N={x|x-k≤0} ,若 M∩N≠ 3、已知全集 I={x|x (CIA)∩B=

R} ,集合 A={x|x≤1 或 x≥3} ,集合 B={x|k<x<k+1,k

,则实数 k 的取值范围是

4、已知全集 U ? Z , A ? { ? 1, 0,1, 2}, B ? { x | x 2 ? x} ,则 A ? C U B 为 5、设 a, b ? R ,集合 ?1, a ? b, a ? ? ? 0, , b ? ,则 b ? a ? ? ?
b ? a ?

6、设集合 M= { x | x
M =、 ?MN ? ) 、 N

?

k 2

?

1 4

, k ? Z }, N ? { x | x ?

k 4

?

1 2

, k ? Z } ,则

M

N。(选填



、 、? 、

7、设集合 A ? ?x 4 x ? 1 ? 9 , x ? R ? , 8、设
P

x ? ? B ? ?x ? 0, x ? R ? x?3 ? ?

,

则 A∩B=

1 和 Q 是 两 个 集 合 , 定 义 集 合 P ? Q ? ? x | x ? P, 且 x ? Q ? , 如 果 P ? ? x | l o g2 x ? ? ,

Q ? ? x | x ? 2 ? 1?

,那么 P

?Q

等于

9、已知集合 A

? ? x | x ? a ≤ 1? , B ? x x ? 5 x ? 4 ≥ 0
2

?

? .若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是

10、设集合 S={A0,A1,A2,A3},在 S 上定义运算 ? 为:A1 ? A=Ab,其中 k 为 I+j 被 4 除的余 数,I,j=0,1,2,3.满足关系式=(x ? x) ? A2=A0 的 x(x∈S)的个数为 11、集合 A ? ? ? x , y ? | y ? | x ? 2 |, x ? 0 ? , B ? ? ? x , y ? | y ? ? x ? b ? , A ? B ? ? , b 的取值范围 是 .

12、 定义集合运算: A ? B ? ? z z ? xy , x ? A , y ? B ? .设 A ? ?1, 2 ? , B ? ? 0, 2 ? ,则集合 A ? B 的 所有元素之和为 13、设集合 A ? { x 0 ? x ? 3且 x ? N}的真子集的个数是 ... 14、某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知 参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和物理小组的有 6 人, 第 11 页

同时参加物理和化学小组的有 4 人,则同时参加数学和化学小组的有 二、解答题(本大题包括 6 小题;满分 90 分)解答时要有答题过程!

人。

15、(13 分)已知全集 U= ? 2 , 3 , a 2 ? 2 a ? 3? ,若 A= ? b , 2 ? ,C U A ? ? 5? ,求实数的 a,b 值。 16、(14 分)若集合 S= ? 3 的所有子集 17、(16 分)已知集合 A= ? x 3 ? x ? 7 ? ,B={x|2<x<10},C={x | x<a},全集为实数集 R. (1) 求 A∪B,(CRA)∩B; (2) 如果 A∩C≠ ,求 a 的取值范围。
1? a 1? a ? A。
, a
2

? ,T

? ? x | 0 ? x ? a ? 3 , x ? Z ? 且 S∩T= ?1? ,P=S∪T,求集合 P

18、(18 分)已知集合 A 的元素全为实数,且满足:若 a ? A ,则

(1)若 a ? ? 3 ,求出 A 中其它所有元素; (2)0 是不是集合 A 中的元素?请你设计一个实数 a ? A ,再求出 A 中的所有元素? (3)根据(1)(2),你能得出什么结论
C 19、 分)集合 A ? ? x | x ? a x ? a ? 1 9 ? 0? ,B ? ? x | x ? 5 x ? 6 ? 0 ? , ? ? x | x ? 2 x ? 8 ? 0 ? (14
2 2 2 2

满足 A ? B ? ? , , A ? C ? ? , 求实数 a 的值。 练习:11 页习题1.1

高一数学必修 1 集合单元综合练习(Ⅱ)
一、填空题(本大题包括 14 小题;每小题 5 分,满分 70 分) 1、集合{a,b,c }的真子集共有 个 2 、 以 下 六 个 关 系 式 : 0 ? ?0 ? , ? 0 ? ? ? , 0 . 3 ? Q , 0 ? N , ? a , b ? ? ? b , a ? ,

?x | x

2

? 2 ? 0, x ? Z ? 是空集中,错误的个数是
2

3、若 A ? {? 2 , 2 , 3 , 4} , B ? { x | x ? t , t ? A} ,用列举法表示 B 4、集合 A={x| x2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若 B ? A,则 a=__________ 5、设全集 U= ? 2, 3, a ? 2 a ? 3 ,A= ? 2, b ? ,CUA= ? 5 ? ,则 a =
2

?

,b =



6、集合 A ? ?x | x ? ? 3或 x ? 3? , B ? ?x | x ? 1或 x ? 4 ? , A ? B ? ____________. 7、已知集合 A={x| x ? x ? m ? 0 }, 若 A∩R= ? ,则实数 m 的取值范围是
2

8、50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 40 人,化学实验做得正确 得有 31 人,两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有 人. 9、某班有学生 55 人,其中音乐爱好者 34 人,体育爱好者 43 人,还有 4 人既不爱好体育也不 第 12 页

爱好音乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 10、设集合 U={(x,y)|y=3x-1},A={(x,y)|
y?2 x ?1

人. =3},则 CUA= . . } ;若至少有一

11、集合 M={y∣y= x2 +1,x∈ R} ,N={y∣ y=5- x2,x∈ R} ,则 M∪N= 12、集合 M={a|
6 5?a

∈N,且 a∈Z},用列举法表示集合 M={
2

13、已知集合 A ? { x | ax 个元素,则 a 的取值范围 14、已知集合 A ? { x | ax

? 3 x ? 2 ? 0} 至多有一个元素,则 a 的取值范围


2

? 3 x ? 2 ? 0} 至多有一个元

素,若至少有一个元素,则 a 的取值范围 。 二、解答题(本大题包括 6 小题;满分 90 分)解答时要有答题过程! 15、(15 分)已知集合 A= ? x a x ? 3 x ? 2 ? 0, a ? R ? .
2

(1)若 A 是空集,求 a 的取值范围; (2)若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并把这个元素写出来; (3)若 A 中至多只有一个元素,求 a 的取值范围。 16、(13 分)已知全集 U=R,集合 A= ?x x ? px ? 2 ? 0 ?, B ? ?x x ? 5 x ? q ? 0 ?,
2 2

若 C U A ? B ? ?2 ? ,试用列举法表示集合 A。

17 、 (14 分 ) 设 A ? { x x ? 4 x ? 0} , B ? { x x ? 2 ( a ? 1) x ? a ? 1 ? 0} , 其 中 x ? R , 如 果
2 2 2

A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围。

18、(16 分)已知集合 A ? { x | x ? 3 x ? 2 ? 0} , B ? { x | x ? 2 ( a ? 1) x ? ( a ? 5 ) ? 0} ,
2 2 2

(1)若 A ? B ? { 2} ,求实数 a 的值;(2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围; 19 、 (14
2

分 ) 已 知 集 合 A ? { x | x ? x ? 2 ? 0} , B={x|2<x+1≤4} , 设 集 合
2

C ? { x | x ? bx ? c ? 0} ,且满足 ( A ? B ) ? C ? ? , ( A ? B ) ? C ? R ,求 b、c 的值。

人教版 高一

unit 1 good friends 全单元
711 更新时间:8/11/2007

作者:佚名 资源来源:其他网站 点击数:

ho is always so busy that he has little time for his friends.

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So +adjective / adv. + that + a sentence 如此. ……. 以至于…….. e.g. That shirt is so nice that I have to buy it even if I have to borrow some money from my friends. He did so well that he was praised by the boss. c . (phrase) a successful manager all over the world / country d. One day Chuck is on a flight across the Pacific Ocean when suddenly his plane crashes. “When” means “just at that time”. It is usually used in the following structures: a. be + prep. Phrase + when e.g. we were at work that afternoon when suddenly a fire broke out. b. be doing sth. + when… e.g. we were having a meeting when someone broke in angrily. c. be about to do sth. + when ….. e.g. I was about to go out when someone knocked at the door. e. Chuck survives the crash and lands on a deserted island. Survive: continue to live or exist in spite of nearly being killed or destroyed. Survive an earthquake, accident, etc. 幸存的人或物+survive+事故 / 事件 e.g. the plants may not survive the frost. Deserted: with no one present. A deserted street, area, etc. Desert n. 沙漠 d. all alone: all by himself or it means that only by himself. e. He has to learn how to collect water, hunt for food, and make fire. f. challenge: N. invitation or call to take part in a game, contest, fight, etc. to prove who is better or stronger, etc. challenge (to sb)(to do sth.) to issue / accept a challenge. Challenge V. challenge sb (to sth.) e.g. challenge sb to a game of tennis. Challenging adj. 具有挑战性的,激励的 e.g. a challenging job, test. g. In order to survive, Chuck develops a friendship with an unusual friend---a volleyball he calls Wilson. In order to do sth. means “ so as to” but “so as to” could not be used in a negative sentence. Develop a friendship with sb. h. He realizes that he hasn’t been a very good friend because he has always been thinking about himself. Realize(se): understand e.g. I realized that they had told the secret the others before they told it to us. Have / has been doing sth. 现在完成进行时 Think about and think of:

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作“考虑”和“想起”解时两者同意,可以互换使用。但是作“对……有看法”或“评价”时则只能使用 think of. e.g. do you ever think about your childhood? What do you think of the film? i. even if is equal to even though. 让步状语从句 j. He talks to him and treats him as a friend. Treat……. as(pre.)….. e.g. I decided to treat his words as jokes. k. share happiness and sorrow share: to have or use sth. with others. share sth. (with sb.) e.g. there is only one bedroom, so we have to share. I mean I have to share the bedroom with you. Sorrow: great sadness l. it is important to have someone to care about it is +adj. +to / for sb to do something e.g. it is difficult for us to pass CET 4 it is very kind of you to help me with my homework. m. Care about: be worried, concerned or interested. 忧虑,关心,惦念 e.g. People all over the world are caring about the future of Iraq. They don’t care about what will happen to the family. Care for: (一般用于疑问句和否定句) 喜欢或爱某人;照看,照顾某人; (否定句)对某人或某事物爱好或 喜爱 e.g. he cares for her deeply. Who will care for him if his wife dies? I don’t care much for opera. n. He also learns that he should have cared more about his friends. Should have cared: should have done, this is the subjunctive mood. It means that you should do something, but really you didn’t do that. o. We must give as much as we take. As + adj. / adv. +as + noun. / a sentence e.g. You should finish the work as early as possible. We will do the work as well as we can. Can you give me the apple as big as yours? p. human being: man, woman or child; person q. The lesson we can learn from Chuck and all the others who have unusual friends is that friends are teachers. 此句的基本结构是 the lesson is……..that…….. Who 引导的是定语从句修饰的是 all the others, 但 that 引导的是表语从句,在表语从句中必须使用陈述语 序。 e.g. the trouble is that I have lost his address. r. such as and for example: such as + noun. For example, +noun or sentence and the phrase for

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example can be used at the end of a sentence. e.g. many people, such as children and old men, lost their lives in the war. Many soldiers, for example, Lei Feng, have done very great deeds in their lives. s. friendship helps us understand who we are. help sb +to do / do sth. You may help me to finish the job. Period 5&6 Language study& Practicing Teaching aims: Learn the rules of transformation of the Direct and Indirect Speeches and transform them fluently and correctly. How to carry it out: 1. Greetings to the Ss. 2. Dictation of words & phrases. 3. “Word study” on Page 4. Fill in and then translate them. 4. “Vocabulary” on page 87 in WB. 5. Give instructions on the translation work and do “Vocabulary 3”. Let the Ss. hand it in. Grammar Study 当我们引用别人的话时。如果我们引用别人的原话,那么被引用的部分就叫直接引语,一般用“ ”引起来。如果 我们用自己把意思转述出来,那么这样的话称为间接引语。间接引语在多数情况下都构成一个宾语从句。由直 接引语转化成间接引语可以分成下面几种情况: 1、如果直接引语是一个陈述句,在变成间接引语时一是要用连词把主句和从句连接起来,that 可省略。二是 根据意思改变人称,三是直接引语的动词的时态要作相应的变动。四是根据意思将指示代词、地点及时间状语 等作必要的变动。 ⑴Lin Tao said, “I am ready.” Lin Tao said (that) he was ready. ⑵He said (to me), “I have left my book at home” He told me that he had left his book at home. ⑶She said, “I will come here again tonight.” She said (that) she would come there again that night. 2、在引用一个疑问句时,要用连词 whether 或 if 连接起来,不能省略。此外还要把人称、时态,时间和地点 状语作相应的变化,从句一定要用陈述语序。 He asked, “Can you come here tomorrow.” He asked (me) if I could go there the next day. He asked, “ are you a teacher?” He asked me whether / if I was a teacher. 3、如果直接引语是特殊疑问句,那么特殊疑问句作连词,连词不能省略,然后人称、时态、时间状语等仍需

第 16 页

适当的变化,引语的语序为陈述语序。 ⑴.He asked, “How are you getting along with your studies.” He said me how I was getting along with my studies. ⑵.She asked, “Where will you have lunch ,Tom.” She asked Tom where he would have lunch. (3) She said, “ what are you doing?” She asked me what I was doing. 时间改变可以用下表表示: 直接引语 间接引语 一般现在时 一般过去时 现在进行时 过去进行时 一般将来时 过去将来时 一般过去时 过去完成时 现在完成时 过去完成时 过去完成时 过去完成时 现在完成进行时 过去完成进行时 注意:如果直接引语表达的是客观事实,或当时直接转述,时态不用变。如: The teacher told us that the earth turns around the sun. 4、一些常用词改变规律表: 在直接引语中 在间接引语中 指示代词 This That These Those 表时间的词 Now Then Today that day This week(month ,etc) that week(month) Yesterday the day before Last week(month) The week (month etc) before Three days (a year, etc) ago three days (a year etc) before Tomorrow the next (following)day Next week(month) the next (following)week 地点 Here There 动词 Come Go 5、如果直接引语是祈使句,将 say 变为 ask 或 tell 等,直接在动词前加“to” 。否定式加 not to,这个请求 或命令由一个复合宾语表示出来。 He said, “Come in, please.” He asked me to come in. He said, “Don’t do that again ,Peter.” He told Peter not to do that again. Grammar exercises 1:

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Ask someone to answer. 1. Do “Grammar” 1 on Page 5 in SB, paying enough attention to the students’ common errors. 2. Do “Grammar” 1 on Page 87 in WB. 3. Do “Grammar” 2 & 3 individually, in pairs, or in groups. Of course, this part can be assigned for the students’ homework. 4. “Grammar” 2 on Page 5-6 in SB is optional. You may do it by way of pair work or group work, or even simply omit it. But in this part, I should emphasize some words and phrases: be angry with sb. miss sth / sb. reef: 焦,焦脉. not any longer=not any much take care of =look after I am scared. Homework: Finish Question 2 on page 87 after class. And check it next period. Period 7 & 8 Integrating skills &Assessing Teaching aims: how to compose an E-mail How to carry it out: 1. Greetings to the Ss. 2. Homework checkup/analysis Point out some common problems coming forth in Ss.’ homework. 3. Reading and Writing on page 6 & 7 on the Ss.’ Book. Study the instruction and read the two quoted messages to decide whom of the two to make friends with. Pay special attention to the following words and phrases: e-pal, click it away, drop sb. line 4. “E-mail” writing formula To: Subject: Attachments: The body: Date Hi/Dear…… ……………… ……………… ……………… Your signature

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5. Get the Ss. finish writing on page 7 & 90. 6. Finish “Reading” on page 88 & 89. 7. Assessing Handouts for Ss. to self assess. Add some other items. Homework: 1. Ask the Ss. to write an E-mail to me. 2. Preview the new unit especial the new words.

第 19 页



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