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数学物理方法习题


数学物理方法习题
一、 复变函数

1、 填空题
(1)函数 f (z)=e iz 的实部 Re f (z)=______________。

(2)ln1=_________. (3) e ix ? _________。
(4)求积分

?

sin z dz =______ . z ?1 z 2

(5) 求积分 ? z ?1

cos z dz ? _________。 z
zn ,求级数的收敛半径_______________。 n
1 ) 2 zn
n

(6)设级数为 ?
n ?1
?

?

(7).设级数为 ? (z n ?
n ?1

,求级数的收敛区域_________。

(8)求积分 ? z ?1

dz =___________. z

(9) 求积分 ? z ?1

dz =____________. z

(10)设 f (z)=

cos z , 求 Resf (0)= _________。 z9

2、计算题 (1)导出极坐标下的 C- R 条件:
? ?u 1 ?v ? ? ? ?? ? ?? ? ?v 1 ?u ? ?? ? ? ?? ? ??

(2) 己知解析函数的实部 u(虚部 v),求此解析函数:

a、 u ? e cos x, c、 v ? e
?x

?y

y v ? ? b、 x2 ? y2

?x cos y ? y sin y ?

(3)设 f (z) 是区域 D 内的解析函数,且 f (z) 的模∣f (z)∣为常 数,证明 f (z) 在 D 内为常数。 (4) 设 f (z) 是区域 D 内的解析函数,且 f *(z)也是区域 D 内的解析 函数,则 f (z)必常数。 (5) 求函数 f (z)=
z ?1 在下列区域 z ( z ? 1)
2

ⅰ)

0<∣z∣< 1; ⅱ) 1<

∣z∣<∞ 的 Laurent 展开。 (6)求出下列函数的奇点,并确定它们的类别

1 a、 sin z ? cos z
(7) 求下列积分

b 、e

z?

1 z

c

z 2n 、 1? zn

n 为正整数.

sin x a、 ? x ( x 2 ? 1) dx, 0
b、

?

?

s in z
z ?2

?? ? ?z ? ? 2? ?

2

dz

cos ax ? cosbx dx, a ? 0, b ? 0, 且a ? b c、 ? 2 x 0
d、

?

?

?

0

a cos x ? x sin x dx 2 2 x ?a ω

(二) 积分变换

1、填空题
(1)函数 f (t) 的 Fourier 变换的像函数为 F ?? ? ? ? ?? ? ?0 ? , 求 f (t)=____________。 (2)函数 f (t) 的 Fourier 变换的像函数为 F(ω ) ,求 原函数为____________。 (3)设 Laplace 变换 L[f(t)]=F(p),求 L[-tf(t)]=_________.
? t ? (4) 求 L ? sin at? =____________。 ? 2a ?
dF ?? ? 对应的 d?

2、计算题 (1) 求 函 数 f ( x) ? e
?

?? x

( β >0 ) 的

Fourier 变 换 , 证 明

c o?s x ? ?? d ? ? e 2 ? 2? ??2 0 ?

x

(2) 设

f ?x ? ? cos?0 x ? H ?x ?, 求F ? f ?x ??
.

(3) 己知某函数的傅氏变换为 F(ω )=sinω /ω ,求该函数 f(x). (4) 求下列函数的拉氏变换式:

1. f ?t ? ? t cos at,2. f ?t ? ? e sin t ,3. f ?t ? ?
?t

e 3t t

(5) 求下列函数的拉氏逆变换式:

1 、F ? p ? ?

1 1 p ?1 ? ? ? ? , 2 、F p ? , 3 、F p ? ln p ?1 p2 ?1 ? p ? 1?2

(6) 利用拉氏变换求解下列微分方程:

1 、f

?t ? ? at ? ? sin?t ? ? ? f ?? ?d?
0

t

? y '' ? 2 y ' ? y ? 0 2 、 ? ? y ?0 ? ? 0, y ?1? ? 2
(7)利用拉氏变换求下列积分
e ? t ? e ?2 t 1 、 dt ? t 0
?



2、 ?

?

1 ? cos t t e dt t 0

(三) 数学物理方程

练习题 1、填空题
(1)长为 L 的均匀细杆,一端绝热, 另一端保持恒度 u0 ,试写出此热传导问题
的边界条件_________,_________。 (2)长为 L 的均匀杆作纵振动时,一端固定,另一端受拉力 F0 而伸长,试写 出杆在撒去力 F0 后振动时的边界条件_________,_________ (3)长为 L 的均匀细杆, 一端有恒定热流 q0 流入, 另一端保持恒温 T0 , 试写 出此热传导问题满足的边界条件____________, _________ 。 (4). 长为 L 的均匀杆, 一端固定, 另一端受拉力 F 而伸长, 放手后让其自由 振动, 试写出杆振动满足的初始条件 =____________,_________。 (5)对球函数 YLm(θ φ ), 当 m >L 时, 为 YLm(θ φ )______。 (6)对 m 阶贝塞尔函数 Jm(x) ,

dJ 0 ?0? ? ____ , J0(0)=____ 。 dx

(7)无限长弦的自由振动,设弦的初始位移为 Sin(kx), 初始速度为零, 则弦上 任意时刻的波动为______________ 。 (其中 a 为弦上的波速 ,k 为波矢的 大小) (8)无限长弦的自由振动,设弦的初始位移为φ (x), 初始速度为 aφ ,(x), (a 为 弦上的波速)则弦上任意时刻的波动为______________。 (9)稳定的温度场的温度分布 u 满足的数学物理方程为_____________ 。

(10)对 m 阶贝塞尔函数 Jm(x) , x J 1 ?x ?dx ? ____ 。

?

4

2 ( (11) 对 L 阶勒让德多项式 P( , 积分 ? x P 3 x)dx =___________. L x) ?1

1

(12)对 L 阶连带勒让德多项式 PLm ( x) ,当 m>L 时, PLm ( x) =______ .

(13)半径为 R 的园形薄膜, 边界固定, 当其振动时的最低本征频

率为___________.

2、计算题
(1)
试用分离变量法求出下列定解问题的通解,并确定系数.

2 ? ? 2u 2 ? u ?a ?0 ? 2 2 ? t ? x ? u ?0, t ? ? 0, u ?l , t ? ? 0 , ?0 ? x ? l.0 ? t ? ? ?u ? x,0 ? ? ? ? x ?, u ? x,0 ? ? ? ? x ? t ? ?

(2) 试用分离变量法求出下列定解问题的通解,并确定系数.

2 ? ?u 2 ? u ?a ?0 ? 2 ? t ? x ? ?u ?0, t ? ? 0, u ?l , t ? ? 0 , ?0 ? x ? l.0 ? t ? ? u ? x ,0 ? ? ? ? x ? ? ?

(3)求解下列定解问题
2 ? ? 2u 2 ? u ?a ?0 ? 2 2 ?t ?x ? ?u ?0, t ? ? 0, u x ?l , t ? ? sin ?t ? u ? x,0 ? ? 0, u ? x,0 ? ? 0 t ? ?

( ω 为常数,0<x<L , 0< t )
(4)求解下列定解问题 Utt—a2Uxx = A Sinω t U(0 ,t)=0 , U(L, t)=0 U(x, 0)=0, Ut(x, 0)=0 (5)求解下列定解问题 Ut-a2Uxx =0 U|x=0 = 0 , U|x=L= ASinω t, U|t=0= 0 (6)求解下列定解问题 (0≤x≤L, t>0 ) (A 、ω ,为常数) (A,ω 为常数)

Utt-a2Uxx = 0

U|x=0 =0, U|x=L= ASinω t U|t=0= 0 , Ut∣t=0 = 0 ( 其中 A 、ω 为常数, (7)求解下列定解问题 0<x<L , 0< t )

Ut-a2Uxx =-bUx U(0 ,t)=0 , U(L, t)=0 U(x, 0)= φ (x) ( 其中 a,b 为常数, 0<x<L , 0< t )

(8)在 x0=0 的邻域试用级数解法求微分方程:

y '' ? ? 2 y ? 0
(10)在 x0=0 的邻域试用级数解法求微分方程:

y '' ? ?y ? 0
(11)在 x=0 的邻域上用级数解法求解方程

d2y dy x ? x ? l (l ? 1) y ? 0 2 dx dx
2

(12)在 x=0 的邻域上用级数解法求解方程

d2y ? xy ? 0 dx 2

(13) 一个半径为 R 的导体球放入均匀电场中, 原均匀电场的场强为 E0, △U= 0 U∣r=R= 0 r →∞ ,U→ -E0 rcosθ 求空间的电势分布 , 已知定解问题为,

(14)匀质圆柱半径为 R, 高为 L .上底有均匀分布的热流 q 流入 , 下底保持温度为 u0 ,侧面温度分布零,求解柱内的稳定温度分布 . 定解问题为 Δ U=0 U|z=0 = u0,Uz| z =L= q /k , U|ρ =R= 0

2 (15)一个半径为 R 的介质球,球面的电势分布为 u0 cos ? ,

试求球内外的电势分布 ,已知定解问题为:

?u ? 0 ? ? 2 u | ? u cos ? ? r ?R 0 r ? ?, u ? 0

(16)匀质圆柱半径为 R, 高为 L 。上底温度保持 u1 , 上底温度保 持 u2 ,侧面温度分布为 f(z) ,求柱内的稳定温度分布 。

u ? ? ,0 ? ? u1
定解问题为:

?u ? 0

u ?? , H ? ? u 2

u ?R, z ? ? f ? z ?
(17)半径为 R 的半球的球面保持恒温 u1 , 另一半球保持 0 度 , 求 解球内的温度分布 ,已知定解问题为: △U=0 U∣r=R =u1( 0≤θ <π /2) U∣r=R =0 (π /2<θ ≤ π ) U│r=0 有限

(18)匀质圆柱半径为 R, 高为 L .上底保持温度为 u

1

,下底

保持温度为 u2,侧面温度分布为 u2 , 求解柱内的稳定温度分布 . 定解问题为

? ?u ? 0 ? ?u |z ? 0 ? u2 , u |z ? L ? u1 ? ?u |? ? R ? u2 ? ? ? 0, ?
u 有限

(19)用积分变换求解下列定解问题

? ? 2u ? xy, ? ?x?y ? ?u | x ? 0 ? y ? 1, ?0 ? y ? ? ? ? u| , ?0 ? x ? ? ? y ?0 ? 1 ? ?
(20)利用 Fourier 变换求解下列定解问题

? 2u ? 2u ? ?0 ?x 2 ?y 2 u ( x ,0 ) ? f ( x )

lim u ? 0
x 2 ? y 2 ??

( -∞<x <∞, y >0 )



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