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高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 微点突破 三角函数解三角形中的实际应用问题课件 理_图文

微点突破 三角函数、解三角形中的实际 应用问题 【例】 (2013· 江苏卷)如图,游客从某旅游景区的 景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿 直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C. 假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 12 3 1 260 m,经测量,cos A=13,cos C=5. (1)求索道 AB 的长; (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙 步行的速度应控制在什么范围内? 解 12 3 (1)在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= , 13 5 5 4 所以 sin A=13,sin C=5. 从而 sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C) 5 3 12 4 63 =sin Acos C+cos Asin C=13×5+13×5=65. AB AC 由正弦定理sin C=sin B,得 1 260 4 AC AB=sin B·sin C= 63 ×5=1 040(m). 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了 (100+50t)m,乙距离 A 处 130t m, 所以由余弦定理得 12 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×13 =200(37t2-70t+50), 1 040 因 0≤t≤ ,即 0≤t≤8, 130 35 故当 t=37(min)时,甲、乙两游客距离最短. BC AC (3)由正弦定理 = , sin A sin B 1 260 5 AC 得 BC= · sin A= × =500(m). sin B 63 13 65 乙从 B 出发时,甲已走了 50× (2+8+1)=550(m), 还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min, 500 710 1 250 625 由题意得-3≤ v - 50 ≤3,解得 43 ≤v≤ 14 , 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分 ?1 250 625? 钟,乙步行的速度应控制在? 43 , 14 ?(单位:m/min) ? ? 范围内. 探究提高 与解三角形有关的应用题常见两种情形:一是 实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个 三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;二是实际问题 经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上三角 形,这时需要作出这些三角形,然后逐步求解其他三角形, 有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方 程(组)得出所要的解. 【训练 1】 如图,现有一个以∠AOB 为圆心角、湖岸 OA ︵ 与 OB 为半径的扇形湖面 AOB.现欲在AB上取不同于 A, ︵ ︵ ︵ B 的点 C,用渔网沿着AC(AC在扇形 AOB 的AB上)、半径 OC 和线段 CD(其中 CD∥OA)在该扇形湖面内隔出两个 养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若 OA=1 km, π ∠AOB= ,∠AOC=θ. 3 (1)用 θ 表示 CD 的长度; ︵ (2)求所需渔网长度(即图中AC、半径 OC 和线段 CD 长度之和) 的取值范围. π 解 (1)由 CD∥OA,∠AOB= 3 ,∠AOC=θ, 2π π 得∠OCD=θ,∠ODC= 3 ,∠COD= 3 -θ. 在△OCD 中,由正弦定理, ? ? π? 2 3 ? ?π ? ? 得 CD= 3 sin? -θ?,θ ∈?0, ? . 3? ?3 ? ? ? (2)设渔网的长度为 f (θ). ? 2 3 ? ?π 由(1)可知,f (θ)=θ+1+ 3 sin? -θ? ?, 3 ? ? ? 2 3 ? ?π 所以 f ′(θ)=1- cos? -θ? , ? 3 ?3 ? 因为 ? π ? θ∈?0, 3 ? ? π ? ?,所以 3 ? ? π ? -θ∈?0, 3 ? ? ? ?. ? 令 f ′(θ)=0,得 ?π ? cos?3-θ?= ? ? 3 , 2 π π π 所以 3 -θ= 6 ,即 θ= 6 . 列表如下: θ f ′(θ) f (θ) 且 f (0)=2,f 所以 f ?π ? ?6 ? ? π ? ?= ? ? π ? ?0, 6 ? ? ? ? ? π 6 0 极大值 ?π ? ?6 ? π? ? ,3? ? - + ?π ? π +6+2 3 ? ,f ? ? 3 ?= 3 +1, 6 ? ? ? π ? (θ)∈?2, ? +6+2 3? ? ?. 6 ? +6+2 3? ? (单位:km). ? 6 ? ? π ? 故所需渔网长度的取值范围是?2, ? 【训练2】 (2017· 徐、宿、连、淮摸底)某城市有一直角梯形绿 地ABCD,其中∠ABC=∠BAD=90°,AD=DC=2 km,BC =1 km.现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF,将 绿地分成面积相等的两部分. (1)如图1,若E为CD的中点,F 在边界AB上,求灌溉水管EF 的长度; (2)如图2,若F在边界AD上,求灌溉水管EF的最短长度. 解 (1)因为 AD=DC=2, BC=1, ∠ABC=∠BAD=90°, 所以 AB= 3. 3 如图 1,取 AB 的中点 G,连接 EG,则 EG=2, 则四边形 BCEF 的面积为 1 2S 梯形 ABCD=S 梯形 BCEG+S△EFG, 1 1 1 3 ? 3


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