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选修1-1《圆锥曲线与方程》基础训练题1


(数学选修 1-1)第二章
[基础训练 A 组] 一、选择题
1. 已知椭圆

圆锥曲线

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 , 25 16

则 P 到另一焦点距离为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 2. 若椭圆的对称轴为坐标轴, 长轴长与短轴长的和为 18 , 焦距为 6 , 则椭圆的方程为 ( A.



x2 y2 ? ?1 9 16 x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25

B.

x2 y2 ? ?1 25 16

C.

D.以上都不对 )

3.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 4.设双曲线的半焦距为 c ,两条准线间的距离为 d ,且 c ? d , 那么双曲线的离心率 e 等于( ) A. 2
2

B. 3

C. 2 )

D. 3

5.抛物线 y ? 10x 的焦点到准线的距离是( A.

15 D. 10 2 2 6.若抛物线 y ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为(
B. 5 C. A. (7, ? 14) B. (14, ? 14) C. (7, ?2 14) D. (?7, ?2 14)

5 2

) 。

二、填空题
1.若椭圆 x ? my ? 1 的离心率为
2 2

3 ,则它的长半轴长为_______________. 2

2.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________。

3.若曲线

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k



4.抛物线 y 2 ? 6 x 的准线方程为_____. 5.椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ? 。

三、解答题
1. k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x2 ? 3 y 2 ? 6 有两个公共点?有一个公共点? 没有公共点?

2.在抛物线 y ? 4 x2 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。

3 ,4 ) 3. 双曲线与椭圆有共同的焦点 F 点 P( 1 (0, ?5), F 2 (0,5) ,
个交点,求渐近线与椭圆的方程。

是双曲线的渐近线与椭圆的一

x2 y 2 ? 2 ? 1(b ? 0) 上变化,则 x2 ? 2 y 的最大值为多少? 4.若动点 P( x, y) 在曲线 4 b

(数学选修 1-1) 第二章 圆锥曲线
一、选择题

[基础训练 A 组]

1.D 点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a ? 10,10 ? 3 ? 7 2.C

2a ? 2b ? 18, a ? b ? 9, 2c ? 6, c ? 3, c2 ? a2 ? b2 ? 9, a ? b ? 1
得 a ? 5, b ? 4 ,?

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25

3.D

PM ? PN ? 2, 而MN ? 2 ,? P 在线段 MN 的延长线上
2a 2 c2 ? c, c 2 ? 2a 2 , e2 ? 2 ? 2, e ? 2 c a
2 p ? 10, p ? 5 ,而焦点到准线的距离是 p

4.C

5.B

6.C 点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x ? ?2 的距离,得 xP ? 7, y p ? ?2 14 二、填空题 1. 1, 或2 当 m ? 1 时,

x2 y 2 ? ? 1, a ? 1 ; 1 1 m

当 0 ? m ? 1 时,

y 2 x2 a 2 ? b2 3 1 1 ? ? 1, e 2 ? ? 1 ? m ? , m ? , a 2 ? ? 4, a ? 2 2 1 1 a 4 4 m m
设双曲线的方程为 x2 ? 4 y 2 ? ?,(? ? 0) ,焦距 2c ? 10, c2 ? 25

x2 y 2 ? ? ?1 2. 20 5

当 ? ? 0 时,

x2

?

?

y2

?

? 1, ? ?

?
4

? 25, ? ? 20 ;

4
当 ? ? 0 时,

y2 ?

?
4

?

x2 ? ? 1, ?? ? (? ) ? 25, ? ? ?20 ?? 4

3. (??, ?4) 4. x ? ?

(1, ??)

(4 ? k )(1 ? k ) ? 0,(k ? 4)(k ?1) ? 0, k ? 1, 或k ? ?4
p 3 ?? 2 2

3 2

2 p ? 6, p ? 3, x ? ?

5. 1

y 2 x2 5 ? ? 1, c 2 ? ? 1 ? 4, k ? 1 焦点在 y 轴上,则 5 1 k k

三、解答题 1.解:由 ?

? y ? kx ? 2 ?2 x ? 3 y ? 6
2 2

,得 2 x2 ? 3(kx ? 2)2 ? 6 ,即 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 12kx ? 6 ? 0

? ? 144k 2 ? 24(2 ? 3k 2 ) ? 72k 2 ? 48
当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 k ?
2

6 6 时,直线和曲线有两个公共点; , 或k ? ? 3 3 6 6 时,直线和曲线有一个公共点; , 或k ? ? 3 3

当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 k ?
2

当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 ?
2

6 6 时,直线和曲线没有公共点。 ?k? 3 3

2.解:设点 P(t , 4t ) ,距离为 d , d ?
2

4t ? 4t 2 ? 5 17

?

4t 2 ? 4t ? 5 17

当t ?

1 1 时, d 取得最小值,此时 P ( ,1) 为所求的点。 2 2

3.解:由共同的焦点 F 1 (0, ?5), F 2 (0,5) ,可设椭圆方程为

y2 x2 ? ? 1; a 2 a 2 ? 25

16 9 y2 x2 ? 1, a 2 ? 40 ? 1 ,点 P(3, 4) 在椭圆上, 2 ? 2 双曲线方程为 2 ? 2 a a ? 25 b 25 ? b
双曲线的过点 P(3, 4) 的渐近线为 y ?

b 25 ? b
2

x ,即 4 ?

b 25 ? b
2

? 3, b2 ? 16

所以椭圆方程为

y 2 x2 y 2 x2 ? ? 1 ;双曲线方程为 ? ? 1 40 15 16 9
2 2

4.解:设点 P(2cos ? , b sin ? ) , x ? 2 y ? 4cos

? ? 2b sin ? ? ?4sin 2 ? ? 2b sin ? ? 4
b 4

2 2 令 T ? x ? 2 y,sin ? ? t ,(?1 ? t ? 1) , T ? ?4t ? 2bt ? 4,(b ? 0) ,对称轴 t ?



b b ? 1,即b ? 4 时, Tmax ? T |t ?1 ? 2b ;当 0 ? ? 1, 即0 ? b ? 4 时, 4 4

Tmax

b2 ?T | b? ?4 t? 4 4

? b2 ?b? 4 ? ?4, 0 ? ( x 2 ? 2y m ) a x? ? 4 ?2b ,b ? 4 ?



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