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2018版高考数学(文)(人教)大一轮复习配套课件:第二章-函数概念与基本初等函数I-第5讲


? 第5讲

指数与指数函数

基础诊断

考点突破

课堂总结

最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景; 2.理解有理指数 幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;3.理解 指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊 1 1 点,会画底数为 2,3,10,2,3的指数函数的图象;4.体会 指数函数是一类重要的函数模型.

基础诊断

考点突破

课堂总结

知识梳理
1.根式

根式 ,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开 (1)概念:式子 a叫做______
方数. (2)性质:( a) =a(a 使 a有意义);当 n 为奇数时, an=a, 当 n 为偶数时, a n
n

n

n

n

n

n

? ?a,a≥0, =|a|=? ? ?-a,a<0.

基础诊断

考点突破

课堂总结

2.分数指数幂
m

am (a>0,m,n (1)规定:正数的正分数指数幂的意义是 a n =______ 1
m a ∈N ,且 n>1);正数的负分数指数幂的意义是 a n =____
*


n

m

n

(a>0,m,n∈N*,且 n>1);0 的正分数指数幂等于 0;0 的负分数

没有意义 指数幂__________.
r ars;(ab)r=___ ar+s;(ar)s=____ arb, (2)有理指数幂的运算性质:aras=____

其中 a>0,b>0,r,s∈Q.

基础诊断

考点突破

课堂总结

3.指数函数及其性质

(1)概念:函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是变
量,函数的定义域是R,a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1

图象

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考点突破

课堂总结

定义域 值域

R
(0,+∞) __________ (0,1) ,即x=0时,y=1 过定点________ y>1 ; 当x>0时,____ y>1; 当x<0时,___ 0<y<1 当x>0时,______

性质

0<y<1 当x<0时,______

增函数 在(-∞,+∞)上是减函数 在(-∞,+∞)上是_______ ______

基础诊断

考点突破

课堂总结

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1) (-4)4=-4.(
2 1

精彩PPT展示

4

) ) ) )

(2)(-1)4=(-1)2= -1.( (3)函数 y=2x-1 是指数函数.(

(4)函数 y=ax2+1(a>1)的值域是(0,+∞).(

基础诊断

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课堂总结

解析

4 (1)由于 (-4)4= 44=4,故(1)错.
2

4

(2)(-1)4= (-1)2=1,故(2)错. (3)由于指数函数解析式为 y=ax(a>0,且 a≠1), 故 y=2x-1 不是指数函数,故(3)错. (4)由于 x2+1≥1,又 a>1, ∴ax2+1≥a.故 y=ax2+1(a>1)的值域是[a,+∞),(4)错.

4

答案 (1)× (2)×

(3)× (4)×

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考点突破

课堂总结

2.(必修 1P52 例 5 改编)化简[(-2)6]2-(-1)0 的结果为( A.-9
1

1

)

B.7

C.-10

D.9

解析 原式=(26)2-1=8-1=7.
答案 B

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课堂总结

3.函数y=ax-a-1(a>0,且a≠1)的图象可能是( D )

解析

1 1 x 函数 y=a -a是由函数 y=a 的图象向下平移a个单位长
x

1 度得到,A 项显然错误;当 a>1 时,0<a<1,平移距离小于 1, 1 所以 B 项错误;当 0<a<1 时,a>1,平移距离大于 1,所以 C 项 错误,故选 D.
基础诊断 考点突破 课堂总结

4.(2015· 山东卷)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大 小关系是( )

A.a<b<c
C.b<a<c 解析

B.a<c<b
D.b<c<a

根据指数函数y=0.6x在R上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60

=1,而c=1.50.6>1,∴b<a<c. 答案 C

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课堂总结

5.指数函数y=(2-a)x在定义域内是减函数,则a的取值范

围是________.
解析 由题意知0<2-a<1,解得1<a<2. 答案 (1,2)

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点一

指数幂的运算
3 a3b2 ab2

【例 1】 化简:(1) 1 1 1 1(a>0,b>0); (a4b2)4a-3b3
1 ? 27 - (2)?- 8 ? 3+(0.002) 2-10( ? ?

?-

2

5-2) 1+( 2- 3)0.




(a3b2a3b3)2 3 1 1 1 1 + -1+ -1 1+ -2- (1)原式= b = ab . 1 1 =a2 6 3 3 3 ab2a-3b3

1 2

1

基础诊断

考点突破

课堂总结

? 27? - ? 1 ?- (2) 原式= ?- 8 ? 3 + ?500? 2 - ? ? ? ?

2

1

1 ? 8 ?3 10 + 1 = ?-27? + 500 2 - ? ? 5-2

2

4 167 10( 5+2)+1=9+10 5-10 5-20+1=- 9 .

规律方法

(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统

一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:①必 须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. (3) 运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有

分母又含有负指数.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练 1】 化简求值:
? 3?0 ? 1?- -2 (1)?25? +2 ·?24? 2-(0.01)0.5; ? ? ? ?
1

(a3·b-1)-2·a-2·b3 (2) . 6 a·b5

2

1

1

1

基础诊断

考点突破

课堂总结

1 ?4?2 ? 1 ?2 解 (1)原式=1+4×?9? -?100? ? ? ? ? 1 2 1 1 1 16 =1+4×3-10=1+6-10=15.
1 1 1 1

1

1

a-3b2·a-2b3 1 1 1 1 1 5 1 - - - + - (2)原式= =a 3 2 6·b2 3 6=a. 1 5 a6b6

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点二

指数函数的图象及应用

【例2】 (1)函数f(x)=1-e|x|的图象大致是(

)

(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围 是________.

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析 (1)f(x)=1-e|x|是偶函数,图象关于y轴对称,又e|x|≥1,
∴f(x)的值域为(-∞,0],因此排除B、C、D,只有A满足. (2) 曲线|y|=2x+ 1与直线y =b的图象如图所示,由图象可知: 如果 |y| = 2x + 1 与直线 y = b 没有公共点,则 b 应满足的条件是 b∈[-1,1].

答案 (1)A (2)[-1,1]
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

(1)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从

最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变 换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意 分类讨论.

(2)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指
数型函数图象,数形结合求解.

基础诊断

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【训练 2】 (1)(2017· 福建五校联考)定义运算 函数 f(x)=1⊕2x 的图象是( )

? ?a,a≤b, a⊕b=? 则 ? ?b,a>b,

(2)方程2x=2-x的解的个数是________.
基础诊断 考点突破 课堂总结

解析 则

(1)因为当 x≤0 时,2x≤1;当 x>0 时,2x>1. A 满足.

x ? 2 ,x≤0, ? x f(x)=1⊕2 =? 图象 ? ?1,x>0,

(2)方程的解可看作函数 y=2x 和 y=2-x 的图象交点的横坐标, 分别作出这两个函数图象(如图). 由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解.

答案 (1)A (2)1
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点三 指数函数的性质及应用(易错警示)
【例 3】 (1)下列各式比较大小正确的是( A.1.72.5>1.73 C.0.8
-0.1

)

B.0.6-1>0.62 D.1.70.3<0.93.1

>1.250.2

(2)已知函数

?1?ax2-4x+3 f(x)=?3? . ? ?

①若 a=-1,求 f(x)的单调区间; ②若 f(x)有最大值 3,求 a 的值; ③若 f(x)的值域是(0,+∞),求 a 的值.

基础诊断

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(1)解析

A 中,∵函数 y=1.7x 在 R 上是增函数,2.5<3,

∴1.72.5<1.73,错误; B 中,∵y=0.6x 在 R 上是减函数,-1<2,∴0.6-1>0.62,正确; C 中,∵(0.8)-1=1.25,∴问题转化为比较 1.250.1 与 1.250.2 的大 小.∵y=1.25x 在 R 上是增函数,0.1<0.2,∴1.250.1<1.250.2, 即 0.8-0.1<1.250.2,错误; D 中,∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1,∴1.70.3>0.93.1,错误.故选 B.

答案 B

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)解

①当 a=-1

?1?-x 时,f(x)=?3? ? ?

2-

4x+3



令 u=-x2-4x+3=-(x+2)2+7. 在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减, 而
?1?u y=?3? 在 ? ?

R 上单调递减,所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,

在(-2, +∞)上单调递增, 即函数 f(x)的递增区间是(-2, +∞), 递减区间是(-∞,-2).

基础诊断

考点突破

课堂总结

②令 h(x)=ax

2

?1?h(x) -4x+3,y=?3? ,由于 ? ?

f(x)有最大值 3,

?a>0, ? 所以 h(x)应有最小值-1,因此必有?12a-16 解得 a=1, =-1, ? ? 4a 即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1. ③由 f(x)的值域是(0,+∞)知,ax2-4x+3 的值域为 R, 则必有 a=0.

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规律方法

(1) 比较指数式的大小的方法是:①能化成同底

数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;②不能化 成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小. (2) 求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数 函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复

合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都
要借助“同增异减”这一性质分析判断. 易错警示 在研究指数型函数的单调性时,当底数 a与 “1”

的大小关系不确定时,要分类讨论.

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【训练 3】 (1)(2015· 天津卷)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x-m| -1(m 为实数)为偶函数, 记 a=f(log0.53), b=f(log25), c=f(2m), 则 a,b,c 的大小关系为( A.a<b<c C.a<c<b
1

) B.c<a<b D.c<b<a

? ?x3,x≥8, (2)设函数 f(x)=? 则使得 f(x)≤3 成立的 x 的取值范 x-8 ? ?2e ,x<8, 围是________.

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解析

(1)由函数 f(x)=2|x-m|-1 为偶函数,得 m=0,

所以 f(x)=2|x|-1,当 x>0 时,f(x)为增函数, log0.53=-log23,所以 log25>|-log23|>0, 所以 b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m)=f(0),故 b>a>c,选 B. 1 (2)当 x≥8 时,f(x)=x3≤3,∴x≤27,即 8≤x≤27; 当 x<8 时,f(x)=2ex-8≤3 恒成立,故 x<8.综上,x∈(-∞,27].

答案 (1)B (2)(-∞,27]

基础诊断

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[思想方法]
1.根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以 互化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算. 2.判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令x=1得 到底数的值再进行比较.

3. 指数函数的单调性取决于底数 a 的大小,当底数 a 与 1 的大小
关系不确定时应分0<a<1和a>1两种情况分类讨论.

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[易错防范]
1.对与复合函数有关的问题,要弄清楚复合函数由哪些基本 初等函数复合而成,并且一定要注意函数的定义域. 2.对可化为a2x+b· ax+c=0或a2x+b· ax+c≥0(≤0)形式的方程 或不等式,常借助换元法解题,但应注意换元后“新元” 的范围.

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