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2015届高三理科数学最新模拟试卷及答案


2015 届高三级理科数学最新模拟试试卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1.已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则?U(A∪B)=( A.{6,8} B.{5,7} C.{4,6,7} D.{1,3,5,6,8} 2.设 i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭复数,若 z·z i+2=2z,则 z=( A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i ) )

数学(理科)

x+y≤8, ? ?2y-x≤4, 3.若变量 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0, A.48 4.方程 B.30

且 z=5y-x 的最大值为 a,最小值为 b,则 a-b 的值是(

)

C.24

D.16 ) D.m<-3 或 m>1 )

=1 表示双曲线,则 m 的取值范围是( B.m>1 C.-3<m<1

A.m>-3

8 5.若向量 a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且 a 与 b 的夹角余弦值为 ,则 λ 等于( 9 A.2 B.-2 2 C.-2 或 55 2 D.2 或- 55

6.一工厂生产了某种产品 24000 件,它们来自甲、乙、丙 3 条生产线,现采用分层抽样的方法对这批产品进行 抽样检查.已知从甲、乙、丙 3 条生产线依次抽取的个体数恰好组成一个等差数列,则这批产品中乙生产线 生产的产品数量是( ) A.12000 B.6000 C.4000 D.8000 7.设 α 是空间中的一个平面,l,m,n 是三条不同的直线,则下列命题中正确的是( ) A.若 m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α B.若 m?α,n⊥α,l⊥n,则 l∥m C.若 l∥m,m⊥α,n⊥α,则 l∥n D.若 l⊥m,l⊥n,则 n∥m 8.已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集 合 M 是“理想集合”,则下列集合是“理想集合”的是( ) 1 A.M={(x,y)|y= } B.M={(x,y)|y=cosx} x C.M={(x,y)|y=x -2x+2}
2

D.M={(x,y)|y=log2(x-1)}

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 x ? 2 ? x ? 2 ? 6 的解集为 10.曲线 y ? ln(5 x) ? 2 在点 ( , 2) 处的切线方程为 。 。

1 5

11.某农科院在 3 行 3 列 9 块试验田中选出 3 块种植某品种水稻进行试验,则每行每列都有一块试验田种植水 稻的概率为________.

1

12.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 sin2B+sin2C-sin2A+sinBsinC=0,则 tanA 的值是 13.若等差数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a9 ? a10 ? a11 ? a12 ? 2ln 5 , 则

ea1 ? ea2 ?

? ea20 ?



(二)选做题(14~15 题,考生从中选做一题) π 14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 圆 ρ=4cosθ 的圆心 C 到直线 ρsin(θ+ )=2 2的距离为________. 4 15.(几何证明选讲选做题)如图,PAB、PCD 为⊙O 的两条割线,若 PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则 BD 等于________.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.( 本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= 3sinxcosx-cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)当 x∈[0, ]时,求函数 f(x)的最大值及相应的 x 的值. 2

17. (本小题满分 13 分)某数学老师对本校 2013 届高三学生的高考数学成绩按 1︰200 进行分层抽样抽取了 20 名学生的成绩,并用茎叶图记录分数如图所示,但部分数据不小心丢失,同时得到如下所示的频率分布 表:

分数段 (分) 频数 频率

[50,70)

[70,90)

[90,110)

[110,130) b

[130,150]

总计

a

0.25

2

(1)求表中 a, b 的值及分数在[90,100)范围内的学生人数, 并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率(分 数在[90,150]内为及格); (2)从抽取了 20 名学生的成绩中,成绩在[100,130)范围内的学生中随机选 4 人,设其中成绩在[100,110) 内的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 18.(本小题满分 13 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60° ,Q 为 AD 的中点.

(1)若 PA=PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD; PM 1 (2)设点 M 在线段 PC 上, = ,求证:PA∥平面 MQB; MC 2 (3)在(2)的条件下,若平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA=PD=AD=2,求二面角 M-BQ-C 的大小.

19. (本小题满分 14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an-2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an· log2an+1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 20.(本小题满分 14 分)已知 A,B 是抛物线 W:y=x2 上的两个点,点 A 的坐标为(1,1),直线 AB 的斜率为 k, O 为坐标原点. (1)若抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方,求 k 的取值范围; (2)设 C 为 W 上一点,且 AB⊥AC,过 B,C 两点分别作 W 的切线,记两切线的交点为 D,求|OD|的 最小值.

3

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? log 1 [( x2 ? 2 x ? k )2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3] ,其中 k ? ?2 ,
2

(1)当求函数 f ( x ) 的定义域 D; (用区间表示) (2)讨论 f ( x ) 在区间 D 上的单调性;

2015 届高三级理科数学最新模拟试试卷答案

数学(理科)

试题类型与难度与 14 年广东省高考题相当 目标分 85-90 分 一.AACC CDCB
10.5x-y+1=0 2 15. 11. 1 14 12.

(-?,)( -3 3, +?) 二.9.
13. 5
10

- 3

14.

6

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= 3sinxcosx-cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)当 x∈[0, ]时,求函数 f(x)的最大值及相应的 x 的值. 2 [解析] (1)因为 f(x)= π 1 =sin(2x- )- , 6 2 2π 所以 T= =π,故 f(x)的最小正周期为 π. 2 π π π 5π (2)因为 0≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ . 2 6 6 6 π π π 所以当 2x- = ,即 x= 时, 6 2 3 1 f(x)有最大值 . 2 17. (本小题满分 13 分) [解析] (1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有 2 人,在[110,130)范围内的有 3 人, ∴a= 2分 3 1 1 sin2x- cos2x- 2 2 2 2分 2分 2分 2分 3分 1分

2 =0.1,b=3;分数在[70,90)范围内的人数为 20×0.25=5,结合茎叶图可得分数在[70,80) 20

内的人数为 2,所以分数在[90,100)范围内的学生人数为 4,故数学成绩及格的学生为 13 人,所以估计

4

13 这次考试全校学生数学成绩的及格率为 ×100%=65%. 20 (2)由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有 7 人,分数在[100,110)范围内的有 4 人, 则随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.
3 2 C1 4 C2 4C3 4C3 18 相应的概率为:P(X=1)= 4 = ;P(X=2)= 4 = ; C7 35 C7 35 1 0 C3 C4 1 4C3 12 4C3 P(X=3)= 4 = ;P(X=4)= 4 = . C7 35 C7 35

3分 1分 1分

4分

随机变量 X 的分布列为: X P 1 4 35 2 18 35 3 12 35 4 1 35

4 18 12 1 16 E(X)=1× +2× +3× +4× = . 35 35 35 35 7 18. (本小题满分 13 分) [解析] (1)连接 BD,∵四边形 ABCD 为菱形,∠BAD=60° ,∴△ABD 为正三角形, 又 Q 为 AD 中点,∴AD⊥BQ.∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,AD⊥PQ, 又 BQ∩PQ=Q,∴AD⊥平面 PQB,∵AD?平面 PAD, ∴平面 PQB⊥平面 PAD.。 。 。 。 (2)连接 AC 交 BQ 于点 N, AQ AN 1 由 AQ∥BC 可得,△ANQ∽△CNB,∴ = = . BC NC 2 4分

2分



PM 1 PM AN = ,∴ = .∴PA∥MN. MC 2 MC NC

∵MN?平面 MQB,PA?平面 MQB,∴PA∥平面 MQB. (3)∵PA=PD=AD=2,Q 为 AD 的中点,∴PQ⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,∴PQ⊥平面 ABCD. 4分

以 Q 为坐标原点,分别以 QA、QB、QP 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角 坐标系,则各点坐标为 A(1,0,0),B(0, 3,0),P(0,0, 3).

5

设平面 MQB 的法向量 n=(x,y,z),可得 → → ? ? QB=0, QB=0, ?n· ?n· ? 3y=0, ? ∵PA∥MN,∴? ∴? → → ?x- 3z=0, ? ? MN=0. PA=0. ?n· ?n· 取 z=1,得 n=( 3,0,1). 取平面 ABCD 的法向量 m=(0,0,1). m· n 1 cos〈m,n〉= = . |m||n| 2 故二面角 M-BQ-C 的大小为 60° . 19. (本小题满分 14 分) [解析] (1)当 n=1 时,a1=2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1, 即 an =2,∴数列{an}为以 2 为公比的等比数列, an-1 5分

1分 3分 2分 1分

∴an=2n. (2)bn=2n· log22n 1=(n+1)· 2 n,


1分 1分 1分

∴Tn=2×2+3×22+?+n· 2n 1+(n+1)· 2n,


∴2Tn=2×2 +3×2 +?+n· 2 +(n+1)· 2 两式相减得, -Tn=4+22+23+?+2n-(n+1)2n =-n· 2 n 1,
+ +1

2

3

n

n+1



1分

2分 1分

∴Tn=n· 2 n 1.


20. (本小题满分 14 分) 1 [解析] (1)抛物线 y=x2 的焦点为(0, ). 4 由题意得直线 AB 的方程为 y-1=k(x-1), 令 x=0,得 y=1-k,即直线 AB 与 y 轴相交于点(0,1-k). 因为抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方,

6

1 3 所以 1-k> ,解得 k< . 4 4
2 (2)由题意,设 B(x1,x2 1),C(x2,x2),D(x3,y3),

4分 1分 1分 1分 1分

? ?y-1=k?x-1?, 联立方程? 消去 y 得 x2-kx+k-1=0, 2 ?y=x , ?

由韦达定理得 1+x1=k,所以 x1=k-1. 1 1 同理,得 AC 的方程为 y-1=- (x-1),x2=- -1. k k 对函数 y=x2 求导,得 y′=2x,

所以抛物线 y=x2 在点 B 处的切线斜率为 2x1,所以切线 BD 的方程为 y-x2 1=2x1(x-x1),即 y=2x1x- x2 1.
2 同理,抛物线 y=x2 在点 C 处的切线 CD 的方程为 y=2x2x-x2 .

2分

?y=2x1x-x2 ? 1, x1+x2 1 1 1 联立两条切线的方程? 解得 x3= = (k- -2),y3=x1x2= -k, 2 2 2 k k ?y=2x2x-x2, ?

1 1 1 所以点 D 的坐标为( (k- -2), -k). 2 k k 因此点 D 在定直线 2x+y+2=0 上. 2分

|2×0+0+2| 2 5 2 5 因为点 O 到直线 2x+y+2=0 的距离 d= = ,所以|OD|≥ ,当且仅当点 D(- 2 2 5 5 2 +1 4 2 1 2 1± 26 1± 26 ,- )时等号成立.由 y3= -k=- ,得 k= ,验证知符合题意.所以当 k= 时,|OD| 5 5 k 5 5 5 2 5 有最小值 . 5 2分

21. (本小题满分 14 分)

7

解 : (1)( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3 ? 0, 则x 2 ? 2 x ? k ? 1 ①或 x 2 ? 2 x ? k ? ?3 ② 由①得 : x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 0, ?1 ? 4 ? 4(k ? 1) ? 4(2 ? k ) ? 0 ( k ? ?2), ? 方程x 2 ? 2 x ? k ? 1=0的解为 ? 1 ? 2 ? k , ?由x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 0得 : x ? ?1 ? 2 ? k 或 x ? ?1 ? 2 ? k , 由②得:x 2 ? 2 x ? k ? 3 ? 0, 方程x 2 ? 2 x ? k ? 3 ? 0的判别式? 2 ? 4 ? 4(k ? 3) ? 4(?2 ? k ) ? 0 ( k ? ?2), ? 该方程的解为 ? 1 ? ?2 ? k ,由x 2 ? 2 x ? k ? 3 ? 0得 : ?1 ? ?2 ? k ? x ? ?1 ? ?2 ? k . k ? ?2,??1 ? 2 ? k ? ?1 ? ?2 ? k ? ?1 ? ?1 ? ?2 ? k ? ?1 ? 2 ? k , ? D ? (??, ?1 ? 2 ? k ) (?1 ? ?2 ? k , ?1 ? ?2 ? k ) (?1 ? 2 ? k , ??) (2)设u ? ( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3 ? 0, 1 则f ' ( x ) ? ? ? ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? (2 x ? 2) ? 2(2 x ? 2) ? ? u ln 2 ? 1 ?? ( x ? 1) ? ( x 2 ? 2 x ? k ? 1) u ln 2 (i )当x ? (??, ?1 ? 2 ? k )时, x ? 1 ? 0, x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 1 ? 1 ? 0,? f ' ( x) ? 0 ; (ii )当x ? (?1 ? ?2 ? k , ?1)时, x ? 1 ? 0, x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? ?3 ? 1 ? 0,? f ' ( x) ? 0 ; (iii )当x ? (?1, ?1 ? ?2 ? k )时, x ? 1 ? 0, x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? ?3 ? 1 ? 0,? f ' ( x ) ? 0 ; (iv)当x ? (?1 ? 2 ? k , ??)时, x ? 1 ? 0, x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 1 ? 1 ? 0,? f ' ( x) ? 0 . 综上, f ( x)在D上的单调增区间为 : ( ??, ?1 ? 2 ? k ), (?1, ?1 ? ?2 ? k ) , f ( x)在D上的单调减区间为 : (?1 ? ?2 ? k , ?1), (?1 ? 2 ? k , ??) .

8



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