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中考专题突破 专题三 数形结合思想


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中考专题突破 专题三 数形结合思想

1.(2011 年安徽)如图 X-3-1, 是菱形 ABCD 的对角线 AC 上一动点, P 垂直于 AC P 过 的直线交菱形 ABCD 的边于 M、N 两点,设 AC=2,BD=1,AP=x,△AMN 的面积为 y, 则 y 关于 x 的函数图象的大致形状是( C )

图 X-3-1

2.(2011 年山东威海)如图 X-3-2,在正方形 ABCD 中,AB=3 cm,动点 M 自 A 点 出发沿 AB 方向以每秒 1 cm 的速度运动, 同时动点 N 自 A 点出发沿折线 AD—DC—CB 以每 秒 3 cm 的速度运动, 到达 B 点时运动同时停止, 设△AMN 的面积为 y(cm2), 运动时间为 x(秒), 则下列图象中能大致反映 y 与 x 之间的函数关系的是( B )

图 X-3-2

3.(2011 年甘肃兰州)如图 X-3-3,正方形 ABCD 的边长为 1,E、F、G、H 分别为
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各边上的点,且 AE=BF=CG=DH,设小正方形 EFGH 的面积为 S,AE 为 x,则 S 关于 x 的函数图象大致是( B )

图 X-3-3

4.(2010 年福建德化)已知:如图 X-3-4,点 P 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一 个动点(A、C 除外),作 PE⊥AB 于点 E,作 PF⊥BC 于点 F,设正方形 ABCD 的边长为 x, 矩形 PEBF 的周长为 y,在下列图象中,大致表示 y 与 x 之间的函数关系的是( A )

图 X-3-4

5.如图 X-3-5,直线 l1∥l2,⊙O 与 l1 和 l2 分别相切于点 A 和点 B.点 M 和点 N 分别 是 l1 和 l2 上的动点,MN 沿 l1 和 l2 平移.⊙O 的半径为 1,∠1=60°.下列结论错误的是( B )

图 X-3-5 4 A.MN= 3 3 B.若 MN 与⊙O 相切,则 AM= D.l1 和 l2 的距离为 2 3 2

C.若∠MON=90°,则 MN 与⊙O 相切

6.如图 X-3-6,四边形 OABC 为正方形,边长为 6,点 A、C 分别在 x 轴,y 轴的正

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半轴上,点 D 在 OA 上,且 D 点的坐标为(2,0),P 是 OB 上的一个动点,试求 PD+PA 和的 最小值是( A )

图 X-3-6 A.2 10 C.4 B. 10 D.6

7. 如图 X-3-7, 在圆心角为 90°的扇形 MNK 中, 动点 P 从点 M 出发, MN→ NK →KM 沿 运动, 最后回到点 M 的位置.设点 P 运动的路程为 x,P 与 M 两点之间的距离为 y,其图 象可能是( B )

图 X-3-7

3 8.(2011 年江苏扬州)如图 X-3-8,已知函数 y=- 与 y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象 x 3 交于点 P,点 P 的纵坐标为 1,则关于 x 的方程 ax2+bx+ =0 的解为-3. x

图 X-3-8

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1 9.(2011 年山东菏泽)如图 X-3-9,抛物线 y= x2+bx-2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 2 y 轴交于 C 点,且 A(-1,0).

图 X-3-9 (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)判断△ABC 的形状,证明你的结论; (3)点 M(m,0)是 x 轴上的一个动点,当 MC+MD 的值最小时,求 m 的值. 1 解:(1)把点 A(-1,0)的坐标代入抛物线的解析式 y= x2+bx-2, 2 3 整理后解得 b=- , 2 1 3 所以抛物线的解析式为 y= x2- x-2. 2 2 3 25 顶点 D?2,- 8 ?. ? ? (2)∵AB=5,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20, ∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC 是直角三角形. (3)作出点 C 关于 x 轴的对称点 C′, 则 C′ (0,2),OC′=2. 连接 C′D 交 x 轴于点 M, 根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD 的值最小. 设抛物线的对称轴交 x 轴于点 E. △C′OM∽△DEM. ∴ OM OC′ m 2 24 = .∴ = .∴m= . EM ED 3 25 41 -m 2 8

9 10.(2011 年湖南邵阳)如图 X-3-10,在平面直角坐标系 Oxy 中,已知点 A?-4,0?, ? ? 点 C(0,3),点 B 是 x 轴上的点(位于点 A 右侧),以 AB 为直径的圆恰好经过点 C.

图 X-3-10

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(1)求∠ACB 的度数; (2)已知抛物线 y=ax2+bx+3 经过 A、B 两点,求抛物线的解析式; (3)线段 BC 上是否存在点 D,使△BOD 为等腰三角形?若存在,则求出所有符合条件 的点 D 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:如图 D57,(1)90°

图 D57 (2)∵△AOC∽△COB, ∴ AO CO = , CO OB

9 又∵A(- ,0),点 C(0,3), 4 9 ∴ AO= ,OC=3, 4 ∴所以解得:OB=4, ∴B(4,0),把 A、B 两点坐标代入解得: 1 7 y=- x2+ x+3. 3 12 (3)存在. 直线 BC 的方程为 3x+4y=12,设点 D(x,y). 3 3 ①若 BD=OD,则点 D 在 OB 的中垂线上,点 D 横坐标为 2,纵坐标为 ,即 D1(2, ) 2 2 为所求. y BD x CD 12 4 4 12 ②若 OB=BD=4,则 = , = ,得 y= ,x= ,点 D2( , )为所求. CO BC BO BC 5 5 5 5 5 17 11.(2011 年广东汕头)如图 X-3-11,抛物线 y=- x2+ x+1 与 y 轴交于点 A,过 4 4 点 A 的直线与抛物线交于另一点 B,过点 B 作 BC⊥x 轴,垂足为点 C(3,0).

图 X-3-11 (1)求直线 AB 的函数关系式; (2)动点 P 在线段 OC 上,从原点 O 出发以每秒一个单位的速度向 C 移动,过点 P 作垂

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直于 x 轴,交直线 AB 于点 M,交抛物线于点 N.设点 P 移动的时间为 t 秒,MN 的长为 s 个 单位,求 s 与 t 的函数关系式,并写出 t 的取值范围; (3)设(2)的条件下(不考虑点 P 与点 O,点 C 重合的情况),连接 CM、BN,当 t 为何值 时,四边形 BCMN 为平行四边形?问对于所求的 t 的值,平行四边形 BCMN 是否为菱形? 说明理由. 17 5 解:(1)把 x=0 代入 y=- x2+ x+1, 4 4 得 y=1, 5 17 5 把 x=3 代入 y=- x2+ x+1,得 y= , 4 4 2 5 ∴A、B 两点的坐标分别(0,1),?3,2?, ? ? 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,代入 A、B 的坐标,得:

?b=1 ?b=1 ? ? ? 5 ,解得? 1 , ?3k+b=2 ?k=2 ? ?
1 ∴y= x+1. 2 1 5 17 (2)把 x=t 分别代入到 y= x+1 和 y=- x2+ x+1, 4 4 2 1 5 17 分别得到点 M、N 的纵坐标为 t+1 和- t2+ t+1, 4 4 2 5 17 1 5 15 ∴MN=- t2+ t+1-( t+1)=- t2+ t, 4 4 2 4 4 5 15 即 s=- t2+ t, 4 4 ∵点 P 在线段 OC 上移动, ∴0≤t≤3. (3)在四边形 BCMN 中,∵BC∥MN, ∴当 BC=MN 时,四边形 BCMN 即为平行四边形, 5 15 5 由- t2+ t= ,得 t1=1,t2=2, 4 2 4 即当 t=1 或 2 时,四边形 BCMN 为平行四边形 3 当 t=1 时,PC=2,PM= , 2 5 由勾股定理求得 CM= , 2 此时 BC=CM=MN=BN,平行四边形 BCMN 为菱形; 当 t=2 时,PC=1,PM=2,由勾股定理求得 CM= 5, 此时 BC≠CM,平行四边形 BCMN 不是菱形.

∴当 t=1 时,平行四边形 BCMN 为菱形.

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