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河南省豫南九校高三数学上学期第三次联考试题 文

高三数学(文)试题
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分) 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5} ,B={x∈R| A.{1,2}

x+2 ≤0},则∩B= x-3
D.{0,1}

B.{x|-2≤x<3} C.{x|0≤x<3}

2 2.已知 i 是虚数单位,z= +1,z 在复平面上对应的点为 A,则点 A 到原点 O 的距离为 1-i
A.1 B.2 C. 10 D. 5

3.己知向量 a=(1,-2) ,b=(m,-1) ,且 a∥b,则实数 m 的值为 A.-2 B.

1 2
x y 0 m

C.2

D.3

4.已知 x 与 y 之间的一组数据: 1 3 C.0.7 2 5.5 3 7 D.0.5

? =2.1x+0.85,则 m 的值为 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程为 y
A.1 5.已知函数 f(x)= A. (0,1) B.0.85

6 - log2 x ,则在下列区间中,函数 f(x)有零点的是 x
B. (1,2) C. (2,4) D. (4,+∞)

6.已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且满足 an+2 =2 an+1 - an ,a5=4-a3,则 S7= A.7 B.12 C.14 D.21

sin x cos x 7.函数 f(x)= 的图像大致为 x 2+1

? x≥1 ? 8.若变量 x,y 满足约束条件 ? x+y-4≤0 ,则目标函数 z=3x ? x-3y+4≤0 ?
+y 的最大值为 A.-4 B.0 D.8 9.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为 A.4 B.9 C.4

C.7 D.5 10.函数 f(x)=Asin(ω x+ ? ) (其中 A>0,ω >0, | ? |<

? )的图象如图,为了得到 f(x)的图象, 2

则只需将 g(x)=sin2x 的图象

? 个长度单位 6 ? B.向右平移 个长度单位 3 ? C.向左平移 个长度单位 6 ? D.向左平移 个长度单位 3
A.向右平移 11.已知双曲线

x2 y 2 - = 1 的一个焦点在圆 x 2+y 2 -4x-5=0 9 m

上,则双曲线的离心率为 A.

4 3

B.

3 2 4

C.

2 5 3

D.

5 3

12. 已知函数 f (x) 在 R 上可导, 其导函数为 f ?( x ) , 若 f ?( x ) 满足

f ?( x )-f ( x ) f ( x) >0, y= x x-1 e

关于直线 x=1 对称,则不等式 A. (-1,2) C. (-1,0)∪(1,2)

f ( x 2-x) e x -x
2

<f(0)的解集是

B. (1,2) D. (-∞,0)∪(1,+∞)

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.如右图,矩形 ABCD 内的阴影部分是由曲线 f(x)=2 x -2x 与直线 y=2x 围成的,现向 矩形 ABCD 内随机投掷 m 粒芝麻,其中有 n 粒落在阴影部分,则阴影部分的面积估计为 ___________. 14.如下图所示,是一个空间几何体的三视图,且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球 面上,则这个球的表面积是___________.
2

?2an+1, an ≤0 1 ? 15. 已知数列{ an }的前 n 项的和为 Sn , a1=- ,an+1 = ? , 则 S2015 =_______ 3 2 an- , an>0 ? ? 4
16.下面几个命题: ①命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是 “所有能被 2 整除的数都不是偶数” ; ... ②“a>1”是“f(x)= log a x (a>0,a≠1)在(0,+∞)上为增函数”的充要条件; ③“若 f(x)=ln( e +1 )+ax 是偶函数,则 a=- ④若平面α ⊥直线 a,平面β ⊥直线 a,则α ∥β ; ⑤若直线 m∥平面α ,直线 n∥β ,α ∥β ,则 m∥n. 真命题的序号为_____________.
3x

3 ”的逆否命题是真命题; 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

1+ cos 2 x 3 sinxcosx+ . 4 2
1 ,b+c=3.求 a 的 2

(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(A)= 最小值. 18. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1⊥底面 ABC, ∠ACB=90°,E 是棱 CC1 的中点,AC=1,AA1=BC =2.

(1)求证:BC1⊥平面 AB1C; (2)求三棱锥 C-AB1E 的体积. 19. (本小题满分 12 分) 截至 2014 年 11 月 27 目,我国机动车驾驶人数量突破 3 亿大关,年均增长超过两千万.为了解我地区驾驶预考 人员的现状,选择 A,B,C 三个驾校进行调查.参加各驾校科目一预考人数如下: 驾校 A 人数 150 驾校 B 200 驾校 C 250

若用分层抽样的方法从三个驾校随机抽取 24 人进行分析,他们的成绩如下: 87 87 97 89 91 99 92 92 93 99 99 92 97 93 86 76 92 70 98 90 92 92 94 64

(1)求三个驾校分别应抽多少人? (2)补全下面的茎叶图,并求样本的众数 和极差; (3)在对数据进一步分析时,满足 |x-96.5|≤4 的预考成绩,称为 具有 M 特性。 在样本中随机抽取一人, 求此人的预考成绩具有 M 特性的 概率。

20. (本小题满分 12 分) 如图,曲线 c1: y 2 =2px(p>0)与曲线 c2:

( x-6)2+y2=36 只有三个公共点 O,M,N,其中 O 为
坐标原点,且 OM · ON =0. (1)求曲线 c1 的方程; (2)过定点 M(3,2)的直线 l 与曲线 c1 交于 A,B 两点, 若点 M 是线段 AB 的中点,求线段 AB 的长. 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= e +ax-1(P 为自然对数的底数) . (1)当 a=1 时,求过点(1,f(1) )处的切线与坐标轴围成的面积: (2)试讨论 f(x)的单调性;
2 (3)若对于任意的 x1∈(0,1) ,总存在 x2∈[0,1]使得 f(x1)- x1 ≥ e -x2- 1 恒成
x

uuur

uuu r

x2

立,求实数 a 的取值范围.

【选做题】 请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时 请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1,几何证明选讲 如图,PA,PB 是圆 O 的两条切线,A,B 是切 点,C 是劣弧 AB(不包括端点)上一点,直线 PC 交圆 O 于另一点 D,Q 在弦 CD 上,且∠DAQ =∠PBC.求证: (1)

BD BC = ; AD AC

(2)△ADQ∽△DBQ. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的

? 3 x= t ? ? 2 极坐标方程是ρ =4cosθ ,直线 l 的参数方程是 ? (t 为参数) . ?y=2+ 1 t ? ? 2
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程: (2)若点 M,N 分别为曲线 C 和直线 l 上的动点,求|MN|的最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-1|. (1)求不等式 f(x)<x+1 的解集; (2)若 a+b=1,f(x)-f(x+1)> 取值范围.

b2 a 2 + 对任意正实数 a,b 恒成立,求实数 x 的 a b

高三数学参考答案(文) 考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.

9n m 1511 4

14.

28? 3
②③④

15.

16.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x sinx cos x ? . 2 4

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间。 (II)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 f ( A) ? 1 , b ? c ? 3. 求 a 的最小值. 2

3 cos 2 x 1 1 ? 1 sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? ……………2 分 4 4 4 2 6 4 2? ? ? ……………………………4 分 F(x)最小正周期为 T ? 2 ? ?? ? 单增区间为 ? k? ? .k? ? ? ?k ? Z ? …………………………….6 分 3 6? ?
17.解:(I). f ( x) ?

? 1 1 ? ?? 1 1 sin ? 2 A ? ? ? ? ,化简得 sin(2 A ? ) ? . 6 2 2 ? 6? 4 2 ? ? 13? ) , ……………………………8 分 ? A ? ?0, ? ? ,? 2 A ? ? ( , 6 6 6 ? 5? ? ∴ 2A ? ? , ∴ A ? . ……………………………10 分 3 6 6 ? 2 2 2 2 在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos ? (b ? c) ? 3bc . 3 2 9 ?b?c? 9 2 b ? c ? 3 由 ,知 bc ? ? ? ? ,即 a ? 4 . ……………………………11 分 ? 2 ? 4 3 3 ∴当 b ? c ? 时, a 取最小值 . ……………………………12 分 2 2
(II)由题意 f ( A) ? 18.(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1⊥底面 ABC,∠ACB=90°,E 是 棱 CC1 的中点,AC=1,AA1=BC=2 . (1)求证: BC1 ? 平面AB1C (2)求三棱锥 C-AB1E 的体积. 18.(1)证明?

?

?

? AA 1 ? 平面ABC ? AA 1 ? BC
CC1 // AA1 ……………………………2 分

CC1 ? BC 又 ? AC ? BC, BC ? CC1 ? C ? AC ? 面BB1C1C ? AC ? BC1
……………………………4 分

又 ? BC ? BB1 ?四边形BB1C1C是正方形 ? BC1 ? B1C , 而B1C ? AC ? C ? BC1 ? 平面AB1C
……………………………6 分 (2)

由( 1 )知AC ? 平面B1CE VC ? AB1E ? VA? B1CE 1 1 1 1 ………………12 分 ? S ?B1CE ? AC ? ? ( ) 2 ? 2 ? 2 ?1 ? 3 3 2 3
19.(本小题满分 12 分) 截至 2014 年 11 月 27 日,我国机动车驾驶人数量突破 3 亿大关,年

均增长超过两千万.为了解我地区驾驶预考人员的现状,选择 A,B,C 三个驾校进行调查.参加 各驾校科目一预考人数如下: 驾校 A 人数 87 87 97 89 91 99 150 92 92 93 99 驾校 B 200 99 92 97 93 驾校 C 250 86 76 92 70 98 90 92 92 94 64

若用分层抽样的方法从三个驾校随机抽取 24 人进行分析,他们的成绩如下:

(1)求三个驾校分别应抽多少人? (2)补全下面的茎叶图,并求样本的众数和极差; (3)在对数据进一步分析时,满足 x ? 96.5 ? 4 的预考成绩,称为具有 M 特性。在样本中随 机抽取一人,求此人的预考成绩具有 M 特性的概率 19.解(1)用分层抽样的方法从三个驾校分别抽取: 驾 校 A: 24 ?

150 ?6 600
9 0 12 2 2 2 2 2 3 3 4 7 7 8 9 9 9 8 7 6 4

人……………………………1 分 B : 24 ?

驾 校 9 0 1 2 8 6 7 7 2 9 2 2 2 2 3 3 4 7 7 8 9 9 9

200 ?8 600

人 …………………………… 2分 驾 校 C : 24 ?

250 ? 10 600

人……………………………3 分 (2)补全的茎叶图为

…………………6 分

7 0 6 6 4

众数为:92 极 差 为 : 99-64=35……………………

………8 分 (3)设事件 A=“预考成绩具有 M 特性” 。 满足 x ? 96.5 ? 4 的预考成绩为: 99 99 99 98 97 97 94 93 93

共9个

所以 P(A)=

9 3 ? ……………………………12 分 24 8
2

20.(本大题满分 12 分)如图,曲线 c1 : y ? 2 px(p>0)与曲线

c2 : ( x ? 6)2 ? y 2 ? 36 只有三个公共点 O,M,N,其中 O 为坐标原点,
且 OM ? ON ? 0 (1)求曲线 c1 的方程; (2)过定点 M(3,2)的直线 l 与曲线 c1 交于 A,B 两点,若点 M 是线段 AB 的中点,求线段 AB 的 长. 20.解(1)曲线 c1 : y ? 2 px (p>0)与曲线 c2 : ( x ? 6) ? y ? 36 只有三个公共点 O,M,N,其
2

2

2

中 O 为坐标原点,且 OM ? ON ? 0 由对称性知 MN ? x轴于点( 6,0),且MN ? 12 所以 M(6,6),……………………………3 分

62 ? 2 p ? 6
P=3……………………………4 分 所以曲线为 y ? 6 x ……………………………5 分
2

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 因为(3,2)是 AB 中点 所以

x1 ? x2 ? 6 y1 ? y2 ? 4

……………………………6 分

? y12 ? 6 x1 ? 2 y ? 6 x2 则由点差法得 ? 2 y ?y 3 ?k ? 2 1 ? x2 ? x1 2
……………………………8 分 所以直线 l: 3x ? 2 y ? 5 ? 0

? y2 ? 6x 得y 2 ? 4 y ? 10 ? 0 ? ?3x ? 2 y ? 5 ? 0
所以由韦达定理 ?

? y1 ? y2 ? 4 ……………………………10 分 ? y1 y2 ? ?10

AB ? (1 ? ? 2 182 3

1 )( y1 ? y2 ) k2

……………………………12 分 21.(本大题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? e ? ax ? 1 ( e 为自然对数的底数).
x

(1)当 a =1 时,求过点(1, f ?1? )处的切线与坐标轴围成的面积; (2)试讨论 f ( x) 的单调性; (3)若对于任意的 x1 ? (0,1) ,总存在 x2 ? [0,1] 使得 f ( x1 ) ? x1 ? e 2 ? x2 ?1 恒成立,求
x 2

实数 a 的取值范围. 21 解(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? e x ? x ? 1 , f (1) ? e , f ?( x) ? e x ? 1 , f ?(1) ? e ? 1 , 函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? e ? (e ? 1)( x ? 1) ,即 y ? (e ? 1) x ? 1 ……………………………2 分 设切线与 x、y 轴的交点分别为 A,B. 令 x ? 0 得 y ? ?1 ,令 y ? 0 得 x ?
S△OAB ? 1 1 1 ? ?1 ? . 2 e ?1 2(e ? 1) 1 2(e ? 1)
1 1 , 0) , B(0, ?1) ,∴ A( e ?1 e ?1

…………………3 分

在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 与 坐 标 轴 围 成 的 图 形 的 面 积 为

……………………………4 分

(2)

f ? x ? ? e x ? ax ? 1

f , ( x) ? e x ? a
当a ? 0时 , f ( x) ? 0 所以 f(x)在 R 上单调递增 当 a ? 0 时在 (- ?,ln(?a)) 上单调递减 在 (ln(?a),??) 上单调递增 ……………………………6 分

2 (3)对于任意的 x ? (0,1) ,总存在 x ? [0,1] 使得 f ( x1 ) ? x1 ? e x2 ? x2 ?1 恒成立 1 2

等价于

? f (x ) ? x ?
1

2 1 min

? e x ? x ?1 min

?

?

由(2)知 所以

y ? e x ? x ?1在(- ?, 0)递减,( 0, ? ?)递增

?e

x

? x ? 1 min ? 0

?

所以 e x ? ax ? 1 ? x 2 ? 0 ……………………………8 分 得 a≥

1 ? x2 ? e x 恒成立, x
令 h( x ) ?

1 ? x2 ? e x 1 ex 1 e x ( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 1 ? e x ) ? ? x ? , h ?( x) ? 1 ? 2 ? ? x x x x x2 x2

令 k ( x) ? x ? 1 ? e x ,

k ?( x) ? 1 ? e x , ……………………10 分
A

∵ x ? (0,1) ,∴ k ?( x) ? 1 ? e x ? 0 , k ( x) 在 为减函数 , ∴ k ( x) ? k (0) ? 0 又 ∵ , ,
x ?0
2
D Q O

x ? (0,1)

C

P

x ?1? 0

B

∴ h ?( x) ?

( x ? 1)( x ? 1 ? e x ) ? 0 ……………………11 分 x2

∴ h( x) 在 x ? (0,1) 为增函数,

h( x) ? h(1) ? 2 ? e , 因此只需 a ≥ 2 ? e

……… 12 分

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1,几何证明选讲 如图,PA, PB 是圆 O 的两条切线,A, B 是切点, 直线 PC C 是劣弧 AB (不包括端点)上一点, 交圆 O 于另一点 D , Q 在弦 CD 上,且 ?DAQ ? ?PBC .

求证:(1) BD

AD
22.

?

BC ; AC

(2)△ ADQ ∽△ DBQ .

证明解:(1)因为△ PBC ∽△, PDB 所以

BD PD AD PD ? ? .同理 . BC PB AC PA
5分

BD AD BD BC ? ? PA ? PB ,所以 BC AC ,即 AD AC .

(2)连接 AB ,因为 ?BAC ? ?PBC ? ?DAQ , ?ABC ? ?ADQ ,

BC DQ BD DQ ? ? ADQ AC AQ AD AQ . ABC 所以△ ∽△ ,即 ,故
又因为 ?DAQ ? ?PBC ? ?BDQ ,所以 ADQ △∽△ BDQ . 10 分

23(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标平面内, 以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的

? 3 ? ?x? 2 t 极坐标方程是 ? ? 4 cos ? ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数). ?y ? 2 ? 1 t ? 2 ?
(Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若点 M , N 分别为曲线 C 和直线 l 上的动点,求 MN 的最小值. 23 解: (1)曲线 C 的直角坐标方程为 (x ? 2) ? y ? 4
2 2

直线 l 的普通方程为: x ? 3 y ? 2 3 ? 0 ……………………5 分 (2)设圆心 C(2,0)到直线 l 上任意一点的距离为 d

d2 ? (

3 1 t ? 2) 2 ? ( t ? 2) 2 ? t 2 ? 2(1 ? 3 )t ? 8 2 2

时 所以 t ? 3 ? 1
d 2 min ? ( 3 ? 1) 2 d min ? 3 ? 1
所以 MN 的最小值为 3 - 1……………………10 分 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ?1 ,

(1)求不等式 f ( x) ? x ? 1 的解集; (2)若 a+b=1, f ( x) ? f ( x ? 1) ? 24 解: (1)因为 f ( x) ? x ? 1 所以-x-1<2x-1<x+1 不等式 f ( x) ? x ? 1 的解集为: x 0 ? x ? 2

b2 a2 ? 对任意正实数 a,b 恒成立,求实数 x 的取值范围。 a b

?

?

……………………5 分 (2)因为 a+b=1,且 a,b 为正实数



b2 a 2 ? )(a ? b) ? (b ? a) 2 ? 1 a b 当且仅当a ? b时等号成立
b2 a2 ? 对任意正实数 a,b 恒成立 a b

因为 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 所以 f(x)-f(x+1)>1 当x? 当-

1 时不等式不成立 2

1 1 ? 1 1? ? x ? 时解集为 ?x - ? x ? ? ? 2 2 4? ? 2
1 ? 1? 时不等式恒成立解集 ?x x ? ? ? 2 2? ?

当x ? ?

综上不等式解集为 ?x x ? - ?

? ?

1? 4?
……………………10 分



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