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广东省2012届高三全真模拟卷数学理17.


广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 17
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 复数

1 等于 (1 + i ) 2
1 2
B -

1 1 1 C、 i D - i 2 2 2 2.下列四个条件中, p 是 q 的必要不充分条件的是( .....
A A. p : a > b , q : a 2 > b 2 B. p : a > b , q : 2a > 2b C. p : ax 2 + by 2 = c 为双曲线, q : ab < 0
2 D. p : ax + bx + c > 0 , q :



c b ? +a >0 x2 x

3. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名 女生,则选派方案共有 (A)108 种 (B)186 种 (C)216 种 (D)270 种 4. 在直角坐标系 xOy 中,已知△AOB 三边所在直线的方程分别为 x=0,y=0,2x+3y=30,则 △AOB 内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是( ) A.95 B.91 C.88 D.75 5. 等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( ) A.130 B.170 C.210 D.260

? x ?1 ?2e , x < 2, 6. 设 f ( x ) = ? 则不等式 f ( x) > 2 的解集为 ?log 3 ( x 2 ? 1), x ≥ 2, ?
A. (1,2) ∪ (3,+∞ ) C. (1,2) ∪ ( 10 ,+∞ ) B. ( 10 ,+∞ ) D. (1,2)





7. 已知函数 f ( x) = 3 sin ω x + cos ω x(ω > 0) , y = f ( x) 的图像与直线 y = 2 的两个相邻交点 的距离等于 π ,则 f ( x ) 的单调递增区间是 (A) [ kπ ? π , kπ + 5π ], k ∈ Z 12 12 (C) [ kπ ? π , kπ + π ], k ∈ Z 3 6 (B) [ kπ + 5π , kπ + 11π ], k ∈ Z 12 12 (D) [ kπ + π , kπ + 2π ], k ∈ Z 6 3

8. 若曲线 y = x 的一条切线与直线 x + 4 y ? 8 = 0 垂直,则的方程为( ) A. 4 x ? y ? 3 = 0 B. x + 4 y ? 5 = 0 C. 4 x ? y + 3 = 0 D. x + 4 y + 3 = 0
4

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~12题) 9. 在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a = 1 ,b= 7 ,

c = 3 ,则 B =
10. 已知函数 f ( x ) = a ?
x



1 ,若 f ( x ) 为奇函数,则 a = 2 +1

11. 已知向量 a = (1,n),b = ( ?1,n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a = 12. 直线 x ? 2 y + 1 = 0 关于直线 x = 1 对称的直线方程是 (二)选做题(13 ~ 15 题,考生只能从中选做两题) 13. (不等式选讲选做题)对于任意的实数 a(a ≠ 0)和b, 不等式 | a + b | + | a ? b |≥| a | k 恒 成立,则实数 k 的最大值是_______________。

? x = 2t 2 , (为参数)设 O 为坐标原点, 14、(坐标系与参数方程选做题) 已知抛物线 C : ? ? y = 2t
点 M ( x0 , y0 ) 在 C 上运动,点 P( x,

y ) 是线段 OM 的中点,则点 P 的轨迹普通方程为

15.(几何证明选讲选做题) 如右图所示, AB 是圆 O 的直径,

AD = DE , AB = 10 , BD = 8 ,则 cos ∠BCE =



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤, 16. (本题满分 12 分) 已知 f ( x ) = cos

3x x 3x x cos ? sin sin ? 2 sin x cos x , 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f (x ) 的最小正周期; (Ⅱ) 当 x ∈ ?

?π ? , π ,求函数 f (x ) 的零点. ?2 ? ?

17. (本题满分 12 分) 某市一公交线路某区间内共设置六个站点(如图所示) ,分别为 A0、A1、A2、A3、A4、A5,现 有甲、乙两人同时从 A0 站点上车,且他们中的每个人在站点 Ai、 (i=1,2,3,4,5)下车 是等可能的. 求: (Ⅰ)甲在 A2 站点下车的概率; (Ⅱ)甲、乙两人不在同一站点下车的概率. A0 A1 A2 A3 A4 A5

18. (本小题满分 14 分)已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1=2AC=4,延长 CB 至 D,使 CB=BD. (I)求证:直线 C1B//平面 AB1D; (II)求平面 AB1D 平面 ACB 所成角的正弦值.

19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) = ln( x + (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)如果关于 x 的方程 g ( x ) =

3 2 ) + , g ( x ) = ln x. 2 x

1 x + m 有实数根,求实数 m 的取值集合. 2

20. (本小题满分 14 分)已知 f ( x ) = ( x ? 1) , g ( x ) = 4(x ? 1). 数列 {an } 中,对任何正整数
2

n , (a n+1 ? a n )g (a n ) + f (a n ) =0 都成立, a1 = 2 , n ≥ 2 时, n ≠ 1 ; bn = a n ? 1 . 等式 且 当 a 设
(Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 S n 为数列 {nbn }的前 n 项和, Tn = S n +

n ? 3n 3n + n ? 2 , 求 lim Tn 的值. n→∞ 4 n ?1 4

21. (本小题满分 14 分)过直角坐标平面 xOy 中的抛物线 y 2 = 2 px( p > 0 ) 的焦点 F 作一 条倾斜角为

π
4

的直线与抛物线相交于 A,B 两点。

(1)用 p 表示 A,B 之间的距离; (2)证明: ∠AOB 的大小是与 p 无关的定值, 并求出这个值。

参考答案 1-8 DDBBCCCA 9.

5π 6

10.

1 2

11.2

12. x + 2 y ? 3 = 0

13.2 14. y =x

2

15.

3 5

一、选择题 1. 答案:D 【解析】

1 1 1 = = ? i ,选 D 2 (1 + i ) 2i 2

2.答案:D 【解析】A. p 不是 q 的充分条件,也不是必要条件;B. p 是 q 的充要条件;C. p 是 q 的充 分条件,不是必要条件;D.正确 3.答案:B
3 3 【解析】从全部方案中减去只选派男生的方案数,合理的选派方案共有 A7 ? A4 =186 种,选

B. 4. 答案:B 【解析】解析一:由 y=10-

2 2 x(0≤x≤15,x∈N)转化为求满足不等式 y≤10- x(0≤ N 3 3

x≤15,x∈N)所有整数 y 的值.然后再求其总数.令 x=0,y 有 11 个整数,x=1,y 有 10 个, N x=2 或 x=3 时,y 分别有 9 个,x=4 时,y 有 8 个,x=5 或 6 时,y 分别有 7 个,类推:x=13 时 y 有 2 个,x=14 或 15 时,y 分别有 1 个,共 91 个整点.故选 B. 解析二:将 x=0,y=0 和 2x+3y=30 所围成的三角形补成一个矩形.如图所示. 对角线上共有 6 个整点,矩形中(包括边界)共有 16×11=176.因此所求△AOB
内部和边上的整点共有 5. 答案:C

176 + 6 =91(个) 2

m(m ? 1) ? d = 30 ?ma1 + ? 2 【解析】解法一:由题意得方程组 ? ?2ma + 2m(2m ? 1) d = 100 1 ? ? 2
视 m 为已知数,解得 d

=

40 10(m + 2) , a1 = 2 m m2

∴ S3m

= 3ma1 +

3ma1 (3m ? 1) 10( m + 2) 3m(3m ? 1) 40 d = 3m + = 210 2 m2 2 m2

解法二:设前 m 项的和为 b1,第 m+1 到 2m 项之和为 b2,第 2m+1 到 3m 项之和为 b3,则

b1,b2,b3 也成等差数列. 于是 b1=30,b2=100-30=70,公差 d=70-30=40. ∴b3=b2+d=70+40=110 ∴前 3m 项之和 S3m=b1+b2+b3=210. 解法三:取 m=1,则 a1=S1=30,a2=S2-S1=70,从而 d=a2-a1=40. 于是 a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210.
6.答案:C 7.答案:C 【解析】 f ( x ) = 2sin(ω x + 由 2 kπ ?

π
6

) ,由题设 f ( x ) 的周期为 T = π ,∴ ω = 2 ,

π
2

≤ 2x +

π
6

≤ 2 kπ +

π
2

得, kπ ?

π
3

≤ x ≤ kπ +

π
6

, k ∈ z ,故选 C
4

8.答案:A 【解析】 与直线 x + 4 y ? 8 = 0 垂直的直线为 4 x ? y + m = 0 , y = x 在某一点的导数为 4, 即 而 y′ = 4 x ,所以 y = x 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 x ? y ? 3 = 0 ,故选 A
3 4

二、填空题 9.答案:

5π 6 1+ 3 ? 7 3 5π =? , ,所以 B = . 2 6 2 × 1× 3

【解析】由正弦定理得 cos B =

1 2 11.答案: 2
10.答案: 【解析】 2a ? b = (3, n) ,由 2a ? b 与 b 垂直可得:

(3, n) ? ( ?1, n) = ?3 + n 2 = 0 ? n = ± 3 ,
12. 答案: x + 2 y ? 3 = 0

a = 2。

【解析】 (利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于 x = 1 对称点为(2-x,y) 在直线 x ? 2 y + 1 = 0 上,∴ 2 ? x ? 2 y + 1 = 0 化简得 x + 2 y ? 3 = 0 13.答案:2 2 14. 答案:y =x

? ?x = ? 【解析】依题意有 ? ?y = ? ?

x0 2 2 ,即 ? x0 = 2 x = 2t ,消去参数,可得:y2=x ? y0 ? y0 = 2 y = 2t 2

15 答案:

3 5

【 解 析 】 连 结 AD 、 DE , 则 AD=DE , ∴∠DAE = ∠DEA , 又 ∠DEA = ∠ABD ,

∴∠DAE = ∠ABD

AD AC AD BD 8 4 4 ,即 = = = = ,即 sin ∠ACD = , BD BA AC BA 10 5 5 3 ∴ cos ∠BCE = cos ∠ACD = 5

∴?ACD ? ?BAD ,∴

三、解答题 16. 解: (Ⅰ)

f ( x ) = cos 2 x ? sin 2 x = 2 cos( 2 x +

π
4

) ……………………4 分

故 T = π …………………………………………………5 分 (Ⅱ)令 f ( x ) = 0 , 2 cos( 又∵ x ∈ ?

π

4

+ 2 x ) =0,

?π ? ,π ?2 ? ?

…… ………….7 分

5π π 9π π 3π …………………………………………9 分 ≤ + 2x ≤ ∴ + 2x = 4 4 4 4 2 5π 5π 故x= 函数 f (x ) 的零点是 x = …………… 12 分 8 8 ∴
17. (Ⅰ)基本事件是甲在 Ai(i=1,2,3,4,5)下车 ∴基本事件为 n=5.………………………………………………………………3 分 , 记事件 A=“甲在 A2 站点下车” 则 A 包含的基本事件数为 m=1,

∴ P ( A) =

m 1 = . ………………………………………………………………6 分 n 5

(Ⅱ)基本事件的总数为 n=5×5=25.…………………………………………8 分 记事件 B=“甲、乙两人在同一站点下车” , 则 B 包含的基本事件数为 k=5,

k 1 = . ………………………………………………………………10 分 n 5 4 所以甲、乙两人不在同一站点下车的概率为 1 ? P( B ) = . ………………12 分 5 ∴ P( B) =
18. 本题主要考查空间线面、面面的位置关系等基本知识,同时考查空间想象能力,满分 14 分.

解: (Ⅰ)连结 C1B 则 C1B1=CB=DB,又 C1B1//BD, 所以,四边形 C1BDB1 是平行四边形,…………(4 分) 所以,C1B//B1D,又 B1D ? 平面 AB1D, 所以,直线 C1B//平面 AB1D.…………(7 分) (Ⅱ)在△ACD 中,由于 CB=BD=BA, 所以,∠DAC=90°, 以 A 为原点,建立如图空间直角坐标系,则

A(0,0,0) B1( 3 ,1,4) D(2 3 ,0,0) , ,

AD = ( 2 3 ,0,0) , AB1 = ( 3 ,1,4) ………(10 分)
设平面 AB1D 的法向量 n=(x,y,z) ,则

?n ? AD = 0, ?2 3 = 0, ? ? 即? ? ?n ? AB1 = 0, ? 3 x + y + 4 z = 0, ? ?
所以 ?

? x = 0, 取 z=1,则 n=(0,-4,1)………………(12 分) ? y = ?4 z ,

取平面 ACB 的法向量为 m=(0,0,1) 则 cos < n, m >=

n?m 1 4 17 = .所以 sin < n, m >= , | n || m | 17 17
4 17 …………(14 分) 17

所以,平面 AB1D 与平面 ACB 所成角的正弦值为 19. 解: (1)函数 f (x ) 的定义域是 ( ?

3 ,0) ∪ (0,+∞ ). 2 1 2 ( x + 1)( x ? 3) 对 f (x ) 求导得 f ′( x ) = , ? 2 = 3 x 3 2 x+ x (x + ) 2 2 3 由 f ′( x ) > 0,得 ? < x < ?1或x > 3 ;由 f ′( x) < 0,得 ? 1 < x < 0或0 < x < 3. 2 3 因此 ( ? ,?1)和(3, ∞ ) 是函数 f (x ) 的增区间; (-1,0)和(0,3)是函数 f (x ) + 2

的减区间。 (2)[解法一]:因为 g ( x ) =

1 1 1 x + m ? ln x = x + m ? m = ln x ? x. 2 2 2 1 所以实数 m 的取值范围就是函数 φ ( x ) = ln x ? x 的值域。 2 1 1 对 φ ( x )求导得 φ ′( x ) = ? . x 2

令 φ ′( x) = 0,得x = 2,并且当x > 2时,φ ′( x) < 0;当0 < x < 2时,φ ′( x) > 0 ∴当 x=2 时 φ (x ) 取得最大值,且 φ ( x) max = φ ( 2) = ln 2 ? 1. 又当 x 无限趋近于 0 时, ln x 无限趋近于 ? ∞,? 进而有 φ ( x ) = ln x ?

1 x 无限趋近于 0, 2

1 x 无限趋近于-∞. 2 1 因此函数 φ ( x ) = ln x ? x 的值域是 ( ?∞, ln 2 ? 1] , 2

即实数 m 的取值范围是 ( ?∞, ln 2 ? 1] 。 [解法二]:方程 g ( x ) = 点, 并且当直线 g ( x ) = 设直线 y =

1 1 x + m 有实数根等价于直线 g ( x ) = x + m 与曲线 y=lnx 有公共 2 2 1 x + m 与曲线 y=lnx 相切时,m 取得最大值. 2

1 x + t与曲线 y = ln x 相切,切点为 T ( x 0 , y 0 ).则对y = ln x 求导得 2 ?1 1 ?2 = x 0 ? 1 ? ′ = ,根据相切关系得? y 0 = ln x 0 y x ? 1 ? y 0 = x0 + t ? 2 ? x 0 = 2, y 0 = ln 2,进而t = ln 2 ? 1. 所以 m 的最大值是 ln 2 ? 1 。 1 x + m 与曲线 y=lnx 总有公共点。 2

解得

而且易知当 m ≤ ln 2 ? 1时,直线 y =

因此实数 m 的取值集合是 ( ?∞, ln 2 ? 1]. 20.解: (Ⅰ)∵ (a n+1 ? a n ) ? 4(a n ? 1) + (a n ? 1) = 0
2

∴ (a n ? 1) ? (4a n +1 ? 3a n ? 1) = 0.
根据已知, a n ≠ 1

∴ 4a n +1 ? 3a n ? 1 = 0 ? a n +1 =

3 1 a n + . --------------------4 分 4 4

∵ b1 = a1 ? 1 = 1, bn+1 = a n +1 ? 1 = 3 1 3 3 a n + ? 1 = (a n ? 1) = bn , 4 4 4 4
3 的 等 比 数 列 。 ------------------------------6 分 4
n ?1

∴ {bn } 是 b1 = 1, 公 比 q =

(II )∵ bn

?3? =? ? ?4?

n ?1

?3? , nbn = n? ? ?4?
1

?3? ?3? ?3? ∴ Sn = 1 + 2 ? ? ? + 3 ? ? ? + ? + n ? ? ? ?4? ?4? ?4?
2 3

2

n ?1


n ?1 n

3 3 ?3? ?3? ?3? S n = + 2 ? ? ? + 3 ? ? ? + ? + (n ? 1) ? ? ? 4 4 ?4? ?4? ?4?
①-②得

?3? + n ?? ? ?4?



21. 解: (1)焦点 F (1,0) ,过抛物线的焦点且倾斜角为
2

π
4

的直线方程是 y = x ?

p 2

? y = 2 px p2 p2 由? ? AB = x A + x B + p = 4 p ? x 2 ? 3 px + = 0 ? x A + x B = 3 p, x A x B = ? p 4 4 ?y = x ? 2 ?

( 或 AB =

2p sin
2

π
4

= 4p )

(2) cos ∠AOB =

AO + BO ? AB
2 2

2

2 AO BO

=

x A + y A + x B + y B ? (x A ? x B ) ? ( y A ? y B )
2 2 2 2 2

2

2 xA + yA
2

(

2

)(x

2 B

+ yB

2

)

=

(x

x A xB + y A yB
2 A

+ yA

2

)(x

2 B

+ yB

2

)

=

2 p (x A + x B ) + p 3 41 2 4 =? 2 41 x A x B x A x B + 2 p( x A + x B ) + 4 p

2x A xB ?

[

]

∴ ∠AOB 的大小是与 p 无关的定值, ∠AOB = π ? arccos 3 41 。 41



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