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广东省2012届高三全真模拟卷数学理15.


广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 15
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1+ i 1.若将复数 1 ? i 表示为 a + bi(a,b∈R,i 是虚数单位)的形式,则 a + b=
A.0 2.已知 p: B.1 C.-1 D.2

x +1 ≤ 4

2 ,q: x < 5 x ? 6 ,则 p 是 q 成立的

A.必要不充分条件 C.充要条件 3.已知

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

{a n } 是等差数列, a 4 = 15 , S 5 = 55 ,则过点 P(3, a3 ), Q(4, a4 ) 的直线的斜率
1 B. 4
C.-4 D.-14 的图象如图所示,则

A.4 4.已知

f ( x) = ax + b

f ( 3) =

A. 2 2 ? 2 C. 3 3 ? 3

3 ?3 B. 9
D. 3 3 ? 3 或 ?3 3 ? 3

5.已知直线、 m ,平面 α、β ,则下列命题中假命题是 A.若 α // β , l ? α ,则 l // β C.若 l // α , m ? α ,则 l // m D.若 α ⊥ β , α ∩ β = l , m ? α , m ⊥ l ,则 m ⊥ β 6.2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分 别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其 余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A.36 种 B.12 种 C.18 种 D.48 种 7 .设向量 a 与 b 的夹角 为 θ ,定义 a 与 b 的“向 量积” a × b 是一个 向量,它 的 模 : B.若 α // β , l ⊥ α ,则 l ⊥ β

a × b = a ? b ? sin θ

,若

a = ? 3, ?1 , b = 1, 3

(

)

(

) ,则 a × b =

A. 3

B.2

C. 2 3

D.4

2 8.已知函数: f ( x) = x + bx + c ,其中: 0 ≤ b ≤ 4,0 ≤ c ≤ 4 ,记函数 f (x ) 满足条件:

? f (2) ≤ 12 ? ? f (?2) ≤ 4 为事件为 A,则事件 A 发生的概率为
1 4 5 8 3 C. 8 1 D. 2

A.

B.

二、填空题:本大题共 7 小题,其中 9~13 题是必做题,14~15 题是选做题,每小题 5 分, 满分 30 分.
2 5 9. (1 + x )(1 ? x) 展开式中 x3 的系数为_________. 2 10.两曲线 x ? y = 0 , y = x ? 2 x 所围成的图形的面积是_________.

x2 y2 ? =1 9 11 . 以 点 A( 0 , 5 ) 为 圆 心 、 双 曲 线 16 的渐近线为切线的圆的标准方程是
_________.

?2 x ( x > 0) f ( x) = ? , 则f (?8) ? f ( x + 3)( x ≤ 0) =_________. 12.已知函数
13.已知
2+ 2 = 2 3 2 , 3 3+ 3 =3 8 3 , 8 4+ 4 4 = 4 15 1 5 ,…若 6+ a = 4 t a t , a, t 均 (

为正实数) ,则类比以上等式,可推测 a, t 的值, a + t =



▲选做题:在下面两道小题中选做一题,两题都选的只计算前两题的得分.

? x = 1 ? 2t , ? x = s, l1 : ? (t为参数) l2 : ? y = 2 + kt. ? y = 1 ? 2 s. s 14. (坐标系与参数方程选做题) 若直线 ? 与直线 (
为参数)垂直,则 k = .

15. (几何证明选讲选做题) A, B , C 是圆 O 上的点, 且 AB = 4, ∠ACB = 45 , 点 则圆 O 的
0

面积等于_____. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
2 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a = ( 2 cos x, 3 ) , b = (1, sin 2 x) , 函数 f ( x ) = a ? b , ?→ ?→

g ( x) = b .
(Ⅰ)求函数 g (x ) 的最小正周期; (Ⅱ)在 ? ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 f (C ) = 3 , c = 1 , ab = 2 3 , 且 a > b ,求 a, b 的值. 17. (本小题满分 12 分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流 水线上 40 件产品作为样本,称出它们的重量(单位:克) ,重量的 分组区间为 (490,495] , (495,500] ,…, (510,515] ,由此得到样 本的频率分布直方图,如右图所示. (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量. (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列. (3)从流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率.

?→ 2

18. (本小题满分 14 分) 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

CA = CB = CD = BD = 2 , AB = AD = 2.
(1) 求证: AO ⊥ 平面 BCD; (2) 求异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小; (3) 求点 E 到平面 ACD 的距离. 19. (本小题满分 14 分)

已知椭圆

x2 +

y2 = 1(0 < b < 1) b2 的左焦点为 F,左右顶点分别为 A,C 上顶点为 B,过 F,B,C
e= 3 2 ,求 ⊙ P 的方程;

三点作 ⊙ P ,其中圆心 P 的坐标为 ( m, n ) .(1) 若椭圆的离心率 (2)若 ⊙ P 的圆心在直线 x + y = 0 上,求椭圆的方程.

20. (本小题满分 14 分) ( , 有 已知向量 a = ( x ? 3,1), b = ( x, ? y ) , 其中实数 y 和 x 不同时为零) 当 | x |< 2 时, a ⊥ b ,
2

当 | x |≥ 2 时, a // b . (1) 求函数式 y = f ( x ) ; (2)求函数 f ( x ) 的单调递减区间;
2 (3)若对 ?x ∈ ( ?∞, ?2] ∪[2, +∞ ) ,都有 mx + x ? 3m ≥ 0 ,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 设数列{
2 a n }的前 n 项和为 S n ,并且满足 2 S n = a n + n , a n > 0 (n∈N*).

(Ⅰ)求 a1 , a 2 ,

a3 ; a (Ⅱ)猜想{ n }的通项公式,并加以证明;

(Ⅲ)设 x > 0 , y > 0 ,且 x + y = 1 , 证明:

an x + 1 + an y + 1



2(n + 2)

.

参考答案 一.选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1.B 2.A 3.A 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D

1+ i = i,∴ a = 0, b = 1 1.选 B.提示: 1 ? i .
2.选 A.提示:

p : [? 5,3], q : (2,3) .

S 5 = 5a3 = 55,∴ a3 = 11, k =
3.选 A.提示: 4.选 C.提示: 根据f (2) = 0, 5.选 C.提示:l 与 m 可能异面. 6.选 A.提示:

a 4 ? a3 = 15 ? 11 = 4 4?3 .

f (0) = ?2, 得a = 3 , b = ?3 .

A32 × A32 = 36 .

a = b = 2, cos θ =
7.选 B.提示:

?2 3 3 1 =? , sin θ = 4 2 2.

1 × 4× 4 1 2 P= = 4× 4 2. 8.选 D.提示:
二.填空题:本大题考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,其中 9~13 题是必做题, 14~15 题是选做题.每小题 5 分,满分 30 分.其中第 11 题中的第一个空为 2 分,第二个 空为 3 分.

9. ?15 13. 41

9 10. 2
14. ?1

11. x + ( y ? 5) = 16
2 2

12. 2

15. 8π

9. ?15 .提示:

3 1 (?C5 ? C5 ) x 3 .

3 9 9 面积 S = ∫ x ? ( x 2 ? 2 x) dx = 0 2. 10. 2 .提示:
2 2 11. x + ( y ? 5) = 16 .

提示:根据圆心到直线的距离等于半径求出 r=4 12.2 提示: f ( ?8) = f ( ?5) = f ( ?2) = f (1) = 2 . 13. 41 .提示: a = 6, t = a ? 1 = 35 .
2

14. ?1 .提示:化为普通方程求解. 15. 8π .提示: 连接 OA,OB, ∠BOA = 90 ,∴ r = OA = OB = 2 2 .
0

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程. 16. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)

g ( x ) = b = 1 + sin 2 2 x = 1 +

2

1 ? cos 4 x 1 3 = ? cos 4 x + 2 2 2

…………2 分

∴函数 g (x ) 的最小周期

T=

2π π = 4 2

……………4 分

2 (Ⅱ) f ( x ) = a ? b = (2 cos x, 3) ? (1,sin 2 x)

= 2 cos 2 x + 3 sin 2 x = cos 2 x + 1 + 3 sin 2 x

= 2 sin(2 x + ) + 1 6 f (C ) = 2 sin( 2C +

π

……………6 分

π
6

) +1 = 3



sin( 2C +

π
6

) =1

………………7 分

∵ C 是三角形内角, ∴

2C +

π

π 13π π π ∈( , ) 2C + = 6 6 6 , ∴ 6 2

即:

C=

π
6 …………8 分

b2 + a2 ? c2 3 cos C = = 2ab 2 ∴
2 2 即: a + b = 7

…………………10 分

将 ab = 2 3 可得: ∴a =

a2 +

12 =7 2 a2 解之得: a = 3或 4 ,

3或2

所以当 a =

3 时, b = 2 ;

当 a = 2,b =

3, 3 . …………12 分

∵a>b

∴ a = 2 ,b =

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)根据频率分步直方图可知,重量超过 505 克的产品数量为

[(0.01 + 0.05) × 5] × 40 = 12 (件) .………… 4 分
(2) Y 的可能取值为 0,1,2. ………… 5 分

P(Y = 0) =

2 C28 63 C1 C 1 56 = P(Y = 1) = 28 2 12 = 2 C40 130 . C40 130 .

2 C12 11 P(Y = 2) = 2 = C40 130 .………… 8 分

Y

0

1

2

Y










P

63 130

56 130

11 130

………… 9 分

(3)利用样本估计总体,该流水线上产品重量超过 505 克的概率为 0.3. 令 ξ 为任取的 5 件产品中重量超过 505 克的产品数量, 则 ξ ? B (5,0.3) ,故所求概率为:

P (ξ = 2) = C52 (0.3) 2 (0.7)3 = 0.3087 .………… 12 分
18. (本小题满分 14 分) 解:(1) 证明:连结 OC,

∵ BO = DO, AB = AD,

∴ AO ⊥ BD

………… 1 分

∵ BO = DO, BC = CD , CO ⊥ BD . ……… 2 分
在 ?AOC 中, 由已知可得 AO = 1, CO =

3. …………3 分
……… 4 分 ………………… 5 分

2 2 2 而 AC = 2 , ∴ AO + CO = AC , o ∴ ∠AOC = 90 , 即 AO ⊥ OC.

∵ BD ∩ OC = O, ∴ AO ⊥ 平面 BCD . …………… 6 分
(2) 解:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 则 B (1, 0, 0), D ( ?1, 0, 0),

1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), 2 2

BA = (?1, 0,1), CD = ( ?1, ? 3, 0)

cos < BA, CD >=


BA ? CD BA ? CD

=

2 4

,……………

9分

2 ∴ 异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小为 4 .……
(3) 解:设平面 ACD 的法向量为 n = ( x, y, z ), 则

10 分

?n ? AD = ( x, y, z ) ? (?1, 0, ?1) = 0 ? ? ?n ? AC = ( x, y, z ) ? (0, 3, ?1) = 0 ,∴ ?

?x + z = 0 ? ? ? 3y ? z = 0 , ?

令 y = 1, 得 n = ( ? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量.

1 3 EC = (? , , 0), 2 2 又

h=
∴点 E 到平面 ACD 的距离

EC ? n n

=

3 21 = 7 7

.………

14 分

(3) (法二)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .

∵VE ? ACD = VA?CDE



1 1 h ? S ?ACD = ? AO ? S ?CDE 3 ∴3

…………………………12 分

在 ?ACD 中, CA = CD = 2, AD =

2,



S ?ACD =

1 2 7 × 2 × 22 ? ( ) 2 = 2 2 2 ,

1 3 2 3 S ?CDE = × ×2 = 2 4 2 . 而 AO = 1 ,

AO ? S ?CDE h= = S ?ACD




3 2 = 21 7 7 2 ,

21 ∴点 E 到平面 ACD 的距离为 7 …………… 14 分
19. (本小题满分 14 分)

解: (1)当

e=

3 2

y

时,

B(0,b)

∵ a = 1 ,∴

c=

3 2 ,
3 1 1 = 4 4 ,b = 2 ,

x A(-1 ,0) F(-c,0) o C(1,0)



b2 = a2 ? c 2 = 1 ?

1 3 B (0, ) F ( ? , 0) 2 , 2 点 , C (1, 0) …………………… 2 分
2 2 2 设 ⊙ P 的方程为 ( x ? m) + ( y ? n) = r ,

1 m 2 + ( ? n) 2 = r 2 2 由 ⊙ P 过点 F,B,C 得∴ (m + 3 2 ) + n2 = r 2 2



② ③ …………………… 5 分

(1 ? m)2 + n 2 = r 2
由①②③联立解得:

m=

2? 3 1? 2 3 5 n= r2 = 4 , 4 , 4

…………………… -7 分

∴所求的 ⊙ P 的方程为

(x ?

2? 3 2 1? 2 3 2 5 ) + (y ? ) = 4 4 4 ………………… 8 分

(2)∵ ⊙ P 过点 F,B,C 三点, ∴圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上, 也在 BC 的垂直平分线上,

FC 的垂直平分线方程为

x=

1? c 2



………… 9 分

1 b ( , ) k = ?b ∵BC 的中点为 2 2 , BC y? b 1 1 = (x ? ) 2 b 2

∴BC 的垂直平分线方程为

⑤ ……… 10 分

由④⑤得

x=

1? c b2 ? c ,y= 2 2b ,

1? c b2 ? c ,n = m= 2 2b 即

…………………… 11 分

∵ P ( m, n ) 在直线 x + y = 0 上,

1 ? c b2 ? c + =0 ? (1 + b)(b ? c ) = 0 2b ∴ 2
∵ 1+ b > 0
2 2 ∴ b = c ,由 b = 1 ? c



b2 =

1 2

…………………… 13 分 …………………… 14 分

2 2 ∴ 椭圆的方程为 x + 2 y = 1

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 | x |< 2 时,由 a ⊥ b

2 得 a ? b = ( x ? 3) x ? y = 0 ,

y = x3 ? 3 x ; | x |< 2 且 x ≠ 0 )------------------------------------2 分 (
当 | x |≥ 2 时,由 a // b .



y=?

x x ?3
2

--------------------------------------4 分

? x 3 ? 3 x, (?2 < x < 2且x ≠ 0) ? y = f ( x) = ? x .( x ≥ 2或x ≤ ?2) ? ?3 ? x2 ∴ ---------------------5 分
(2)当 | x |< 2 且 x ≠ 0 时,
2 由 y ' = 3 x ? 3 <0,

解得 x ∈ ( ?1, 0) ∪ (0,1) ,----------------6 分 当 | x |≥ 2 时,

y' =

(3 ? x 2 ) ? x(?2 x) 3 + x2 = >0 (3 ? x 2 )2 (3 ? x 2 ) 2

------------------------------8 分

∴函数 f ( x ) 的单调减区间为(-1,0)和(0,1) -------------9 分 (3)对 ?x ∈ ( ?∞, ?2] ∪[2, +∞ ) ,
2 都有 mx + x ? 3m ≥ 0

2 即 m( x ? 3) ≥ ? x ,

也就是

m≥

x 3 ? x2

对 ?x ∈ ( ?∞, ?2] ∪[2, +∞ ) 恒成立,----------------------------------11 分 由(2)知当 | x |≥ 2 时,

(3 ? x 2 ) ? x(?2 x) 3 + x2 f '( x) = = >0 (3 ? x 2 ) 2 (3 ? x 2 )2
∴ 函数 f ( x ) 在 ( ? ∞, ? 2] 和 [2,+∞ ) 都单调递增----------------------12 分



f ( ?2) =

?2 2 = 2 f (2) = = ?2 3? 4 3? 4 ,

当 x ≤ ?2 时

f ( x) =

x >0 3 ? x2 ,

∴当 x ∈ (?∞, ?2] 时,

0 < f ( x) ≤ 2
同理可得,当 x ≥ 2 时, 有 ?2 ≤ f ( x ) < 0 , 综上所述得, 对 x ∈ (?∞, ?2] ∪[2, +∞ ) ,

f ( x ) 取得最大值 2;
∴ 实数 m 的取值范围为 m ≥ 2 .----------------------14 分

21. (本小题满分 14 分)

解: (Ⅰ)分别令 n = 1 ,2,3,得 ∵

?2a1 = a12 + 1 ? 2 ?2(a1 + a 2 ) = a 2 + 2 ? 2 ?2(a1 + a 2 + a3 ) = a3 + 3

an > 0 ,
…………………3 分

a =3 ∴ a1 = 1 , a 2 = 2 , 3
(Ⅱ)证法一:

猜想:

an = n ,


……………………4 分
2 2S n = an + n



可知,当 n ≥2 时,
2 2 S n ?1 = a n ?1 + ( n ? 1)


2 2 2a n = a n ? a n ?1 + 1 ,

①-②,得 即
2 2 a n = 2a n + a n ?1 ? 1 .

………………6 分

1)当 n = 2 时,
2 a 2 = 2 a 2 + 12 ? 1 ,

∵ a2 > 0 , ∴ a2 = 2 ; ……………7 分

a =k. 2)假设当 n = k ( k ≥2)时, k
那么当 n = k + 1 时,
2 a k +1 = 2a k +1 + a k2 ? 1 = 2a k +1 + k 2 ? 1

? [a k +1 ? (k + 1)][a k +1 + (k ? 1)] = 0 ,
∵ ∴

a k +1 > 0

, k ≥2,

a k +1 + (k ? 1) > 0 ,


a k +1 = k + 1 .

这就是说,当 n = k + 1 时也成立, ∴

a n = n ( n ≥2).

显然 n = 1 时,也适合. 故对于 n∈N*,均有

an = n .

……………………9 分

证法二:猜想:

an = n ,

……………………………4 分 ……………………………5 分 …………………………6 分
2

1)当 n = 1 时, a1 = 1 成立;

a =k 2)假设当 n = k 时, k .

2 S = a k +1 + k + 1 . 那么当 n = k + 1 时, k +1


2( a k +1 + S k ) = a k2+1 + k + 1 ,

2 a k +1 = 2a k +1 + 2 S k ? ( k + 1)

= 2a k +1 + ( k 2 + k ) ? (k + 1) = 2a k +1 + ( k 2 ? 1)
(以下同证法一) ………………9 分 (Ⅲ)证法一:要证 只要证

nx + 1 + ny + 1



2(n + 2)



nx + 1 + 2 (nx + 1)(ny + 1) + ny + 1
2

≤ 2( n + 2) ,…………10 分

2 n xy + n( x + y ) + 1 ≤ 2( n + 2) ,…………11 分 即 n( x + y ) + 2 + 2 n xy + n + 1 ≤ n + 2 , 将 x + y = 1 代入,得
2

2 2 即要证 4( n xy + n + 1) ≤ ( n + 2) ,

即 4 xy ≤1. …………………………12 分 ∵ x > 0 , y > 0 ,且 x + y = 1 ,

x+ y 1 = xy 2, ∴ ≤ 2 1 即 xy ≤ 4 ,故 4 xy ≤1 成立,
所以原不等式成立. ………………………14 分 证法二:∵ x > 0 , y > 0 ,且 x + y = 1 ,

n nx + 1 + + 1 n 2 nx + 1 ? +1 2 2 ∴ ≤
x= 1 2 时取“ = ”号.



当且仅当

………………………11 分

n ny + 1 + + 1 n 2 ny + 1 ? +1 2 2 ∴ ≤ y= 1 2 时取“ = ”号.



当且仅当 ①+②,

……………………12 分

得( nx + 1 +

n n( x + y ) + 4 + n +1 ny + 1 = n+ 2, 2 ) 2 ≤
1 2 时取“ = ”号.


当且仅当 ∴

x= y=

………………………13 分 . ……………………14 分 ……………………10 分

nx + 1 + ny + 1

2(n + 2)

2(a + b) . 证法三:可先证 a + b ≤
2 ∵ ( a + b ) = a + b + 2 ab ,

( 2(a + b) ) 2 = 2a + 2b , a + b ≥ 2 ab ,……………………………11 分
∴ 2a + 2b ≥ a + b + 2 ab , ∴

2(a + b) ≥ a + b ,

当且仅当 a = b 时取等号. ………………12 分 令 a = nx + 1 , b = ny + 1 , 即得:

nx + 1 + ny + 1 ≤ 2(nx + 1 + ny + 1) = 2(n + 2) ,

当且仅当 nx + 1 = ny + 1



x= y=

1 2 时取等号. ………………………14 分



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