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求函数解析式的基本方法


求函数解析式的基本方法
刘有路 求函数解析式是中学数学的重要内容,是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析 式的基本方法,供广大师生参考。 一、定义法 根据函数的定义求其解析式的方法。 例 1. 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ) 。 解:因为

f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? [( x ) ? 1] 2 ? 1, x ? 1 ? 1, 所以f ( x ) ? x 2 ? 1( x ? 1)
二、换元法 已知 f [g( x)]求f ( x), 把g( x) 看成一个整体 t,进行换元,从而求出 f ( x ) 的方法。 例 2. 同例 1。
2 解:令 x ? 1 ? t, 则t ? 1, x ? t ? 1, x ? ( t ? 1) , 2 2 所以 f ( t ) ? ( t ? 1) ? 2( t ? 1) ? t ? 1( t ? 1) , 2 所以 f ( x ) ? x ? 1( x ? 1) 。

评注:利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围,即 f ( x ) 的定义域。

三、方程组法 根据题意,通过建立方程组求函数解析式的方法。 例 3. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (?x) ? 2f (x) ? x ? 1 ,求 f ( x ) 的解析式。 解:? f (?x) ? 2f (x) ? x ? 1 , ① ②

?f (x) ? 2f (?x) ? ?x ? 1

① ? 2 ? ② 得 3f (x) ? 3x ? 1 ,

所以

f (x) ? x ?

1 3。

评注:方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点,构造另一个方程。 四、特殊化法

通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。 例 4. 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 R , 并 对 一 切 实 数 x , y 都 有

2f (x ? y) ? f (x) ? 3f ( y) ? x(x ? 2y ? 1) ,求 f ( x ) 的解析式。
2 解:令 y ? 0得2f ( x ) ? f ( x ) ? 3f (0) ? x ? x ,

令 x ? y ? 0得2f (0) ? f (0) ? 3f (0) , 所以 f (0) ? 0 ,
2 所以 f ( x ) ? x ? x ( x ? R )

五、待定系数法 已知函数解析式的类型,可设其解析式的形式,根据已知条件建立关于待定系数的方 程,从而求出函数解析式的方法。 例 5. 已知二次函数 f ( x ) 的二次项系数为 a,且不等式 f (x) ? ?2x 的解集为(1,3), 方程 f (x) ? 6a ? 0 有两个相等的实根,求 f ( x ) 的解析式。 解:因为 f ( x ) ? 2x ? 0的 解集为(1,3), 设 f (x) ? 2x ? a (x ? 1)(x ? 3), 且a ? 0 , 所以 f (x) ? a (x ? 1)(x ? 3) ? 2x

? ax 2 ? (2 ? 4a ) x ? 3a
由方程 f (x) ? 6a ? 0
2 得 ax ? (2 ? 4a ) x ? 9a ? 0





因为方程②有两个相等的实根,
2 所以 ? ? [?(2 ? 4a )] ? 4a ? 9a ? 0 ,

2 即 5a ? 4a ? 1 ? 0,

解得

a ? 1或a ? ?

1 5 1 5,



a ? 0, 所以a ? ?



a??

1 5 ①得

1 6 3 f (x) ? ? x 2 ? x ? 5 5 5。
六、函数性质法 利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。
x 例 6. 已知函数 y ? f ( x ) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0时, f ( x ) ? 3 ? 1, 求f ( x ) 的解析式。

解析:因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数, 所以 f (?x) ? ?f (x),即f ( x) ? ?f (?x) , 当 x ? 0时,?x ? 0 ,

f (x ) ? ?f (?x ) ? ?(3 ? x ? 1) ? ?3 ? x ? 1

?3 x ? 1, x ? 0 ? f (x) ? ? ?x ?? 3 ? 1, x ? 0 ? 所以
七、反函数法 利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。 例 7. 已知函数 y ? ln x ? 1(x ? 0) ,求它的反函数。 解:因为 x ? 0 ,

? y ? ln x ? 1? R 由y ? ln x ? 1, 得 ln x ? y ? 1, 所以x ? e y ?1

?反函数为 y ? e

x ?1

(x ? R )

八、“即时定义”法 给出一个“即时定义”函数,根据这个定义求函数解析式的方法。 例 8. 对定义域分别是

D f 、D g

的函数 y ? f (x), y ? g(x) ,规定:函数

?f ( x ) ? g( x ), 当x ? D f 且x ? D g ? ? h ( x ) ? ?f ( x ),当x ? D f 且x ? D g , ? ?g( x ),当x ? D f 且x ? d g ?



f (x) ?

1 , g( x ) ? x 2 x ?1 ,写出函数 h ( x ) 的解析式。

? x2 , x ? (??,1) ? (1,??), ? h(x) ? ? x ? 1 ?1, x ? 1 ? 解:
九、建模法 根据实际问题建立函数模型的方法。 例 9. 用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一 个小正方形,然后把四边翻转 90°角,再焊接而成(如图 1),问该容器的高为多少时,容 器的容积最大?最大容积是多少?

3 解:设容器高为 xcm,容器的容积为 V( x )cm , 则V( x ) ? x (90 ? 2x )(48 ? 2x ) ?

4x 3 ? 276x 2 ? 4320x (0 ? x ? 24) 。
求 V( x ) 的导数,得

V' ( x ) ? 12x 2 ? 552x ? 4320 ? 12( x 2 ? 46x ? 360) ? 12( x ? 10)(x ? 36) 令V' ( x ) ? 0, 得x 1 ? 10, x 2 ? 36(舍去)
当 0 ? x ? 10时, V' (x) ? 0 ,那么 V( x ) 为增函数;当 10 ? x ? 24时, V' (x) ? 0 ,那么 V( x ) 为减函数; 因此,在定义域(0,24)内,函数 V( x ) 只有当 x ? 10 时取得最大值,其最大值为

V(10) ? 10 ? (90 ? 20) ? (48 ? 20) ? 19600(cm 3 )
答:当容器的高为 10cm,容器的容积最大,最大容积为 19600cm 。 十、图像法 利用函数的图像求其解析式的方法。 例 10. 在同一平面直角坐标系中,函数 y ? f ( x)和y ? g( x) 的图像关于直线 y ? x 对称。
3

现将 y ? g( x ) 的图像沿 x 轴向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向上平移 1 个单位,所得的图像是 由两条线段组成的折线(如图 2 所示),则函数 f ( x ) 的表达式为( )

?2x ? 2,?1 ? x ? 0, ? f (x) ? ? x ? 2 ? 2,0 ? x ? 2 ? (A)
?2x ? 2,?1 ? x ? 0, ? f (x) ? ? x ? 2 ? 2,0 ? x ? 2 ? (B) ?2x ? 2,?1 ? x ? 2 ? f (x) ? ? x ? 2 ? 1,2 ? x ? 4 ? (C) ?2x ? 6,1 ? x ? 2 ? f (x) ? ? x ? 2 ? 3,2 ? x ? 4 ? (D)

解析:由图像求得解析式

?x ? ? 1,?2 ? x ? 0 h(x) ? ? 2 ?2x ? 1,0 ? x ? 1 ?
将 g ( x ) 向左平移 2 个单位,向上平移 1 个单位得到 h ( x ) 的图像,

?x ? ? 1,0 ? x ? 2, g( x ) ? ? 2 ?2x ? 4,2 ? x ? 3 ? 所以
因为 f ( x )与g( x ) 的图像关于 y ? x 对称,所以 f ( x )与g( x ) 互为反函数。 所以

?2x ? 2,?1 ? x ? 0, ? f ( x ) ? g ?1 ( x ) ? ? x ? 2 ? 2,0 ? x ? 2 ?
所以选(A)。 十一、轨迹法 设出函数图像上任一点 P(x,y),根据题意建立关于 x,y 的方程,从而求出函数解析式 的方法。 例 11. 已知函数 y ? f ( x ) 的图像与函数 g(x) ? log 2 x(x ? 0) 的图像关于原点对称,求

f ( x ) 的解析式。
解:设 y ? f ( x ) 的图像上任一点 P(x,y),P 关于原点的对称点 P' (?x,?y) 在 y ? g( x ) 的图像上, 所以 ? y ? log 2 (?x), y ? ? log 2 (?x) , 所以

函数值域的八大求法
刘俊 求函数值域是高考的热点,同时也是大家学习中的一个难点,在求函数值域时本人总 结以下八种方法,供大家参考。 方法一:观察法
2 例 1. 求函数 y ? 4 ? x 的值域。 2 2 2 解析:由 x ? 0及 4 ? x ? 0, 知 4 ? x ? [0,2] 。

故此函数值域为 [0,2] 。 评注:此方法适用于解答选择题和填空题。 方法二:不等式法

例 2. 求函数

y?

( x 2 ? 1) 2 x2

( x ? 0)

的值域。

解析:

?y ?

( x 2 ? 1) 2 x2

?

x 4 ? 2x 2 ? 1 1 ? 2 ? x2 ? 2 ? 4 2 x x ,

?此函数值域为 [4,??) 。
评注:此方法在解答综合题时可屡建奇功! 方法三:反函数法

例 3. 求函数

y?

x ?1 ( x ? ?4) x?2 的值域。

解析:由

y?

x ? 1 x ? 2y ? 1 1? y 。 x?2得

2y ? 1 5 ? ?4 y ? 或y ? 1 1? y 2 由 x ? ?4 ,得 ,解得 。

5 (??,1) ? [ ,??) 2 ?此函数值域为 。
评注:此方法适用范围比较狭窄,最适用于 x 为一次的情形。 方法四:分离常数法

例 4. 求函数

y?

6( x 2 ? 1) 2 6x 4 ? 13x 2 ? 6 的值域。 6( x 2 ? 1) 2 ? 6x 4 ? 12x 2 ? 6 6x 4 ? 13x 2 ? 6

解析::

y?

6x 4 ? 13x 2 ? 6

?1?

x2 1 1 24 ?1? ?1? ? 4 2 6 25 25 6x ? 13x ? 6 6x 2 ? 13 ? 2 x 。

24 ,1] 从而易知此函数值域为 25 。 [ y? cx ? d (a ? 0, bc ? ad) ax ? b 的

评注:此题先分离常数,再利用不等式法求解。注意形如

c c (??, ) ? ( ,??) a a 值域为 。
方法五:判别式法

例 5. 求函数

y?

x2 ? 1 x 2 ? x ? 1 的值域。

2 解析:原式整理可得 ( y ? 1) x ? yx ? ( y ? 1) ? 0 。

当 y ? 1 ? 0 即 y ? 1 时, x ? ?2 原式成立。

2 当 y ? 1 ? 0 即 y ? 1 时, ? ? y ? 4( y ? 1)[?( y ? 1)] ? 0 ,解得

y?

2 5 2 5 或y ? ? 5 5 。

综上可得原函数值域为

(??,?

2 5 2 5 ]?[ ,??) 5 5 。

评注:此方法适用于 x 为二次的情形,但应注意 y ? 1 ? 0 时的情况。 方法六:图象法

例 6. 求函数

y?

1 x ? 1 ? 1(x ? 0) 的值域。

解析:作出此函数的图象,如下图所示。可知此函数值域为 (??,?2] ? (?1,??) 。 评注:此方法最适用于选择题和填空题,画出函数的草图,问题会变得直观明了。 y

0 -1 -2

1 2 (1,-1)

x

方法七:中间变量法

例 7. 求函数

y?

x2 ? 3 x 2 ? 5 的值域。 x2 ? 5y ? 3 y ?1 。

解析:由上式易得

x 2 ? 0, 知


5y ? 3 3 ? 0, 解得y ? ? 或y ? 1 y ?1 5 。

3 (??,? ] ? (1,??) 5 故此函数值域为 。
评注:此方法适用范围极其狭窄,需要灵活掌握。 方法八:配方法 例 8. 求函数 y ? x ? 2 x ? 3 的值域。
2 解析:因为 y ? ( x ? 1) ? 2 ? 2 ,故此函数值域为 [2,??) 。

评注:此方法需要灵活掌握,常常可以达到意想不到的效果。



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