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2014年高一数学第一章 集合与函数概念训练题


1.3

函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大(小)值 第 1 课时 函数的单调性
基础达标 1.定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 a,b,总有 A.函数 f(x)先增后减 B.f(x)是 R 上的增函数 C.函数 f(x)先减后增 D.函数 f(x)是 R 上的减函数 解析 由 f?a?-f?b? >0 知,当 a>b 时,f(a)>f(b);当 a<b 时,f(a)<f(b),所以函数 f(x)是 R 上 a-b f?a?-f?b? >0,则必有( a-b ).

的增函数. 答案 B 2.函数 y=f(x)在 R 上为增函数,且 f(2m)>f(-m+9),则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,-3) C.(3,+∞) B.(0,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) ).

解析 因为函数 y=f(x)在 R 上为增函数,且 f(2m)>f(-m+9),所以 2m>-m+9,即 m>3. 答案 C 3.(2013· 天津高一检测)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的函数是( 1 A.y=x C.y=-x2+1 B.y=|x|+1 D.y=-2x+1 ).

1 解析 函数 y=x在(0,+∞)上是减函数;y=|x|+1 在(0,+∞)上是增函数,y=-x2+1 在 (0,+∞)上是减函数,y=-2x+1 在(0,+∞)上是减函数. 答案 B 4 . (2013· 盐城高一检测 )已知 f(x)=x2 -2mx+ 6 在 (-∞,- 1]上是减函数,则 m 的范围为 ________.

解析 ∵f(x)的对称轴方程为 x=m, ∴要使 f(x)在(-∞,-1]上是减函数,只需 m≥-1. 答案 [-1,+∞) ?1? 5.已知函数 f(x)为区间[-1,1]上的增函数,则满足 f(x)<f?2?的实数 x 的取值范围为________. ? ? -1≤x≤1, ? ? 解析 由题设得? 1 x< , ? ? 2 1 答案 -1≤x<2 6.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间为________. 解析 y=-(x-3)|x|
2 ?-x +3x?x>0?, 3? ? =? 2 作出其图象如图,观察图象知递增区间为?0,2?. ? ? ?x -3x?x≤0?,

1 即-1≤x<2.

3? ? 答案 ?0,2? ? ? 7.若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0. (1)求 b 与 c 的值; (2)试证明函数 f(x)在区间(2,+∞)上是增函数. (1)解 ∵f(1)=0,f(3)=0, ?1+b+c=0, ∴? 解得 b=-4,c=3. ?9+3b+c=0, (2)证明 由(1)知 f(x)=x2-4x+3, 任取 x1,x2∈(2,+∞)且 x1<x2,
2 由 f(x1)-f(x2)=(x1 -4x1+3)-(x2 2-4x2+3) 2 =(x1 -x2 2)-4(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-4),

∵x1-x2<0,x1>2,x2>2, ∴x1+x2-4>0.

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)在区间(2,+∞)上为增函数. 能力提升 8.下列说法中正确的有( ).

①若 x1,x2∈I,当 x1<x2 时,f(x1)<f(x2),则 y=f(x)在 I 上是增函数; ②函数 y=x2 在 R 上是增函数; 1 ③函数 y=-x在定义域上是增函数; 1 ④y= 的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞). x A.0 个 B.1 个 C .2 个 D.3 个

解析 函数的单调性的定义是指定义在区间 I 上任意两个值 x1,x2,强调的是任意,从而① 不对;②y=x2 在 x≥0 时是增函数,x<0 时是减函数,从而 y=x2 在整个定义域上不具有单 1 1 调性;③y=- x 在整个定义域内不是单调递增函数;④y= x 的单调区间是(-∞,0)和(0, +∞). 答案 A 9.(易错题)函数 f(x)= 解析 f(x)= 1 在(a,+∞)上单调递减,则 a 的取值范围是________. x+1

1 的单调减区间为(-1,+∞)与(-∞,-1), x+1

又 f(x)在(a,+∞)上是减函数,∴a≥-1. 答案 [-1,+∞) 10.讨论函数 f(x)= 解 f(x)= ax+1? 1? ?a≠2?在(-2,+∞)上的单调性. ? x+2 ?

ax+1 1-2a =a+ , x+2 x+2

设任意 x1,x2∈(-2,+∞)且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= 1-2a 1-2a - x1+2 x2+2

x2-x1 =(1-2a) , ?x2+2??x1+2? ∵-2<x1<x2,∴x2-x1>0,

又(x2+2)(x1+2)>0. 1 (1)若 a<2时,1-2a>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 则 f(x)在(-2,+∞)上为减函数. 1 (2)若 a>2,则 1-2a<0. ∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2), 故 f(x)在(-2,+∞)上为增函数. 1 综上,当 a<2时,f(x)在(-2,+∞)上为减函数; 1 当 a>2时,f(x)在(-2,+∞)上为增函数.

第 2 课时

函数的最值
基础达标 ).

1.(2013· 温州高一检测)设定义在 R 上的函数 f(x)=x|x|,则 f(x)( A.只有最大值 B.只有最小值 C.既有最大值,又有最小值 D.既无最大值,又无最小值

2 ?x ?x≥0?, 解析 f(x)=? 2 画出图象可知,既无最大值又无最小值. ?-x ?x<0?,

答案 D 2.函数 f(x)=x2+3x+2 在区间(-5,5)上的最大、最小值分别为( A.42,12 1 C.12,-4 1 B.42,-4 1 D.无最大值,最小值为-4 ).

? 3? 1 解析 ∵f(x)=?x+2?2-4,x∈(-5,5), ? ? 3 1 ∴当 x=-2时,f(x)有最小值-4,f(x)无最大值.

答案 D 3.函数 f(x)= 4 A.5 5 B.4 1 的最大值是( 1-x?1-x? 3 C.4 4 D.3 D ).

4 4 ? 1? 3 3 解析 t=1-x(1-x)=?x-2?2+4≥4.∴0<f(x)≤3,即 f(x)的最大值为3.答案 ? ? 4.函数 f(x)= x 在区间[2,4]上的最小值是________. x+2

解析 f(x)=

x 2 2 1 =1- 在 x∈[2,4]上是增函数,∴f(x)min=f(2)= = .答案 x+2 x+2 2+2 2

1 2

5.已知函数 f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a],并且 f(x)的最小值为 f(a),则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 由题意知,f(x)在[1,a]内是单调递减的, 又∵f(x)的单调减区间为(-∞,3],∴1<a≤3. 答案 (1,3] 6. 某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车, 利润(单位: 万元)分别为 L1=-x2+21x 和 L2=2x, 其中销售量单位:辆.若该公司在两地共销售 15 辆,则能获得的最大利润为________. 解析 设该公司在甲地销售 x 辆车,则在乙地销售(15-x)辆,根据题意,总利润 y=-x2 19 +21x+2(15-x)(0≤x≤15,x∈N)整理得:y=-x2+19x+30.函数的对称轴为 x= 2 .∵x∈ N,∴x=9 或 10 时,y 取得最大值 120 万元.答案 120 万元

2 ? ?- ,x∈?-∞,0?, 7.(2013· 梅州高一检测)画出函数 f(x)=? x ? ?x2+2x-1,x∈[0,+∞?, 的图象,并写出函数的单调区间及最小值. 解 f(x)的图象如图所示,f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和[0,+∞),函数的最小值为 f(0)

=-1.

能力提升

8.已知函数 f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若 f(x)有最小值-2,则 f(x)的最大值为( A.-1 B.0 C.1 D.2

).

解析 f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a, ∴当 x∈[0,1]时,f(x)是增函数, 则 f(x)min=f(0)=a=-2,∴f(x)max=f(1)=3+a=1.答案 C

?3? 9.已知函数 y=f(x)是(0,+∞)上的减函数,则 f(a2-a+1)与 f?4?的大小关系是________. ? ? 1? 3 3 ? 解析 ∵a2-a+1=?a-2?2+4≥4, ? ? ?3? 又 f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(a2-a+1)≤f?4?. ? ? ?3? 答案 f(a2-a+1)≤f?4? ? ? 10.(2013· 南昌高一检测)某旅行团去风景区旅游,若每团人数不超过 30 人,飞机票每张收费 900 元;若每团人数多于 30 人,则给予优惠,每多 1 人,机票每张减少 10 元,直至每张降 为 450 元为止,每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元,假设一个旅行团体 不能超过 70 人. (1)写出飞机票的价格关于人数的函数式; (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润? 解 (1)设旅行团的人数为 x,机票价格为 y 元,则:

?900,1≤x≤30, ?900,1≤x≤30, y=? 即 y=? 10,30<x≤70, ?900-?x-30?· ?1 200-10x,30<x≤70. (2)设旅行社可获得利润为 Q 元,则: ?900x-15 000,1≤x≤30, Q=? ??1 200-10x?x-15 000,30<x≤70, ?900x-15 000,1≤x≤30, 即 Q=? 2 ?-10x +1 200x-15 000,30<x≤70, 当 x∈[1,30]时,Qmax=900×30-15 000=12 000(元), 当 x∈(30,70]时,Q=-10(x-60)2+21 000, ∴x=60 时,取 Qmax=21 000(元), ∴当每团人数为 60 时,旅行社可获得最大利润 21 000 元.

1.3.2
1.下列函数是偶函数的是( A.y=x C.y= 1 x ).

奇偶性
基础达标 B.y=2x2-3 D.y=x2,x∈[0,1]

解析 A 选项是奇函数;B 选项为偶函数;C、D 选项的定义域不关于原点对称,故为非奇 非偶函数. 答案 B 2.(2013· 济南高一检测)若函数 f(x)= 1 A.2 2 B.3 x 为奇函数,则 a=( ?2x+1??x-a? 3 C.4 D.1 ).

1 解析 函数 f(x)的定义域为{x|x≠-2且 x≠a}. 1 又 f(x)为奇函数,定义域应关于原点对称,∴a=2. 答案 A 3.设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则 f(-2),f(π),f(-3)的大 小关系是( ). B.f(π)>f(-2)>f(-3) D.f(π)<f(-2)<f(-3)

A.f(π)>f(-3)>f(-2) C.f(π)<f(-3)<f(-2) 解析 ∵f(x)是偶函数,

则 f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),又当 x≥0 时,f(x)是增函数, 所以 f(2)<f(3)<f(π),从而 f(-2)<f(-3)<f(π). 答案 A 4.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=________. 解析 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x)=2x2-x, ∴f(1)=-f(-1)=-2×(-1)2+(-1)=-3.答案 -3

5.已知函数 y=f(x)是偶函数,其图象与 x 轴有四个交点,则方程 f(x)=0 的所有实根之和是 ________.

解析 ∵偶函数的图象关于 y 轴对称,∴f(x)与 x 轴的四个交点也关于 y 轴对称. 若 y 轴右侧的两根为 x1,x2,则 y 轴左侧的两根为-x1,-x2,∴四根和为 0. 答案 0 6.函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它是减函数,若实数 a,b 满足 f(a)+f(b)>0,则 a +b________0(填“>”“<”或“=”). 解析 由 f(a)+f(b)>0,得 f(a)>-f(b). ∵f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x). ∴f(a)>f(-b),又 f(x)为减函数, ∴a<-b,即 a+b<0. 答案 < 7.(2013· 泰安高一检测)函数 f(x)= ax+b ?1? 2 是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且 f?2?= . 2 ? ? 5 x +1

(1)求实数 a,b,并确定函数 f(x)的解析式; (2)判断 f(x)在(-1,1)上的单调性,并且用定义证明你的结论.



f?0?=0, ? ? (1)根据题意得? ?1? 2 f? ?= , ? ? ?2? 5

? 1+0 =0, ?a 即? +b 2 2 = 1 5, ? ?1+4
a×0+b
2

?a=1, x 解得? ∴f(x)= . 1+x2 ?b=0,

(2)任意 x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2. 则 f(x1)-f(x2)= ?x1-x2??1-x1x2? x1 x2 2- 2= 2 1+x1 1+x2 ?1+x2 1??1+x2?

∵-1<x1<x2<1,∴x1-x2<0,1-x1x2>0,从而 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 故 f(x)在(-1,1)上是增函数. 能力提升 8.已知函数 f(x)在[-5,5]上是偶函数,f(x)在[0,5]上是单调函数,且 f(-4)<f(-2),则下列不 等式一定成立的是( A.f(-1)<f(3) C.f(-3)<f(5) ). B.f(2)<f(3) D.f(0)>f(1)

解析 ∵函数 f(x)在[-5,5]上是偶函数,

∴f(-4)<f(-2)?f(4)<f(2).又 f(x)在[0,5]上是单调函数. ∴f(x)在[0,5]上递减,从而 f(0)>f(1).答案 D

9.已知函数 y=f(x)是奇函数,若 g(x)=f(x)+2,且 g(1)=1,则 g(-1)=________. 解析 由 g(1)=1,且 g(x)=f(x)+2,∴f(1)=g(1)-2=-1,又 y=f(x)是奇函数. ∴f(-1)=-f(1)=1,从而 g(-1)=f(-1)+2=3.答案 10.已知 f(x)为奇函数,且当 x<0 时,f(x)=x2+3x+2. 若当 x∈[1,3]时,f(x)的最大值为 m,最小值为 n,求 m-n 的值. 解 ∵x<0 时,f(x)=x2+3x+2,且 f(x)是奇函数, 3

∴当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=x2-3x+2. 故当 x>0 时,f(x)=-f(-x)=3x-x2-2. 3? ? ∴当 x∈?1,2?时,f(x)是增函数; ? ? ?3 ? 当 x∈?2,3?时,f(x)是减函数. ? ? 1 9 ?3? 1 因此当 x∈[1,3]时,f(x)max=f?2?=4,f(x)min=f(3)=-2.∴m=4,n=-2,从而 m-n=4. ? ?

周练(三)

函数的基本性质
满分:100 分)

(时间:80 分钟

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.若点(-1,3)在奇函数 y=f(x)的图象上,则 f(1)等于( A.0 B.-1 C.3 D.-3 ).

解析 由题知,f(-1)=3,因为 f(x)为奇函数,所以 f(1)=-f(-1)=-3. 答案 D 2.若函数 f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,则 a 等于( A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析 ∵f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 即(-x+1)(-x-a)=(x+1)(x-a),∴x· (a-1)=x· (1-a),故 1-a=0,∴a=1. 答案 C ).

3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y=x

).

B.y=-x3 D.y=x|x|

解析 A 中为非奇非偶函数,B 为减函数,C 在定义域内不单调,对于 D,当 x≥0,y=x2 是增函数;当 x<0,y=-x2 是增函数,显然是奇函数. 答案 D 4.函数 y= 1 在[2,3]上的最小值为( x-1 1 C.3 1 D.-2 1 1 1 在[2,3]上是减函数,ymin= =2.答案 x-1 3-1 ). B.偶函数 D.非奇非偶函数 B ).

1 A.2 B.2

解析 作出图象可知 y= 5.函数 y= 1-x2+ A.奇函数

9 是( 1+|x|

C.既是奇函数又是偶函数 解析

2 ?1-x ≥0 先求定义域,由? ?-1≤x≤1.∴定义域为[-1,1],且定义域关于原点对 ?1+|x|≠0

称.又 f(-x)= 1-?-x?2+ 答案 B

9 =f(x),∴f(x)为偶函数. 1+|-x|

6.已知 f(x)在实数集上是减函数,若 a+b≤0,则下列正确的是( A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)] C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)]

).

B.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)

解析 由 a+b≤0,得 a≤-b,∵f(x)在 R 上是减函数,∴f(a)≥f(-b). 同理 f(b)≥f(-a),∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).答案 B ).

7.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=x2+3x+1,则 f(x)=( A.x2 C.2x2+2 解析 ∵f(x)+g(x)=x2+3x+1,① ∴f(-x)+g(-x)=x2-3x+1.又 f(x)是偶函数,且 g(x)是奇函数, B.2x2 D.x2+1

∴f(x)-g(x)=x2-3x+1.②由①②联立,得 f(x)=x2+1.答案

D ).

x ?2 +1,x<1, 8.已知函数 f(x)=? 2 若 f(f(0))=4a,则实数 a 等于( ?x +ax,x≥1,

1 A.2

4 B.5

C.2 D.9

x ?2 +1,x<1, 解析 f(x)=? 2 ?x +ax,x≥1.

∵0<1,∴f(0)=20+1=2.∵f(0)=2≥1,∴f[f(0)]=22+2a=4a,∴a=2.答案 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

C

9.已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 为偶函数,其定义域为[a-1,2a],则 a+b=________. 1 解析 ∵偶函数的定义域关于原点对称,∴a-1=-2a,a=3. 1 又 f(x)=ax2+bx+3a+b 为偶函数,则 b=0.因此 a+b=3. 1 答案 3 1 10.设函数 f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=2,且 f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)=________. 1 解析 ∵f(x)是奇函数,且 x∈R,∴f(0)=0,且 f(-1)=-f(1)=-2.又 f(x+2)=f(x)+f(2), 1 且 f(1)=2.令 x=-1,则 f(1)=f(-1)+f(2),∴f(2)=1. 3 5 因此 f(3)=f(1)+f(2)=2,所以 f(5)=f(2)+f(3)=2.答案 ??3-a?x-4a 11.(2013· 长沙高一检测)已知 f(x)=? 2 ?x ?x≥1? 围是________. ?3-a>0, 2 解析 ∵f(x)在 R 上是增函数,∴? 2 解之得5≤a<3. ??3-a?×1-4a≤1 . ?2 ? 答案 ?5,3? ? ? 12.若函数 f(x)=- x+a 为区间[-1,1]上的奇函数,则它在这一区间上的最大值为________. bx+1 ?x<1? 5 2 是 R 上的增函数,那么 a 的取值范

x 解析 f(x)为[-1,1]上的奇函数, 且在 x=0 处有定义, 所以 f(0)=0, 故 a=0, 则 f(x)=- . bx+1 又 f(-1)=-f(1),得- -1 1 = ,故 b=0,于是 f(x)=-x. -b+1 b+1

因此 f(x)=-x 在[-1,1]上是减函数,故 f(x)max=1. 答案 1 三、解答题(每小题 10 分,共 40 分) 13.判断下列函数的奇偶性: 1 (1)f(x)=x4+ 2; x (2)f(x)=|x-2|-|x+2|. 解 (1)函数的定义域为{x|x≠0},其关于原点对称.

1 ∵f(-x)=x4+x2=f(x),∴函数为偶函数. (2)函数的定义域为 R,关于原点对称, ∵f(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-f(x), ∴函数为奇函数. 14.已知 y=f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=-x2+2x+2. (1)求 f(x)的解析式; (2)画出 f(x)的图象,并指出 f(x)的单调区间. 解 (1)设 x<0,则-x>0,所以

f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2,又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=x2+2x-2,又 f(0)=0,

?x +2x-2 ∴f(x)=?0 ?-x2+2x+2
如图所示.

2

?x<0?, ?x=0?, ?x>0?.

(2)先画出 y=f(x)(x>0)的图象, 利用奇函数的对称性可得到相应 y=f(x)(x<0)的图象, 其图象

由图可知,其增区间为(-1,0)及(0,1],减区间为(-∞,-1]及(1,+∞). 15.某租车公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3 000 元时,可全部租出,当每辆车的 月租金每增加 60 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费 160 元,未租 出的车每月需要维护费 60 元. (1)当每辆车的月租金定为 3 900 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金为多少元时,租车公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解 (1)租金增加了 900 元.

所以未出租的车有 15 辆,一共出租了 85 辆. (2)设租金提高后有 x 辆未租出,则已租出(100-x)辆,租车公司的月收益为 y 元.

y=(3 000+60x)(100-x)-160(100-x)-60x, 其中 x∈[0,100],x∈N, 整理得:y=-60x2+3 100x+284 000 ? 155? 972 125 =-60?x- 6 ?2+ 3 , ? ? 当 x=26 时,ymax=324 040, 此时,月租金为:3 000+60×26=4 560 元. 即当每辆车的月租金为 4 560 元时,租车公司的月收益最大为 324 040 元. 16.已知函数 f(x)的定义域是{x|x≠0},对定义域内的任意 x1,x2 都有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2),且 当 x>1 时 f(x)>0. (1)求证:f(x)是偶函数; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数. 证明 (1)令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0, 令 x1=x2=-1,可求 f(-1)=0.令 x1=x,x2=-1, ∴f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)设任意 x2>x1>0,则 ? x2? ?x2? ?-f(x1)=f?x ?, f(x2)-f(x1)=f?x1· x ? ? 1? 1? x2 ∵x2>x1>0,则x >1,又 x>1 时,f(x)>0,
1

∴f(x2)-f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1),

∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.

章末质量评估(一)
(时间:120 分钟

集合与函数概念
满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=( A.0 或 C.1 或 3 3 B.0 或 3 D.1 或 3 ).

解析 由 A∪B=A,知 B?A,∴m=3 或 m= m(且 m≠1),因此 m=3 或 m=0. 答案 B 2.设集合 A={-1,3,5},若 f:x→2x-1 是集合 A 到集合 B 的映射,则集合 B 可以是( A.{0,2,3} C.{-3,5} B.{1,2,3} D.{-3,5,9} ).

解析 当 x=-1,3,5 时对应的 2x-1 的值分别为-3,5,9. 答案 D 3.若 P={x|x<1},Q={x|x>-1},则( A.P?Q C.?RP?Q ). B.Q?P D.Q??RP

解析 P={x|x<1},∴?RP={x|x≥1}.又∵Q={x|x>-1},∴Q??RP. 答案 C 4.下列图象中不能作为函数图象的是( ).

解析 B 选项对于给定的变量有两个值与其对应,不是函数的图象. 答案 B 1 5.函数 f(x)= 1+x+x 的定义域是( A.[-1,+∞) C.[-1,0)∪(0,+∞) ). B.(-∞,0)∪(0,+∞) D.R C

?1+x≥0, 解析 要使函数有意义,需满足? 即 x≥-1 且 x≠0.答案 ?x≠0, 6.下面四个结论: ①偶函数的图象一定与 y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点, ③偶函数的图象关于 y 轴对称; ④既是奇函数又是偶函数的函数是 f(x)=0. 其中正确命题的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 ).

1 解析 偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定与 y 轴相交,如 y=x2,故①错,③对;奇函 1 数的图象不一定通过原点,如 y= x,故②错;既奇又偶的函数除了 f(x)=0,还可以是 f(x) =0,x∈[-1,1],④错.答案 A ).

7.下列四个函数中,在(-∞,0)上是增函数的为( A.f(x)=x2+1 C.f(x)=x2-5x-6

1 B.f(x)=1-x D.f(x)=3-x

解析 A、C、D 选项中的三个函数在(-∞,0)上都是减函数,只有 B 正确. 答案 B 8. (2013· 龙海高一检测)若函数 f(x)为奇函数, 且当 x>0 时, f(x)=x-1, 则当 x<0 时, 有( A.f(x)>0 C.f(x)· f(-x)≤0 B.f(x)<0 D.f(x)-f(-x)>0 ).

解析 f(x)为奇函数,当 x<0 时,-x>0, ∴f(x)=-f(-x)=-(-x-1)=x+1,∴f(x)· f(-x)=-(x+1)2≤0. 答案 C

9.函数 f(x)=ax3+bx+4(a,b 不为零),且 f(5)=10,则 f(-5)等于( A.-10 B.-2 C.-6 D.14 解析 ∵f(5)=125a+5b+4=10,∴125a+5b=6, f(-5)=-125a-5b+4=-(125a+5b)+4=-6+4=-2.答案 10.二次函数 y=x2-4x+3 在区间(1,4]上的值域是( A.[-1,+∞) C.[-1,3] B.(0,3] D.(-1,3] ). B

).

解析 ∵y=(x-2)2-1,∴函数 y=x2-4x+3 在(1,2]上递减,在(2,4]上递增.∴当 x=2 时, ymin=-1. 又当 x=1 时,y=1-4+3=0, 当 x=4 时,y=42-16+3=3, ∴该函数在(1,4]上的值域为[-1,3].答案 C 11.定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) f?x2?-f?x1? <0,即 x2-x1 与 f(x2)-f(x1)异号, x2-x1 f?x2?-f?x1? <0,则( x2-x1 ).

解析 对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有

∴f(x)在[0,+∞)上是减函数,又 f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(-2)=f(2),∴f(3)<f(-2)<f(1)..答案 A f?x?+f?-x? <0 的解集 2x

12.若函数 y=f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,又 f(3)=0,则 为( ). B.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) f?x?+f?-x? f?x? <0 可化为 2x x <0.

A.(-3,3) C.(-3,0)∪(3,+∞)

解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),故

又 f(x)在(0,+∞)上是减函数,且 f(3)=0,故当 x>3 时,f(x)<0.当-3<x<0 时,f(x)>0, f?x? 故 x <0 的解集为(-3,0)∪(3,+∞).答案 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确的答案填在题中的横线上)

13.已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若 N∩?IM=?,则 M∪N=________. 解析 因为 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,N∩?IM=?,所以由韦恩图可 知 N?M,所以 M∪N=M.

答案 M 14. (2013· 兰州高一检测)已知定义在 R 上的偶函数 f(x), 当 x>0 时, f(x)=-x3+1, 则 f(-2)· f(3) 的值为________. 解析 ∵x>0,f(x)=-x3+1,∴f(3)=-33+1=-26,f(-2)=f(2)=-23+1=-7.∴f(- 182

2)· f(3)=(-26)×(-7)=182.答案

15.若 f(x)=(m-1)x2+6mx+2 是偶函数,则 f(0),f(1),f(-2)从小到大的顺序是________. 解析 因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x)恒成立, 即(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2 恒成立.所以 m=0,即 f(x)=-x2+2. 因为 f(x)的图象开口向下,对称轴为 y 轴,所以 f(2)<f(1)<f(0),即 f(-2)<f(1)<f(0). 答案 f(-2)<f(1)<f(0) 16.若 y=f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,f(-2)=0,则 不等式 x· f(x)<0 的解集为________. 解析 根据题意画出 f(x)大致图象:

由图象可知-2<x<0 或 0<x<2 时,x· f(x)<0. 答案 (-2,0)∪(0,2) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知集合 A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x≤1 或 x≥4}. (1)当 a=3 时,求 A∩B; (2)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=3 时,A={x|-1≤x≤5},B={x|x≤1 或 x≥4},∴A∩B={x|-1≤x≤1 或

4≤x≤5}. (2)(ⅰ)若 A=?,此时 2-a>2+a,∴a<0,满足 A∩B=?.

(ⅱ)当 a≥0 时,A={x|2-a≤x≤2+a}≠?, ?2-a>1, ∵A∩B=?,∴? ∴0≤a<1. ?2+a<4, 综上可知,实数 a 的取值范围是 a<1.
2 ?3-x ,x∈[-1,2], 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=? ?x-3,x∈?2,5].

(1)在给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象; (2)写出 f(x)的单调递增区间与减区间. 解 (1)函数 f(x)的图象如下图

(2)当 x∈[-1,2]时,f(x)=3-x2, 知 f(x)在[-1,0]上递增;在[0,2]上递减, 又 f(x)=x-3 在(2,5]上是增函数, 因此函数 f(x)的增区间是[-1,0]和(2,5];减区间是[0,2]. 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= (1)若 a=2,求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围. 解 (1)a=2 时,f(x)= 3-2x. 3-ax (a≠1). a-1

3? 3 ? 由 3-2x≥0,得 x≤2.∴f(x)的定义域为?-∞,2?. ? ? 3? ? (2)①当 a>1 时,f(x)的减区间是?-∞,a?, ? ? 3 又 f(x)在(0,1]上是减函数,∴a≥1,从而 1<a≤3; ②当 0≤a<1 时,f(x)在区间(0,1]上不是减函数; ③当 a<0 时,显然 f(x)在(0,1]上是减函数. 综上,实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3].

20.(本小题满分 12 分)(2013· 淮安高一检测)已知函数 f(x)=

2x+1 . x+1

(1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论; (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值. 解 (1)f(x)在[1,+∞)上是增函数.证明如下:任取 x1,x2∈[1,+∞),且 x1<x2, 2x1+1 2x2+1 x1-x2 - = . x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1?

f(x1)-f(x2)=

∵x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0,所以,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在[1,+∞)上是增函数. (2)由(1)知函数 f(x)在[1,4]上是增函数.所以最大值为 f(4)= 2×1+1 3 = . 2 1+1 ?x? 21.(本小题满分 12 分)若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x,y>0,满足 f?y?=f(x) ? ? -f(y). (1)求 f(1)的值; ?1? (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)-f?3?<2. ? ? 解 ?x? (1)在 f?y?=f(x)-f(y)中,令 x=y=1, ? ? 2×4+1 9 =5,最小值为 f(1)= 4+1

则有 f(1)=f(1)-f(1),∴f(1)=0. ?1? (2)∵f(6)=1,∴f(x+3)-f?3?<2=f(6)+f(6). ? ? ?x+3? ?<f(6). ∴f(3x+9)-f(6)<f(6),即 f? ? 2 ? ∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数, ?x+3>0, ? ∴?x+3 <6, ? ? 2

解得-3<x<9.

∴原不等式的解集为(-3,9). 22.(本小题满分 12 分)(2013· 湖州高一检测)通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接 受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增,中间

有一段不太长的时间,学生的兴趣保持理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结 果和实验表明,用 f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大,表示接受能力越强), x 表示提出和讲授概念的时间(单位:分),可以有以下公式:

?-0.1x +2.6x+43 ?0<x≤10? f(x)=?56 ?10<x≤16? ?-3x+107 ?16<x≤30?
(1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (2)开讲 5 分钟与开讲 20 分钟比较,学生的接受能力何时强一些? 解 (1)当 0<x≤10 时,

2

f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9, 故 f(x)在 0<x≤10 时递增,最大值为 f(10)=-0.1(10-13)2+59.9=59. 当 10<x≤16 时,f(x)=59. 当 x>16 时,f(x)为减函数,且 f(x)<59. 因此,开讲 10 分钟后,学生达到最强接受能力(为 59),能持续 6 分钟时间. (2)f(5)=-0.1(5-13)2+59.9=53.5, f(20)=-3×20+107=47<53.5. 故开讲 5 分钟时学生的接受能力比开讲 20 分钟时要强一些.


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