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内蒙古包头市一中2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题


命题人 : 朱巴特尔

审题人:高三数学备课组

第Ⅰ卷
一.选择题: (本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一 项是 符合要求的)
1.如图所示的韦恩图中, A 、 B 是非空集合,定义 A * B 表示阴影部分集 合.若 x , y ? R , A ? ? x y ? 则 A *B=( A. ( 2, ? ? ) ) B. ? 0,1 ? ? ( 2, ? ? ) C. ? 0 ,1 ? ? ( 2 , ? ? ) D. ? 0,1 ? ? [ 2, ? ? )
2x ? x
2

?,B

?

?y

y ? 3 ,x ? 0
x

?,

2. 给出以下结论: (1)命题“存在 x 0 ? R, 2 (2)复数 z ?
1 1? i
x0

“不存在 x 0 ? R, 2 ? 0 ”的否定是:

x0

? 0;

在复平面内对应的点在第二象限

(3) l 为直线, ? , ? 为两个不同平面,若 l ? ? , ? ? ? ,则 l // ? (4)已知某 次高三模拟的数学考试成绩 ? ~ N ?90, ?
2

?(?

? 0) ,统计结果

显示 p ?70 ? ? ? 110 ? ? 0.6 ,则 p ?? ? 70 ? ? 0.2 .其中结论正确的个数为( A.4 3. 若 f ? x ? ? ? A.0
2

)

B.3
? x 3 ? sin x, ? 1 ? x ? 1 ?2, 1? x ? 2

C.2 ,则 ? f ? x ?dx ? (
?1 2

D.1 ) D.3

B.1

C.2

2 4. 对于使 ? x ? 2 x ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 1 叫做 ? x ? 2 x 的上

确界, 若 a 、 b ? R ,且 a ? b ? 1 ,则 ?
9 2
?

1 2a

?

2 b

的上确界为(
1 4



A.

B. ?

9 2

C.

D.-4

5.已知已知点(2,3)在双曲线 C: 则它的离心率为( A.2 6.若(x+ A.10
1 x
n

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 上,C 的焦距为 4,

) B.
3

C. 2 2

D. 2 3 )

) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( B.20 C.30 D.120

?x ? 0 x? 2y ?3 ? 7.设 x , y 满足约束条件 ? y ? x ,则 的取值范围是( x ?1 ?4 x ? 3 y ? 12 ?



A. ?1, 5 ?

B. ? 2 , 6 ?

C. ? 3,1 0 ?

D. ? 3,1 1 ?

8. 设曲线 y ? x ? 1 在其上任一点 ( x , y ) 处的切线的斜率为 g ( x ) ,则函数 y ? g ( x ) co s x 的
2

部分图象可以为 (



A.

B.

C.

D.

9.某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门.若要求两类课程中 各至少 选一门,则不同的选法共有( A. 48 种 B. 42 种
x a
2 2

) C . 35 种 D. 30 种 是椭圆上位于第一象限内

10. 已知 F1、 F 2 分 别 是 椭 圆

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点, A

的一点,点 B 也在椭圆 上,且满足 OA ? OB ? 0 ( O 为坐标原点) AF 2 ? F1 F 2 ? 0 , , 若椭圆的离心率等于 A.
2 2

2 2

, 则直线 AB 的方程是 (
2 2

)
3 2

y ?

x

B. y

? ?

x

C. y

? ?

x

D. y

?

3 2

x

11. 在平面直角坐标系中, O (0, 0 ), P (6, 8) ,将向量 O P 按逆时针旋转 则点 Q 的坐标是( A. ( ? 4 6 , ? 2 ) ) C. ( ? 7 2 , ? 2 )
2 , ( x ? A ),
x

??? ?

3? 4

后,得向量 O Q

????

B. ( ? 4 6 , 2 )

D. ( ? 7 2 , 2 )
x 0 ? A , 且 f [ f ( x 0 )] ? A ,

12.设集合 A ? [ 0 ,1), B ? [1, 2 ] ,函数 f ( x ) ? ?

4 ? 2 x , ( x ? B ),

则 x 0 的取值范围是 ( A.( ,1 )
3 2

)
3 4

B.[0,

]

C.( log

3
2

,1 )

2

D.( log 3 2 ,1 )

第Ⅱ卷(非选择题 90 分)
二.填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把每小题的答案填在答题 纸的 相应位置)
13.设点 A ( 2 , ? 3) , B ( ? 3, ? 2 ) ,直线 l 过点 P (1,1) 且与线段 A B 相交,则 l 的斜率 k 的取值范围是 .

14.经调查某地若干户家庭的年收入 x (万元)和年饮食支出 并得 到 y 关于 x 的线性 y (万元)具有线性相关关系,
? 回归直线方程: y =0.254 x +0.321,由回归直线方程可知,

家庭年收入每增 __________ 万元.

加 l 万元.年饮食支出平均增加

15. 如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,[来源:学科网 ZXXK] E 为 AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上 折起,使 A、B 重合于点 P,则 P-DCE 三棱锥的外接球的 体积为________.

16. 已 知 等 差 数 列 {an } 的 首 项 a1 及 公 差 d 都 是 整 数 , 前 n 项 和 为 S n , 若
a 1 ? 1, a 4 ? 3 , S 3 ? 9 ,

设 bn ? 2n an , 则b1 ? b2 ? ? ? bn 的结果为



三、解答题(共 6 个题, 共 70 分,把每题的 解答过程填在答卷纸的相应位置)
17. ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 ? 为 锐 角 , 且 tan ? ?
2 ?1 , 函 数

f ( x ) ? 2 x tan 2 ? ? sin( 2 ? ?

?
4

) ,数列{ a n }的首项 a 1 ? 1 , a n ? 1 ? f ( a n ) .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)求数列 { a n } 的前 n 项和 S n .

18.(本题满分 12 分)今年雷锋日,某中学从高中三个年级选派 4 名教师和 20 名学生去当 雷锋 志愿者,学生的名额分配如下:

(I)若从 20 名学生中选出 3 人参加文明交通宣传,求他们中恰好有 1 人是高一年级学生 的概率; (II)若将 4 名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师 的选择 是相互独立的) ,记安排到高一年级的教师人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AB,M、N 分别是 PA、 BC 的中点. (I)求证:MN∥平面 PCD; (II)在棱 PC 上是否存在点 E, 使得 AE⊥平面 PBD?若存在, 求出 AE 与平面 PBC 所成角的正弦值,若不存在,请说明理由.

1 20. 本小题满分 12 分) ( 如图, 在直角坐标系 xOy 中, P?1,2?到抛物线 C:2=2px(p>0) 点 ? y ? 5 的准线 的距离为 .点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两 4 动点,且线段 AB 被直线 OM 平分. (1)求 p,t 的值; (2)求△ABP 面积的最大值.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? (1 ?

a x

)e ( x ? 0 ) ,其中 e 为自然对数的底数.
x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线与坐标轴围成的面积; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 存在一个极大值点和一个极小值点,且极大值与极小值的积为 e ,求 a 的值.
5

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 ..... . . . ....................... . ... 记分.作答时用 2B 铅笔在答题纸上把所选题号涂黑. ..
22.(本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》 如图,直线 A B 过圆心 O ,交⊙ O 于 A , B ,直线 A F 交⊙ O 于 F (不与 B 重合),直线 l 与⊙ O 相切于 C ,交 A B 于 E , 且与 A F 垂直,垂足为 G ,连结 A C . 求证:(1) ? B A C ? ? C A G ;
2 (2) A C ? A E ? A F .

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

23.(本小题满分 10 分) 《选修 4—4:坐标系与参数方程》 在直角坐标系 x o y 中, 曲线 C 1 的参数方程为 ?
??? ? ???? ?
? x ? 2 cos ? ? y ? 2 ? 2 s in ?

( ? 为参数) M 是 C 1 上

的动点, P 点满足 O P ? 2 O M , P 点的轨迹为曲线 C 2 . (1)求 C 2 的方程;

(2)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 交点为 A ,与 C 2 的异于极点的交点为 B ,求 A B .

?
3

与 C 1 的异于极点的

24.(本小题满分 10 分) 《选修 4—5:不等式选讲》 设函数 f ? x ? ? x ? a ? 3 x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? 3 x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ? x ? ? 0 的解集为 ? x | x ? ? 1? ,求 a 的值.

[来源:学科网 ZXXK]


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