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11-12学年高中数学


选修 2-3

1.2.1 第 2 课时 排列 2

一、选择题 [答案] C
m

[解析] 由排列数公式易知 A、B、D 都等于 An,故选 C. [答案] A

3 3 [解析] 奇数的个位数字为 1、3 或 5,偶数的个位数字为 2、4.故奇数有 A5=36 个. 5 [答案] D
3

[解析] 先排体育有 2 种排法,故不同排课方案有:2A3=12 种. [点评] 有受限元素时,一般先将受限元素排好,即“特殊优先”. [答案] B
1 1

[解析] 甲在排头或排尾站法有 A2种,再让乙在中间 3 个位置选一个,有 A3种站法,其 余 3 人有 A3种站法,故共有 A2·A3·A3=36 种站法. [答案] A
4 3 1 1 3

[解析] 能被 5 整除,则个位须填 5 或 0,有 2A5个,但其中个位是 5 的含有 0 在首位的 排法有 A4个,故共有(2A5-A4)个. [点评] 可用直接法求解:个位数字是 0 时有 A5种;个位数字是 5 时,首位应用 1、2、3、 4 中选 1 个,故有 4A4种,∴共有 A5+4A4个. [答案] D
3 3 4 3 4 3 4 3

[解析] 甲、乙、丙三人站在一起有 A3种站法,把 3 人作为一个元素与其他 3 人排列有 A4种,∴共有 A3·A4种.故选 D. [答案] [解析] 576. [点评] 不能都站在一起,与都不相邻应区分. [答案] C
4 4 3 4

C “不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件,由间接法可得 A6-A3A4=
6 3 4

[解析] 首位为 3 时,有 A4个=24 个; 首位为 2 时,千位为 3,则有 A2A2+1=5 个,千位为 4 或 5 时有 A2A3=12 个; 首位为 4 时,千位为 1 或 2,有 A2A3=12 个,千位为 3 时,有 A2A2+1=5 个. 由分类加法计数原理知,共有适合题意的数字 24+5+12+12+5=58(个). [答案] A
1 1 3 1 2 1 2 1 3

[解析] 解法 1:确定最高位有 A5种不同方法.确定万位、千位、百位,从剩下的 5 个数 字中取 3 个排列,共有 A5种不同的方法,剩下两个数字,把大的排在十位上即可,由分步乘
-13

法计数原理知,共有 A5·A5=300(个). 1 1 5 解法 2:由于个位数字大于十位数字与十位数字小于个位数字的应各占一半,故有 A5·A5 2 =300(个). [答案] C
5

1

3

[解析] 由题意每次闪烁共 5 秒,所以不同的闪烁为 A5=120 秒,而间隔为 119 次,所以 需要的时间至少是 5A5+(A5-1)×5=1195 秒. [点评] 本题情景新颖,考查了排列知识在生活中的应用以及运用数学知识解决实际问
5 5

题的能力、分析解决问题的能力. 二、填空题 [答案] 24

[解析] “每人两边都有空位”是说三个人不相邻,且不能坐两头,可视作 5 个空位和 3 个人满足上述两要求的一个排列,只要将 3 个人插入 5 个空位形成的 4 个空档中即可. ∴有 A4=24 种不同坐法. [答案] 448
3

[解析] 千位数字比个位数字大 2,有 8 种可能,即(2,0),(3,1)?(9,7)前一个数为千 位数字,后一个数为个位数字.其余两位无任何限制. ∴共有 8A8=448 个. [答案] 456
7 6 4 4 2

[解析] 由题意知有 A7-3A6+3A5-A4=456 种. [答案] 264
4

[解析] 由条件上午不测“握力”,则 4 名同学测四个项目,则 A4;下午不测“台阶” 但不能与上午所测项目重复,如 甲 上午 台阶 下午 ,下午甲测“握力”乙丙丁所测不与上午重复有 2 种,甲测“身高”“立定”、“肺活 量”中一种,则 3×3=9,故 A4(2+9)=264 种. 三、解答题 [解析] (1)先从 5 个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有 A5种排法,再将剩余的 3
6 2 6 2 4

乙 身高

丙 立定

丁 肺活量

个演唱节目,3 个舞蹈节目排在中间 6 个位置上有 A6种排法,故共有 A5A6种排法. (2)先不考虑排列要求,有 A8种排列,其中前四个节目没有舞蹈节目的情况,可先从 5 个 演唱节目中选 4 个节目排在前四个位置,然后将剩余四个节目排列在后四个位置,有 A5A4种排 法,所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A8-A5A4)种.
8 4 4 4 4 8

-2-

[解析]

(1)解法一:因甲不站左右两端,故第一步先从甲以外的 5 个人中任选二人站
2 4

在左右两端,有 A5种不同的站法;第二步再让剩下的 4 个人站在中间的四个位置上,有 A4种 不同的站法,由分步乘法计数原理共有 A5·A4=480 种不同的站法. 解法二:因甲不站左右两端,故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上,有 A4种 不同的站法; 第二步再让余下的 5 个人站在其他 5 个位置上, A5种不同的站法, 有 故共有 A4·A5 =480 种不同的站法. 解法三:我们对 6 个人,不考虑甲站位的要求,做全排列,有 A6种不同的站法;但其中 包含甲在左端或右端的情况,因此减去甲站左端或右端的排列数 2A5,于是共有 A6-2A5=480 种不同的站法. (2)解法一:首先考虑特殊元素,让甲、乙先站两端,有 A2种不同的站法;再让其他 4 个 人在中间 4 个位置做全排列,有 A4种不同的站法,根据分步乘法计数原理,共有 A2·A4=48 种不同的站法. 解法二:“位置分析法”,首先考虑两端 2 个位置,由甲、乙去站,有 A2种站法,再考 虑中间 4 个位置,由剩下的 4 个人去站,有 A4种站法,根据分步乘法计数原理,共有 A2·A4= 48 种不同的站法. (3)解法一:“间接法”,甲在左端的站法有 A5种,乙在右端的站法有 A5种,而甲在左端 且乙在右端的站法有 A4种,故共有 A6-2A5+A4=504 种不同的站法. 解法二:“直接法”,以元素甲的位置进行考虑,可分两类:a.甲站右端有 A5种不同的 站法; .甲在中间 4 个位置之一, b 而乙不在右端, 可先排甲后排乙, 再排其余 4 个, A4·A4·A4 有 种不同的站法,故共有 A5+A4·A4·A4=504 种不同的站法. 17.用 0、1、2、3、4 五个数字:(1)可组成多少个五位数;(2)可组成多少个无重复数 字的五位数;(3)可组成多少个无重复数字的且是 3 的倍数的三位数;(4)可组成多少个无重 复数字的五位奇数. [解析] 2500(个). (2)方法一:先排万位,从 1,2,3,4 中任取一个有 A4种填法,其余四个位置四个数字共有 A4种, 故共有 A4·A4=96(个). 方法二:先排 0,从个、十、百、千位中任选一个位置将 0 填入有 A4种方法,其余四个数 字全排有 A4种方法, 故共有 A4·A4=96(个). (3)构成 3 的倍数的三位数,各个位上数字之和是 3 的倍数,将 0,1,2,3,4 按除以 3 的余 数分成 3 类,按取 0 和不取 0 分类: ①取 0,从 1 和 4 中取一个数,再取 2 进行排,先填百位 A2,其余任排有 A2,故有 2A2·A2
-31 2 1 2 1 4 4 1 1 4 4 1 5 1 1 4 1 1 4 5 4 6 5 4 5 5 4 2 4 2 4 2 4 2 5 6 5 6 5 1 5 1 2 4

(1)各个数位上的数字允许重复,故由分步乘法计数原理,4×5×5×5×5=

种. ②不取 0,则只能取 3,从 1 或 4 中再任取一个,再取 2 然后进行全排为 2A3,所以共有 2A2A2+2A3=8+12=20(个). (4)考虑特殊位置个位和万位,先填个位,从 1、3 中选一个填入个位有 A2种填法,然后 从剩余 3 个非 0 数中选一个填入万位,有 A3种填法,包含 0 在内还有 3 个数在中间三位置上 全排列,排列数为 A3,故共有 A2·A3·A3=36(个). [分析] 43 251 以前的数都比 43 251 小,而以后的数都比 43 251 大,因此比 43 251
3 1 1 3 1 1 1 2 3 3

小的个数加 1 就是 43 251 的项数. 反过来, 从总个数中减去比 43 251 大的数的个数也是 43 251 的项数. 先算出比第 93 项大的数的个数,从总个数中减去此数,再从万位数是 5 的个数,逐步缩 小直到第 93 项数为止,从而可得第 93 项那个数. [解析] (1)由题意知,共有五位数为 A5=120(个). 比 43 251 大的数有下列几类: ①万位数是 5 的有 A4=24(个); ②万位数是 4,千位数是 5 的有 A3=6(个); ③万位数是 4,千位数是 3,百位数是 5 的有 A2=2(个), ∴比 43 251 大的数共有 A4+A3+A2=32(个), ∴43 251 是第 120-32=88(项). (2)从(1)知万位数是 5 的有 A4=24(个),万位数是 4,千位数是 5 的有 A3=6(个). 但比第 93 项大的数有 120-93=27(个),第 93 项即倒数第 28 项,而万位数是 4,千位 数是 5 的 6 个数是 45 321、45 312、45 231、45 213、45 132、45 123,由此可见第 93 项是 45 213.
4 3 4 3 2 2 3 4 5

-4-


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