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2010年上海市中考数学试卷及答案


2010 年上海市初中毕业统一学业考试数学卷
(满分 150 分,考试时间 100 分钟) 一、选择题(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.下列实数中,是无理数的为( C ) 1 A. 3.14 B. C. 3 D. 3 【解析】无理数即为无限不循环小数,则选 C。 k 2.在平面直角坐标系中,反比例函数 y = ( k<0 ) 图像的两支分别在(B ) x A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 2010-6-20

9

D.第三、四象限

1 1 【解析】设 K=-1,则 x=2 时,y= ? ,点在第四象限;当 x=-2 时,y= ,在第二象限,所以图像过 2 2

第二、四象限,即使选 B
3.已知一元二次方程 x2 + x ─ 1 = 0,下列判断正确的是( B ) A.该方程有两个相等的实数根 C.该方程无实数根
2

B.该方程有两个不相等的实数根 D.该方程根的情况不确定
2

【解析】根据二次方程的根的判别式: ? = b ? 4ac = (1) ? 4 × 1 × ( ?1) = 5 > 0 ,所以方程有两个不相等 的实数根,所以选 B
4.某市五月份连续五天的日最高气温分别为 23、20、20、21、26(单位:°C) ,这组数据的中位数和众数

分别是( D)
A. 22°C,26°C B. 22°C,20°C C. 21°C,26°C D. 21°C,20°C

【解析】中位数定义:将所有数学按从小到大顺序排列后,当数字个数为奇数时即中间那个数为中位 中位数定义: 中位数定义 数,当数字的个数为偶数时即中间那两个数的平均数为中位数。 众数: 众数:出现次数最多的数字即为众数 所以选择 D。
5.下列命题中,是真命题的为( D ) A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似

【解析】两个相似三角形的要求是对应角相等,A、B、C 中的类型三角形都不能保证两个三角形对应 角相等,即选 D。
6.已知圆 O1、圆 O2 的半径不相等,圆 O1 的半径长为 3,若圆 O2 上的点 A 满足 AO1 = 3,则圆 O1 与圆 O2

的位置关系是( A )
A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含

【解析】如图所示,所以选择 A
A

A
O1

O1

A
A O1

O1

二、填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7.计算:a 3 ÷ a 2 = ___a____. 【解析】 a 3 ÷ a 2 = a3? 2 = a1 = a 8.计算:( x + 1 ) ( x ─ 1 ) = ____x2-1________. 【解析】根据平方差公式得:( x + 1 ) ( x ─ 1 ) = x2-1_ 9.分解因式:a 2 ─ a b = _____a(a-b)_________. 【解析】提取公因式 a,得: a 2 ? ab = a ( a ? b ) 10.不等式 3 x ─ 2 > 0 的解集是____x>2/3___. 【解析】
3x ? 2 > 0 3x > 2 x> 2 3

11.方程

x + 6 = x 的根是______x=3______.

【解析】由题意得:x>0 两边平方得: x + 6 = x 2 ,解之得 x=3 或 x=-2(舍去) 1 12.已知函数 f ( x ) = 2 ,那么 f ( ─ 1 ) = ______1/2_____. x +1 1 1 1 = = 【解析】把 x=-1 代入函数解析式得: f ( ?1) = 2 2 x + 1 ( ?1) + 1 2
13.将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移 5 个单位后,所得直线的表达式是____y=2x+1__________.

【解析】直线 y = 2 x ─ 4 与 y 轴的交点坐标为(0,-4) ,则向上平移 5 个单位后交点坐标为(0,1) ,则所 得直线方程为 y = 2 x +1
14.若将分别写有“生活”“城市”的 2 张卡片,随机放入“ 、



更美好”中的两个

内(每



只放 1 张卡片) ,则其中的文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率是____1/2______

【解析】 “生活”“城市”放入后有两种可能性,即为:生活让城市更美好、城市让生活更美好。 、 则组成“城市让生活更美好”的可能性占所有可能性的 1/2。
15.如图 1,平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O 设向量 AD = a , AB = b ,则向量 uuur 1 r r AO = (a + b) .(结果用 a 、 b 表示) 2 uuur uuu r r uuu uuu uuu r r r r r uuur uuur 1 r r 【解析】 AD = BC = a ,则 AC = AB + BC=b + a = 2 AO ,所以 AO = b + a 2

(

)

1 6 0

A

D

D O

C

A D
E
O 1
图3

A

图1

B

B
图2

C

2

B

图4

C

16.如图 2,△ABC 中,点 D 在边 AB 上,满足∠ACD =∠ABC,若 AC = 2,AD = 1,则 DB = __3________. AC AD 【解析】 由于∠ACD =∠ABC, BAC =∠CAD,所以△ADC∽△ACB, ∠ 即: = ,所以 AB ? AD = AC 2 , AB AC

则 AB=4,所以 BD=AB-AD=3
17.一辆汽车在行驶过程中,路程 y(千米)与时间 x(小时)之间的函数关系如图 3 所示 当时 0≤x≤1,

y 关于 x 的函数解析式为 y = 60 x,那么当 1≤x≤2 时,y 关于 x 的函数解析式为_____y=100x-40___. 【解析】在 0≤x≤1 时,把 x=1 代入 y = 60 x,则 y=60,那么当 1≤x≤2 时由两点坐标(1,60)与(2,160) 得当 1≤x≤2 时的函数解析式为 y=100x-40 18.已知正方形 ABCD 中,点 E 在边 DC 上,DE = 2,EC = 1(如图 4 所示) 把线段 AE 绕点 A 旋转,使 点 E 落在直线 BC 上的点 F 处,则 F、C 两点的距离为__1 或 5_________. 【解析】题目里只说“旋转” ,并没有说顺时针还是逆时针, 而且说的是 “直线 BC 上的点” 所以有两种情况如图所示: , 顺时针旋转得到 F1 点,则 F1 C=1 逆时针旋转得到 F2 点,则 F2 B = DE = 2 , F2 C = F2 B + BC = 5
A D

E F2

B

F1 C

三、解答题(本大题共 7 题,19 ~ 22 题每题 10 分,23、 24 题每题 12 分,25 题 14 分,满分 78 分) 1 1 4 19.计算: 27 3 + ( 3 ? 1) 2 ? ( )?1 + 2 3 +1 解:原式 = 3 27 +

( 3)

2

? 2 3 +1?

1 + 1 2

4

(

(

3 ?1

3 +1

)(

)

3 ?1

)

= 3 + 3 ? 2 3 +1? 2 +

( 3)

4 3?4
2

? 12

= 5?2 3 +2 3 ?2 =3 x 2x─2 20.解方程: ─ ─1=0 x─1 x

解: x ? x ? ( 2 x ? 2 )( x ? 1) ? 1 ? x ? ( x ? 1) = 0
x ? 2 ( x ? 1) ? x ( x ? 1) = 0
2 2

北 N A

x 2 ? 2 ( x 2 ? 2 x + 1) ? x 2 + x = 0 ?2 x 2 + 4 x ? 2 + x = 0 2 x 2 ? 5x + 2 = 0

67.4° °

O B S 南
图5

( 2 x ? 1)( x ? 2 ) = 0
1 ∴ x = 或x = 2 2

C

代入检验得符合要求 21.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走” ,如图 5 所示, “海宝”从圆心 O 出发,先沿北偏西 67.4°方向行走 13 米至点 A 处,再沿正南方向行走 14 米至点 B 处,最后沿正东方向行走至点 C 处,点 B、C 都在圆 O 上.(1)求弦 BC 的长; (2)求圆 O 的半径长.

(本题参考数据:sin 67.4° =

12 5 12 ,cos 67.4° = ,tan 67.4° = ) 13 13 5

5 (1) 过点 O 作 OD⊥AB, 解: 则∠AOD+∠AON= 900 ,即: ∠AOD=cos∠AON= sin 13

即:AD=AO×

12 5 =5,OD=AO×sin 67.4° =AO× =12 13 13

N

又沿正南方向行走 14 米至点 B 处,最后沿正东方向行走至点 C 处 所以 AB∥NS,AB⊥BC,所以 E 点位 BC 的中点,且 BE=DO=12 所以 BC=24 (2)解:连接 OB,则 OE=BD=AB-AD=14-5=9 又在 RT△BOE 中,BE=12, 所以 BO = OE 2 + BE 2 = 92 + 122 = 225 = 15

A D O E B S C

即圆 O 的半径长为 15 人数(万人) 22.某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料 3 数量的情况,一天,他们分别在 A、B、C 三个出口处, 2.5 对离开园区的游客进行调查,其中在 A 出口调查所得的 2 数据整理后绘成图 6. 1 (1)在 A 出口的被调查游客中,购买 2 瓶及 2 瓶以上饮料 的游客人数占 A 出口的被调查游客人数的___60____%. (2)试问 A 出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮料? 0 1 2 3 图6 (3)已知 B、C 两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料 的数量如表一所示 若 C 出口的被调查人数比 B 出口的被 调查人数多 2 万,且 B、C 两个出口的被调查游客在园区 出 口 内共购买了 49 万瓶饮料,试问 B 出口的被调查游客人数 人均购买饮料数量(瓶) 为多少万? 表 一 9万 解: 1)由图 6 知,购买 2 瓶及 2 瓶以上饮料的游客人数为 2.5+2+1.5=6(万人) ( 而总人数为:1+3+2.5+2+1.5=10(万人) 6 所以购买 2 瓶及 2 瓶以上饮料的游客人数占 A 出口的被调查游客人数的 × 100% = 60% 10 (2)购买饮料总数位:3×1+2.5×2+2×3+1.5×4=3+5+6+6=20(万瓶) 人均购买=
购买饮料总数 20万瓶 = = 2瓶 总人数 10万人

1.5

4 饮料数量(瓶)

B 3

C 2

(3)设 B 出口人数为 x 万人,则 C 出口人数为(x+2)万人 则有 3x+2(x+2)=49 解之得 x=9 所以设 B 出口游客人数为 9 万人 23.已知梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=AD(如图 7 所示) BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E,连结 DE. ,∠ (1)在图 7 中,用尺规作∠BAD 的平分线 AE(保留作图痕迹,不写作法) ,并证明四边形 ABED 是菱形; (2)∠ABC=60°,EC=2BE,求证:ED⊥DC. (1)解:分别以点 B、D 为圆心,以大于 AB 的长度为半径,分别作弧,且两弧交于一点 P,则连接 AP, 即 AP 即为∠BAD 的平分线,且 AP 交 BC 于点 E, ∵AB=AD,∴△ABO≌△AOD ∴BO=OD ∵AD//BC, ∴∠OBE=∠ODA, ∠OAD=OEB ∴△BOE≌△DOA

∴BE=AD(平行且相等) ∴四边形 ABDE 为平行四边形,另 AB=AD, ∴四边形 ADBE 为菱形 (2)设 DE=2a,则 CE=4a,过点 D 作 DF⊥BC ∵∠ABC=60°,∴∠DEF=60°, ∴∠EDF=30°, ∴EF= ∴ CD = DF 2 + CF 2 = 3a 2 + 9a 2 = 2 3a ∴DE=2a,EC=4a,CD= 2 3a ,构成一组勾股数, ∴△EDC 为直角三角形,则 ED⊥DC
1 DE=a,则 DF= 3a ,CF=CE-EF=4a-a=3a, 2

A O

D

E F C 24.如图 8,已知平面直角坐标系 xOy,抛物线 y= -x2+bx+c 过点 A(4,0)、B(1,3) . (1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标; (2)记该抛物线的对称轴为直线 l,设抛物线上的点 P(m,n)在第四象限,点 P 关于直线 l 的对称点为 E, 点 E 关于 y 轴的对称点为 F,若四边形 OAPF 的面积为 20,求 m、n 的值.
(1)解:将 A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得:
? 2 ? ?4 + 4b + c = 0 ? 2 ? ?1 + b + c = 3 ?

B

解之得:b=4,c=0 所以抛物线的表达式为: y = ? x 2 + 4 x 将抛物线的表达式配方得: y = ? x 2 + 4 x = ? ( x ? 2 ) + 4
2

图8

所以对称轴为 x=2,顶点坐标为(2,4) (2) p m,) 点 ( n 关于直线 x=2 的对称点坐标为点 E 4-m,)则点 E 关于 y 轴对称点为点 F 坐标为 4-m,-n) ( n , ( , 则四边形 OAPF 可以分为:三角形 OFA 与三角形 OAP,则

SOFAP = S ?OFA + S ?OPA = S ?OFA = ? OA ? n

1 2

+ S ?OPA =

1 ? OA ? n = 4 n =20 2

所以 n =5,因为点 P 为第四象限的点,所以 n<0,所以 n= -5 代入抛物线方程得 m=5 25.如图 9,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°.半径为 1 的圆 A 与边 AB 相交于点 D,与边 AC 相交于点 E, 连结 DE 并延长,与线段 BC 的延长线交于点 P. (1)当∠B=30°时,连结 AP,若△AEP 与△BDP 相似,求 CE 的长; (2)若 CE=2,BD=BC,求∠BPD 的正切值; (3)若 tan ∠BPD =

1 ,设 CE=x,△ABC 的周长为 y,求 y 关于 x 的函数关系式. 3

图9

图 10(备用)

图 11(备用)

(1)解:∵∠B=30°∠ACB=90°∴∠BAC=60° ∵AD=AE ∴∠AED=60°=∠CEP ∴∠EPC=30° ∴三角形 BDP 为等腰三角形 ∵△AEP 与△BDP 相似 ∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30° ∴AE=EP=1 1 1 ∴在 RT△ECP 中,EC= EP= 2 2 (2)过点 D 作 DQ⊥AC 于点 Q,且设 AQ=a,BD=x ∵AE=1,EC=2 ∴QC=3-a ∵∠ACB=90° ∴△ADQ 与△ABC 相似 ∴ 即
AD AQ = AB AC 1 a 3 = ,∴ a = x +1 3 x +1
2 2 2

? 3 ? ∵在 RT△ADQ 中 DQ = AD ? AQ = 1 ? ? ? = ? x +1?

x2 + 2 x ? 8 x +1



DQ AD = BC AB



x2 + 2x ? 8 1 x +1 = x x +1

A D F B E C P Q

解之得 x=4,即 BC=4 过点 C 作 CF//DP ∴△ADE 与△AFC 相似, AE AD ∴ = ,即 AF=AC,即 DF=EC=2, AC AF ∴BF=DF=2 ∵△BFC 与△BDP 相似 BF BC 2 1 ∴ = = = ,即:BC=CP=4 BD BP 4 2 ∴tan∠BPD=
EC 2 1 = = CP 4 2

(3)过 D 点作 DQ⊥AC 于点 Q,则△DQE 与△PCE 相似,设 AQ=a,则 QE=1-a



1 QE DQ = 且 tan ∠BPD = EC CP 3

∴ DQ = 3 (1 ? a ) ∵在 Rt△ADQ 中,据勾股定理得: AD 2 = AQ 2 + DQ 2

2 4 即: 12 = a 2 + ?3 (1 ? a ) ? ,解之得 a = 1(舍去) a = ? ? 5

∵△ADQ 与△ABC 相似

4 AD DQ AQ 5 = 4 ∴ = = = AB BC AC 1 + x 5 + 5 x
∴ AB =

5 + 5x 3 + 3x , BC = 4 4 5 + 5 x 3 + 3x + + 1 + x = 3 + 3x 4 4

∴三角形 ABC 的周长 y = AB + BC + AC = 即: y = 3 + 3x ,其中 x>0


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