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集合之间的关系与运算


1.2 集合之间的关系与运算

1.2.2 集合的运算

学习目标
? 理解子集和集合相等的概念,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间 的关系,提高利用类比发现新结论的能力。 ? 掌握并能使用Venn图表达集合的关系。 ? 了解集合关系与其特征性质之间的关系。

复习回顾
? 问题1:元素与集合之间的关系是什么? ? 问题2:集合有哪些表示方法?集合的分类有哪些?

? 观察下列几组集合,集合A与集合B之间有什么关系?

? A={1,2,3}, ? A={x|x>3}, ? A={正方形},

B={1,2,3,4,5} B={x|3x-6>0} B={四边形}

? A={高一年级的女生}, B={高一年级的学生}

子集
? 定义:一般地,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合 A叫做集合B的子集,记作

A?B 或 B?A,
读作“A包含于B”,或“B包含A”。

? 如果集合P中存在着不是集合Q的元素,那么集合P不包含于Q,或Q不包含 P,分别记作

P?Q 或 Q?P。

? 思考:符号“∈”与符号“?”表达的含义相同吗?

子集
? A=?,B={0},集合A与集合B之间有什么关系? ? 规定:空集是任何一个集合的子集。

? A={平行四边形},B={平行四边形},集合A与集合B之间有什么关系? ? 任何一个集合都是它本身的子集。

子集

A? B B?A

真子集
? 定义:如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有 一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,

记作
A?B 或 B?A, 读作“A真包含于B”或“B真包含A”。

? 例如,A={1,2,3},B={1,2,3,4,5},则A?B 或 B?A。

真子集
? 根据子集、真子集的定义可以推知: 对于集合A,B,C,如果A?B,B?C,则A?C;

对于集合A,B,C,如果A?B,B?C,则A?C。

? 思考:空集是任意一个集合的子集,那么空集是什么集合的真子集呢?

子集的个数
? 例1:写出集合A={1,2,3}的所有子集和真子集。

子集的个数
集合 {a} {a,b} {a,b,c} {a,b,c,d} {a,b,c,d,e} ... 集合中元素的个数 1 2 3 4 5 ... 子集的数目

? 探索与研究

1. 你能找出“元素个数”与“子集数目”之间关系的规律吗? 2. 如果一个集合中有n个元素,你能写出计算它的所有子集数目的公式吗

(用n表述)?

集合的相等
? 考察集合A={ x | (x+1)(x+2)=0 },B={ -1, -2 }。 ? 可以看出,集合A和集合B的元素完全相同,只是表达形式不同。

集合的相等
? 定义:一般地,如果集合A的每一个元素都是集合B的 元素,反过来,集合B的每一个元素也都是集合A的元 素,那么我们就说集合A等于集合B,记作 A=B。

? 由相等的定义,可得: 如果A?B,又B?A,则A=B; 反之,如果A=B,则A?B,且B?A。

? 例2:说出下列每对集合的关系。 1. A={1,2,3,4,5}, 2. P={x | x2=1}, 3. C={x | x是奇数}, B={1,3,5} Q={x | |x|=1} D={x | x是整数}

? 练习:教材练习A 1,3,4题,练习B 1,3,4题

集合关系与其特征性质之间的关系
? 命题:如果两个三角形对应边相等、对应角相等,那么这两个三角形全等。 ? 这个命题还可以表述为 两个三角形对应边相等、对应角相等推出这两个三角形全等。 ? “推出”一词用符号“?”表示,读作“推出”,于是上述命题可以表述为

两个三角形对应边相等、对应角相等?这两个三角形全等。

集合关系与其特征性质之间的关系
? 命题1:两直线平行,同位角相等。 命题2:同位角相等,两直线平行。 ? 这两个命题的条件和结论可以互相推出,“互相推出”用符号“?”表示,于是 上述两个正确的互逆命题可表示为 两直线平行?同位角相等。

集合关系与其特征性质之间的关系
? 我们可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们特征性质之间的关系, 或用集合特征性质之间的关系,判断集合之间的关系。 ? 一般地,设A={ x | p(x) },B={ x | q(x) },如果A?B,则 x∈A?x∈B 于是 x具有性质p(x)?x具有性质q(x)。 反之,如果p(x)?q(x),则A一定是B的子集。 ? 显然,如果p(x)?q(x),则A=B;反之,如果A=B,则p(x)?q(x)。

? 练习:教材练习A 2题,练习B 2题

1.2 集合之间的关系与运算
1.2.1 集合之间的关系

学习目标
? 理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集与交集。 ? 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集。 ? 能用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。

集合是怎样进行运算?
? 集合运算的含义:由两个已知的集合,按照某种指定的法则,构造出一个 新的集合。

交集
? 定义:一般地,对于两个给定的集合A,B, 由属于A又属于B的所有元素构成的集合,

叫做A,B的交集,记作
A∩B, 读作“A交B”。 ? 例如,A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,8},则 A∩B={3,4,5}。

交集
? 如何用数学语言表示交集? ? A∩B={ x | x∈A且x∈B }。

交集
? 直线 l 与⊙O相交于两点A,B,用集合语言可表示为 l ∩⊙O={A,B}
B A O l

? 如何用集合语言表示平面内的两条直线平行或重合?

交集
? 两个非空集合的交集可能是空集吗?

交集的性质
? 对于任意两个集合A,B,都有

A∩B=B∩A; A∩A=A; A∩?=?∩A=?; 如果A?B,则A∩B=A.

并集
? 定义:一般地,对于两个给定的集合A,B, 两个集合的所有元素构成的集合,叫做A,

B的并集,记作
A∪B, 读作“A并B”。 ? 例如,A={1,3,5},B={2,3,4,6},C={7,8}, 则A∪B={1,2,3,4,5,6},A∪C={1,3,5,7,8}。

并集的性质
? 对于任意两个集合A,B,都有

A∪B=B∪A; A∪A=A; A∪?=?∪A=A; 如果A?B,则A∪B=B.

并集
? 如何用数学语言表示并集? ? A∪B={ x | x∈A或x∈B }。

? 练习:教材P16例1~例4 教材P17例5

集合中元素个数的运算
? 有限集合M所含元素的个数记作card(M),并规定card(?)=0。

? 设A,B为两个有限集,讨论card(A),card(B),card(A∩B),card(A∪B)四 个数值的关系。

集合中元素个数的运算
? 例:已知A={高一年级参加数学小组的学生},B={高一年级参加足球队的学 生},card(A)=20,card(B)=8,card(A∩B)=4,你能求出card(A∪B)吗?

card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)

? 练习:教材P24 自测与评估 第6*题

补集
? 全集:在研究集合与集合之间的关系时,如 果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,

那么称这个给定的集合为全集。在维恩图中,
全集通常用矩形区域表示。 ? 例如,我们在研究数集时,常常把实数集R 作为全集。如果我们讨论的数仅限为自然数, 我们可取自然数集N为全集。

补集
? 补集:如果给定集合A是全集U的一个子集, 由U中不属于A的所有元素构成的集合,叫做

A在U中的补集,记作
?UA, 读作“A在U中的补集”。 ? 全集与它的任意一个真子集之间的关系,可 用韦恩图表示为:

补集的性质
? 对于任意集合A,有

A∪?UA=U; A∩?UA=?; ?U(?UA)=A.

? 练习:教材P19 例6~例8,练习A,练习B

德摩根定律
? 探索与研究 ? 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8}。 (1)求?UA,?UB,?UA∩?UB,?UA∪?UB; (2)验证:?U(A∩B)=?UA∪?UB, ?U(A∪B)=?UA∩?UB。 ? 练习:教材P23 巩固与提高 第8*题

本章小结
集合 集合的表示 方法 集合之间的 关系

集合的概念

集合的运算

列举法

子集

交集

描述法

真子集

并集

集合的相等

补集

? 练习:教材P8~P9,P20~P21


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