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天津市青光中学2011-2012学年高二数学椭圆的简单几何性质课件_图文

椭圆的简单几何性质

椭圆的简单几何性质---问题提出
1.解析几何要解决的两类基本问题是什么? 答:(1)已知曲线研究其方程; (2)已知曲线方程研究其曲线的性质. 2.在高一学习函数性质后,研究了一些具体函数,你能列举几种 吗?对于一个新函数,你认为应从哪些方面着手研究? 函数如y=ax(a>0,a≠1),y=logax(a>0,a≠1),y=sinx等;研究 一个新函数一般应从定义域、值域、奇偶性、单调性及某 些特殊点,如与x轴、y轴的交点,图象最高点、最低点等 方面入手。

椭圆的简单几何性质—展示动画
要求: 1、观察椭圆的变化情况: (1)a不变b变; (2)B不变a变 (3)改变F1F2的长度和位置。 2、借鉴研究函数性质的方法,设计一个研究 椭圆几何性质的方案。
动画演示

椭圆的简单几何性质—研究问题
方程:
x2 a2

? b2 ? 1(a ? b ? 0)
A1 F1 b

y2

Y B2

1、特殊点:

从图象上看A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
外加F1(-c,0),F2(c,0). 从方程
x2 a2 y2

a
A2 F2 X

O c
B1

? b2 ? 1(a ? b ? 0)

上看,令x=0,则y2=b2,即y=±b;

令y=0,则x2=a2,即x=±a,可得到上面四个特殊点。其中: 线段A1A2叫长轴,其长度等于2a;线段B1B2叫短轴,其长度等于2b; 线段C1C2叫焦距,其长度等于2c.

椭圆的简单几何性质—研究问题
方程:x2
a2

? b2 ? 1(a ? b ? 0)
A1 F1 b

y2

Y B2

2、范围:从图象上看:-a≤x≤a,-b≤y≤b

从方程看:
x2 a2 y2 b2 y2

a
A2 F2 X

O c
B1

? 1 ? b2 ? 1 ? x 2 ? a 2 ? ? a ? x ? a ? 1?
x2 a2

? 1 ? x 2 ? b 2 ? ?b ? y ? b

故整个椭圆位于y ? ?b, x ? ? a所围成的巨形内。

椭圆的简单几何性质—研究问题
方程:x2
a2

? b2 ? 1(a ? b ? 0)
A1 F1 b

y2

Y B2

3、对称性: 从图形上看,椭圆关于x轴、y轴、原点 对称。 从方程上看: (1)把x换成-x方程不变,图象关于y轴对称;

a
A2 F2 X

O c
B1

(2)把y换成-y方程不变,图象关于x轴对称;
(3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变,图象关于原点成中 心对称。

椭圆的简单几何性质—研究问题
方程:x2
a2

? b2 ? 1(a ? b ? 0)
A1 F1 b

y2

Y B2

4、单调性: 从图形上看不出单调性。

a
A2 F2 X

从方程上看,由于椭圆不是函数,是一对多 对应,不具有单调性。

O c
B1

椭圆的简单几何性质—研究问题
方程:x2
a2

? b2 ? 1(a ? b ? 0)
A1 F1 b

y2

Y B2

5.离心率(圆扁度)

离心率----e ?
显然当e=0时为圆 当0<e<1时为椭圆 当e=1时为线段

a
A2 F2 X

c a

O c
B1

椭圆的简单几何性质—研究问题
方程:x2
a2

? b2 ? 1(a ? b ? 0)
A1 F1 b

y2

Y B2

6.特殊三角形: 观察直角三角形B2OF2 关系式:a2=b2+c2 椭圆还有许多漂亮的几何性质,等待同学们去探究.
x2 b2 y2

a
A2 F2 X

O c
B1

? a2 ? 1(a ? b ? 0) 即焦点在y轴上的性质 当椭圆方程换成 与焦点在x轴上的椭圆性质的关系.

椭圆的简单几何性质—研究问题
方程



图象 范围



顶点 坐标
对称 性
离心 率

椭圆的简单几何性质—课堂练习
? 补充练习

点P是椭圆

x2 a2

(±a,0) ? b2 ? 1上的动点,当P的坐标为??????????时,

y2

(0, ±b) a P到原点O的最大距离为??????????;当P的坐标为???????时, b P到原点O的最小距离为-------------;设F1 (c,0),则当P的 (-a,0) a+c 坐标为----------时, 1 的最大值为?????????;则当P的 PF (a,0) a-c 坐标为----------时, 1 的最小值为?????????。 PF

椭圆的简单几何性质—作业布置
补充: 1.设a,b,c分别表示同一椭圆的长半轴长,短半 轴长,半焦距长,则a,b,c的大小关系是-----------.
2、对于椭圆C1 : 9 x ? y ? 36与椭圆C : ?
2 2 x2 2 16 y2 12

? 2,

更接近于圆的是?????????。 3、椭圆
x2 a ?8

?

y2 9

? 1的离心率e ? 1 , 则a ?????????? . 2



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